第 2 章解答题 11

依赖于

• 例 2.49

被以下题目直接调用

• 例 9.71

第 2 章解答题 11

设 $A,B$ 为 $n$ 阶实对称阵，证明：$\mathrm{tr}((AB{)}^2)\le \mathrm{tr}(A^2{B}^2)$，并求等号成立的充要条件。

解答

由例 2.49 的结论以及矩阵迹的交换性可知

$$\mathrm{tr}((AB{)}^2)\le \mathrm{tr}((AB)(AB{)}^{\prime })=\mathrm{tr}(ABBA)=\mathrm{tr}(A^2{B}^2),$$

等号成立当且仅当 $AB$ 是对称阵，也即 $AB=BA$。