例 2.49

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• 无显式依赖

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• 第 2 章解答题 11

例 2.49

设 $A$ 为 $n$ 阶矩阵，求证：$\mathrm{tr}(A^2)\le \mathrm{tr}(A{A}^{\prime })$，等号成立当且仅当 $A$ 是对称阵。

解答

证明 由迹的线性、对称性、交换性和正定性可得

$$\begin{array}{rl}& \mathrm{tr}((A-A^{\prime })(A-A^{\prime }{)}^{\prime })\\ & =\mathrm{tr}((A-A^{\prime })(A^{\prime }-A))=\mathrm{tr}(A{A}^{\prime }-A^2-(A^{\prime }{)}^2+A^{\prime }A)\\ & =2\mathrm{tr}(A{A}^{\prime })-2\mathrm{tr}(A^2)\ge 0,\end{array}$$

故要证的不等式成立。若上述不等式的等号成立，则由迹的正定性可知 $A-A^{\prime }=O$，即 $A$ 为对称阵。

矩阵求迹的技巧也常常和基础矩阵联系在一起，让我们来看下面两个例题。