问题 2022A06

依赖于

• 第 2 章解答题 11

被以下题目直接调用

• 无

问题 2022A06

设 A, B 为 n 阶实对称阵, 满足 $A^{2}B=ABA$ , 求证: AB = BA.

解答

由 $A^{2}B=ABA$ 可得 $A^2{B}^2=(AB{)}^2$，从而 $\mathrm{tr}(A^2{B}^2)=\mathrm{tr}\left((AB{)}^2\right)$，再由第 2 章解答题 11 可知 AB = BA。也可用高代 II 中实对称阵的正交相似标准型理论来证明本题，其过程完全类似于第 2 章解答题 11 的证法 2（第 541 页），具体细节留给读者完成。