例 2.72

依赖于

• 例 2.71

被以下题目直接调用

• 例 2.76

例 2.72

设 $A,B$ 是 $n$ 阶矩阵且 $AB=BA$，求证：

$$\left|\begin{array}{cc}A& -B\\ B& A\end{array}\right|=|A^2+B^2|.$$

解答

证明 由例 2.71 的结论可得

$$\begin{array}{rl}\left|\begin{array}{cc}A& -B\\ B& A\end{array}\right|& =|A+iB|\cdot |A-iB|\\ & =|(A+iB)(A-iB)|\\ & =|A^2+B^2-i(AB-BA)|=|A^2+B^2|.\end{array}$$