例 2.54

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• 问题 2023S04

例 2.54

设 $s_k=x_1^k+x_2^k+\cdots +x_n^k(k\ge 1)$，$s_0=n$，

$$S=\left(\begin{array}{ccccc}{s}_0& s_1& s_2& \cdots & s_{n-1}\\ s_1& s_2& s_3& \cdots & s_n\\ s_2& s_3& s_4& \cdots & s_{n+1}\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮\\ s_{n-1}& s_n& s_{n+1}& \cdots & s_{2n-2}\end{array}\right),$$

求 $|S|$ 的值并证明若 $x_i$ 是实数，则 $|S|\ge 0$。

解答

解 设

$$V=\left(\begin{array}{ccccc}1& 1& 1& \cdots & 1\\ x_1& x_2& x_3& \cdots & x_n\\ x_1^2& x_2^2& x_3^2& \cdots & x_n^2\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮\\ x_1^{n-1}& x_2^{n-1}& x_3^{n-1}& \cdots & x_n^{n-1}\end{array}\right),$$

则 $S=V{V}^{\prime }$，因此

$$|S|=|V{|}^2=\prod _{1\le i<j\le n}(x_j-x_i{)}^2\ge 0.$$