问题 2023A03

依赖于

• 例 1.18

被以下题目直接调用

• 无

问题 2023A03

设 n 阶方阵 $\mathbf{H}=(a_{ij})$，其中 $a_{ij}=\frac{1}{i+j-1}$，称这样的矩阵为 n 阶 Hilbert 矩阵。求证： $H^{-1}$ 是整数矩阵，即 $H^{-1}$ 的每个元素都是整数。

解答

可利用例 1.18 (Cauchy 行列式) 来计算 $|H|$ 以及 H 的任一代数余子式 $H_{ij}$ . 令 $a_k=k-1,b_l=l$ , 则由 Cauchy 行列式的计算结果可得

$$|\mathbf{H}|=\frac{{\prod }_{1\le k<l\le n}(l-k{)}^2}{{\prod }_{1\le k,l\le n}(k+l-1)},H_{ij}=(-1{)}^{i+j}\frac{{\prod }_{(k<l)\in [1,n]\setminus \{i\}}(l-k){\prod }_{(k<l)\in [1,n]\setminus \{j\}}(l-k)}{{\prod }_{k\in [1,n]\setminus \{i\},l\in [1,n]\setminus \{j\}}(k+l-1)}.$$

于是 $H^{-1}=\frac{1}{|H|}{H}^{\ast }$ 的第 $(j,i)$ 元素

$$\begin{array}{l}\frac{H_{ij}}{|\mathbf{H}|}=(-1{)}^{i+j}\frac{i(i+1)\cdots (i+n-1)\cdot j(j+1)\cdots (j+n-1)}{(i-1)!(n-i)!(j-1)!(n-j)!(i+j-1)}\\ =(-1{)}^{i+j}\frac{i(i+1)\cdots (i+j-2)}{(j-1)!}\cdot \frac{(i+j)\cdots (i+n-1)}{(n-j)!}\cdot \frac{j(j+1)\cdots (j+i-2)}{(i-1)!}\\ \cdot \frac{(j+i)\cdots (j+n-1)}{(n-i)!}\cdot (i+j-1)\\ =(-1{)}^{i+j}{\mathrm{C}}_{i+j-2}^{j-1}{\mathrm{C}}_{i+n-1}^{n-j}{\mathrm{C}}_{i+j-2}^{i-1}{\mathrm{C}}_{j+n-1}^{n-i}\cdot (i+j-1)\end{array}$$

为整数, 从而 $H^{-1}$ 为整数矩阵.