问题 2016A03

依赖于

• 例 1.32

被以下题目直接调用

• 无

问题 2016A03

设 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n$ 为 n 个不同的数.

(1) 试求下列 Vandermonde 矩阵 A 的逆阵:

$$\mathbf{A}=\left(\begin{array}{ccccc}1& {\lambda }_1& {\lambda }_1^2& \dots & {\lambda }_1^{n-1}\\ 1& {\lambda }_2& {\lambda }_2^2& \dots & {\lambda }_2^{n-1}\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮\\ 1& {\lambda }_n& {\lambda }_n^2& \dots & {\lambda }_n^{n-1}\end{array}\right);$$

(2) 设 $f(x)$ 为次数小于 $n$ 的多项式, 满足 $f({\lambda }_i)=b_i(1\le i\le n)$ , 请利用 (i) 的结论证明: $f(x)$ 必为如下形式的多项式 (称为 Lagrange 插值公式):

$$f(x)=\sum _{i=1}^n{b}_i\frac{(x-{\lambda }_1)\cdots (x-{\lambda }_{i-1})(x-{\lambda }_{i+1})\cdots (x-{\lambda }_n)}{({\lambda }_i-{\lambda }_1)\cdots ({\lambda }_i-{\lambda }_{i-1})({\lambda }_i-{\lambda }_{i+1})\cdots ({\lambda }_i-{\lambda }_n)}.$$

解答

将 Vandermonde 行列式 $|A|$ 按第 i 行展开可得

$$|\mathbf{A}|=A_{i1}+A_{i2}{\lambda }_i+\cdots +A_{in}{\lambda }_i^{n-1}=\prod _{1\le i<k\le n}({\lambda }_k-{\lambda }_i).$$

注意到代数余子式 $A_{ij}$ 与 ${\lambda }_i$ 无关, 故上式两边都可看成是关于 ${\lambda }_i$ 的多项式. 比较等式两边 ${\lambda }_i^{j-1}$ 的系数, 可得 (也可直接由例 1.32 得到):

$$A_{ij}=(-1{)}^{i+j}\sum _{(k_1<\cdots <k_{n-j})\in [1,n]\setminus \{i\}}{\lambda }_{k_1}\dots {\lambda }_{k_{n-j}}\prod _{(l<k)\in [1,n]\setminus \{i\}}({\lambda }_k-{\lambda }_l).$$

设 $A^{-1}=\frac{1}{|A|}{A}^{\ast }=(b_{ij})$，则

$$b_{ij}=\frac{1}{|\mathbf{A}|}{A}_{ji}=(-1{)}^{n+i}\sum _{(k_1<\cdots <k_{n-i})\in [1,n]\setminus \{j\}}{\lambda }_{k_1}\dots {\lambda }_{k_{n-i}}/\prod _{k\ne j}({\lambda }_j-{\lambda }_k).$$

(2) 设 $f(x)=a_0+a_{1}x+\cdots +a_{n-1}{x}^{n-1},\mathbf{\alpha }=(a_0,a_1,\cdots ,a_{n-1}{)}^{\prime },\mathbf{\beta }=(b_1,b_2,\cdots ,b_n{)}^{\prime }$, 则由 $f({\lambda }_i)=b_i(1\le i\le n)$ 可得 $A\alpha =\beta$. 于是 $\alpha =A^{-1}\beta$ , 再由 (1) 可得

$$a_{i-1}=\sum _{j=1}^n{b}_{ij}{b}_j=(-1{)}^{n+i}\sum _{j=1}^n{b}_j\sum _{(k_1<\cdots <k_{n-i})\in [1,n]\setminus \{j\}}{\lambda }_{k_1}\dots {\lambda }_{k_{n-i}}/\prod _{k\ne j}({\lambda }_j-{\lambda }_k).$$

最后可得

$$f(x)=\sum _{i=1}^n{a}_{i-1}{x}^{i-1}=\sum _{i=1}^n(-1{)}^{n+i}{x}^{i-1}\sum _{j=1}^n{b}_j\sum _{(k_1<\cdots <k_{n-i})\in [1,n]\setminus \{j\}}{\lambda }_{k_1}\dots {\lambda }_{k_{n-i}}/\prod _{k\ne j}({\lambda }_j-{\lambda }_k)$$ $$=\sum _{j=1}^n{b}_j\sum _{i=1}^n(-1{)}^{n-i}{x}^{i-1}\sum _{(k_1<\cdots <k_{n-i})\in [1,n]\setminus \{j\}}{\lambda }_{k_1}\dots {\lambda }_{k_{n-i}}/\prod _{k\ne j}({\lambda }_j-{\lambda }_k)$$ $$=\sum _{j=1}^n{b}_j\prod _{k\ne j}(x-{\lambda }_k)/\prod _{k\ne j}({\lambda }_j-{\lambda }_k).$$