例 2.59

依赖于

例 2.59

设 $A$ 是 $m \times n$ 实矩阵，求证：矩阵 $A A^{'}$ 的任一主子式都非负。

证明若 $r \leq n$ ，则由 Cauchy-Binet 公式可得

A A^{'} (i_{1} i_{1} i_{2} i_{2} \dots \dots i_{r} i_{r}) = 1 \leq j_{1} < j_{2} < \dots < j_{r} \leq n \sum A (i_{1} j_{1} i_{2} j_{2} \dots \dots i_{r} j_{r})^{2} \geq 0;

若 $r > n$ ，则 $A A^{'}$ 的任一 $r$ 阶主子式都等于零，结论也成立。