13 级高代 I 期中 05

依赖于

• 例 1.27

被以下题目直接调用

• 无

13 级高代 I 期中 05

设 $P_0(x)=1$ , $P_k(x)=x^k+a_{k,1}{x}^{k-1}+\cdots +a_{k,k}$ 为 k 次实系数多项式, 其中 $1\le k\le n-1$ . 对给定的正值函数 $w(x)>0$ , 定义函数 $K(x,y)=\sqrt{w(x)w(y)}{\sum }_{k=0}^{n-1}{P}_k(x)P_k(y)$ . 证明:

(1) $n$ 阶方阵 $(P_{i-1}(x_j){)}_{n\times n}$ 的行列式等于 ${\prod }_{1\le i<j\le n}(x_j-x_i)$ (2) 对任意的正值函数 $f(x)>0$，如下等式成立：

$$\det {\left(\frac{f(x_i)}{f(x_j)}K(x_i,x_j)\right)}_{n\times n}=\prod _{1\le i<j\le n}(x_i-x_j{)}^2\prod _{j=1}^{n}w(x_j).$$

解答

(1) 参考例 1.27.

(2) 考虑下列矩阵乘法:

$$\begin{array}{l}{\left(\frac{f(x_i)}{f(x_j)}K(x_i,x_j)\right)}_{n\times n}=\left(\begin{array}{ccc}f(x_1)\sqrt{w(x_1)}{P}_0(x_1)& \dots & f(x_1)\sqrt{w(x_1)}{P}_{n-1}(x_1)\\ ⋮& & ⋮\\ & \dots & \\ f(x_n)\sqrt{w(x_n)}{P}_0(x_n)& & f(x_n)\sqrt{w(x_n)}{P}_{n-1}(x_n)\end{array}\right)\\ \cdot \left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{f(x_1)}\sqrt{w(x_1)}{P}_0(x_1)& \dots & \frac{1}{f(x_n)}\sqrt{w(x_n)}{P}_0(x_n)\\ ⋮& & ⋮\\ & \dots & \\ \frac{1}{f(x_1)}\sqrt{w(x_1)}{P}_{n-1}(x_1)& & \frac{1}{f(x_n)}\sqrt{w(x_n)}{P}_{n-1}(x_n)\end{array}\right),\end{array}$$

等式两边同取行列式, 并提取等式右边两个行列式每行每列的公因子, 再利用 (1) 即得要证的结论.