问题 2019A06

依赖于

• 例 2.31

被以下题目直接调用

• 无

问题 2019A06

证明: $n$ 阶非异阵 $\mathbf{A}$ 仅通过第三类初等行变换就可变为对角阵

$$\mathrm{diag}\{1,\dots ,1,|\mathbf{A}|\}.$$

解答

由例 2.31 可知, 任一非异阵 A 仅通过第三类初等变换可变成对角阵

$$\mathrm{diag}\{1,\cdots ,1,|A|\}.$$

考虑非异阵 $A{P}_n(|A{|}^{-1})$ , 其行列式值为 1, 故存在第三

类初等阵 $P_1,\cdots ,P_r,Q_1,\cdots ,Q_s$，使得

$${\mathbf{P}}_r\dots {\mathbf{P}}_1\mathbf{A}{\mathbf{P}}_n(|\mathbf{A}{|}^{-1}){\mathbf{Q}}_1\dots {\mathbf{Q}}_s={\mathbf{I}}_n.$$

上式说明 $Q_1\cdots Q_s$ 是 $P_r\cdots P_{1}A{P}_n(|A{|}^{-1})$ 的逆阵, 于是

$${\mathbf{Q}}_1\dots {\mathbf{Q}}_s{\mathbf{P}}_r\dots {\mathbf{P}}_1\mathbf{A}{\mathbf{P}}_n(|\mathbf{A}{|}^{-1})={\mathbf{I}}_n,$$

从而

$${\mathbf{Q}}_1\dots {\mathbf{Q}}_s{\mathbf{P}}_r\dots {\mathbf{P}}_1\mathbf{A}={\mathbf{P}}_n(|\mathbf{A}|)=\mathrm{diag}\{1,\dots ,1,|\mathbf{A}|\},$$

即 A 仅通过第三类初等行变换可变成对角阵 $\mathrm{diag}\{1,\cdots ,1,|A|\}$ .