问题 2023A05

依赖于

• 例 2.49

被以下题目直接调用

• 无

问题 2023A05

设 A 为 n 阶实方阵, 证明: $\mathrm{tr}(A^2)\ge -\mathrm{tr}(A{A}^{\prime })$ , 并求等号成立的充要条件.

解答

本题的证明与例 2.49 完全类似. 由迹的线性、对称性、交换性和正定性可得

$$\begin{array}{l}\mathrm{tr}\left((\mathbf{A}+{\mathbf{A}}^{\prime })(\mathbf{A}+{\mathbf{A}}^{\prime }{)}^{\prime }\right)=\mathrm{tr}\left((\mathbf{A}+{\mathbf{A}}^{\prime })({\mathbf{A}}^{\prime }+\mathbf{A})\right)\\ =\mathrm{tr}\left({\mathbf{A}}^2+\mathbf{A}{\mathbf{A}}^{\prime }+{\mathbf{A}}^{\prime }\mathbf{A}+({\mathbf{A}}^{\prime }{)}^2\right)=2\mathrm{tr}({\mathbf{A}}^2)+2\mathrm{tr}(\mathbf{A}{\mathbf{A}}^{\prime })\ge 0,\end{array}$$

故要证的不等式成立. 若上述不等式的等号成立, 则由迹的正定性可知 $A+A^{\prime }=O$ , 即 $A$ 为反对称阵.