例 2.6

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例 6.13

例 2.6

设 $A$ 是 $n$ 阶上三角阵且主对角线上元素全为零，求证： $A^{n} = O$ 。

解答

证法 1 设 $A = (a_{ij})$ ，当 $i \geq j$ 时， $a_{ij} = 0$ 。将 $A$ 表示为基础矩阵 $E_{ij}$ 之和：

A = i < j \sum a_{ij} E_{ij} .

因为当 $j \neq = k$ 时， $E_{ij} E_{k l} = O$ ，故在 $A^{n}$ 的乘法展开式中，可能非零的项只能是具有形状

E_{i j_{1}} E_{j_{1} j_{2}} E_{j_{2} j_{3}} \dots E_{j_{n - 1} j_{n}},

但是标必须满足 $1 \leq i < j_{1} < j_{2} < j_{3} < \dots < j_{n} \leq n$ 。显然这样的项也不存在，因此 $A^{n} = O$ 。

证法 2 由假设

A e_{i} = a_{1 i} e_{1} + \dots + a_{i - 1, i} e_{i - 1} (1 \leq i \leq n),

我们只要用归纳法证明： $A^{k} e_{k} = 0$ 对任意的 $1 \leq k \leq n$ 都成立，则 $A^{n} e_{i} = 0$ 对任意的 $1 \leq i \leq n$ 都成立，从而 $A^{n} = O$ 成立。显然， $A e_{1} = 0$ 成立。假设 $A^{i} e_{i} = 0$ 对任意的 $i < k$ 都成立，则

A^{k} e_{k} = A^{k - 1} (A e_{k}) = A^{k - 1} (a_{1 k} e_{1} + \dots + a_{k - 1, k} e_{k - 1}) = a_{1 k} A^{k - 1} e_{1} + \dots + a_{k - 1, k} A^{k - 1} e_{k - 1} = 0.

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