问题 2019A03

依赖于

• 例 2.1

被以下题目直接调用

• 问题 2021S11

问题 2019A03

有限集合 $T$ 到自身上的一个双射称为 $T$ 上的一个置换。集合 $S=\{1,2,\cdots ,n\}$ 的全体置换构成的集合记为 $S_n$。对任一 $\sigma \in S_n$，$(\sigma (1),\sigma (2),\cdots ,\sigma (n))$ 是 $S$ 的一个全排列；反之，对 $S$ 的任一全排列 $(k_1,k_2,\cdots ,k_n)$，定义 $\sigma (i)=k_i(1\le i\le n)$，则 $\sigma$ 是 $S$ 的一个置换。因此，可以把 $S$ 的置换和全排列等同起来。

设 $\sigma ,\tau \in S_n$，$\tau$ 与 $\sigma$ 的乘积 $\tau \sigma$ 定义为映射的复合：$\tau \sigma (i)=\tau (\sigma (i))(1\le i\le n)$。设 $e:S\to S$ 为恒等映射，即 $e(i)=i(1\le i\le n)$。因为 $\sigma :S\to S$ 是双射，故其逆映射 ${\sigma }^{-1}:S\to S$ 也是双射，并且满足 ${\sigma }^{-1}\sigma =\sigma {\sigma }^{-1}=e$。

设 $e_1,e_2,\cdots ,e_n$ 是 $n$ 维标准单位列向量，$\sigma \in S_n$，定义矩阵

$$P_{\sigma }=(e_{\sigma (1)},e_{\sigma (2)},\cdots ,e_{\sigma (n)}),$$

称为相伴于置换 $\sigma$ 的 $n$ 阶置换矩阵。置换矩阵的等价定义是：$n$ 阶方阵 $P$ 的每行和每列只有一个元素非零，并且那些非零元素都等于 $1$。设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，$\sigma ,\tau \in S_n$，证明以下结论：

(1) 第一类初等矩阵 $P_{ij}$、基础循环矩阵 $J$（例 2.1）和反单位阵都是置换矩阵。

(2) $|P_{\sigma }|=(-1{)}^{N(\sigma )}$，其中 $N(\sigma )$ 是 $\sigma$ 作为全排列的逆序数。

(3) $P_{\tau \sigma }=P_{\tau }{P}_{\sigma },P_e=I_n,P_{{\sigma }^{-1}}=P_{\sigma }^{-1}=P_{\sigma }^{\prime }$。

(4) $A{P}_{\sigma }$ 的列向量是 $A$ 的列向量的一个置换，即 $A{P}_{\sigma }$ 的第 $i$ 列是 $A$ 的第 $\sigma (i)$ 列；$P_{\sigma }^{\prime }A$ 的行向量是 $A$ 的行向量的一个置换，即 $P_{\sigma }^{\prime }A$ 的第 $i$ 行是 $A$ 的第 $\sigma (i)$ 行。

解答

(1) 显然成立。

(2) 由行列式的组合定义即得。

(3) 由置换矩阵的定义可知 $P_{\sigma }$ 的第 $i$ 列是 $e_{\sigma (i)}$，即

$$P_{\sigma }{e}_i=e_{\sigma (i)}(1\le i\le n).$$

于是

$$P_{\tau \sigma }{e}_i=e_{\tau \sigma (i)},P_{\tau }{P}_{\sigma }{e}_i=P_{\tau }{e}_{\sigma (i)}=e_{\tau \sigma (i)}.$$

因此 $P_{\tau \sigma }{e}_i=P_{\tau }{P}_{\sigma }{e}_i(1\le i\le n)$，从而 $P_{\tau \sigma }=P_{\tau }{P}_{\sigma }$。$P_e=I_n$ 是显然的。在上式中令 $\tau ={\sigma }^{-1}$ 可得 $P_{{\sigma }^{-1}}{P}_{\sigma }=P_e=I_n$，于是 $P_{{\sigma }^{-1}}=P_{\sigma }^{-1}$。由 $e_i^{\prime }{e}_j={\delta }_{ij}$ 可得 $P_{\sigma }^{\prime }{P}_{\sigma }=I_n$，于是 $P_{\sigma }^{\prime }=P_{\sigma }^{-1}$。

(4) 设

$$A=({\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n)$$

为 $A$ 的列分块，即 $A{e}_i={\alpha }_i(1\le i\le n)$。于是

$$A{P}_{\sigma }{e}_i=A{e}_{\sigma (i)}={\alpha }_{\sigma (i)}(1\le i\le n),$$

即 $A{P}_{\sigma }$ 的第 $i$ 列是 $A$ 的第 $\sigma (i)$ 列，因此 $A{P}_{\sigma }$ 的列向量是 $A$ 的列向量的一个置换。注意到 $P_{\sigma }^{\prime }A=(A^{\prime }{P}_{\sigma }{)}^{\prime }$，故行向量置换的结论可由列向量置换的结论得到。