例 2.76

依赖于

• 例 2.72

被以下题目直接调用

• 无

例 2.76

设 $A,B,C,D$ 是 $n$ 阶矩阵且 $AC=CA$，求证：

$$\left|\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right|=|AD-CB|.$$

解答

证明 若 $A$ 是非异阵，则由降阶公式可得

$$\left|\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right|=|A||D-C{A}^{-1}B|=|AD-AC{A}^{-1}B|=|AD-CB|.$$

对于一般的方阵 $A$，可取到一列有理数 $t_k\to 0$，使得 $t_k{I}_n+A$ 为非异阵，并且条件 $(t_k{I}_n+A)C=C(t_k{I}_n+A)$ 仍然成立。由非异阵情形的证明可得

$$\left|\begin{array}{cc}{t}_k{I}_n+A& B\\ C& D\end{array}\right|=|(t_k{I}_n+A)D-CB|.$$

注意到上式两边均为行列式，其值都是 $t_k$ 的多项式，从而关于 $t_k$ 连续。上式两边同时取极限，令 $t_k\to 0$，即有

$$\left|\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right|=|AD-CB|$$

成立。

\par注 例 2.76 也给出了例 2.72 的摄动法证明。