例 2.36

依赖于

例 2.36

设 $A, B$ 为 $n$ 阶矩阵，求证： $(A B)^{*} = B^{*} A^{*}$ 。

证明设 $C = A B$ 。记 $M_{ij}, N_{ij}, P_{ij}$ 分别是 $A, B, C$ 中第 $(i, j)$ 元素的余子式， $A_{ij}, B_{ij}, C_{ij}$ 分别是 $A, B, C$ 中第 $(i, j)$ 元素的代数余子式。注意到

A^{*} = A_{11} A_{12} ⋮ A_{1 n} A_{21} A_{22} ⋮ A_{2 n} \dots \dots \dots A_{n 1} A_{n 2} ⋮ A_{nn}, B^{*} = B_{11} B_{12} ⋮ B_{1 n} B_{21} B_{22} ⋮ B_{2 n} \dots \dots \dots B_{n 1} B_{n 2} ⋮ B_{nn},

(B^{*} A^{*})_{ij} = k = 1 \sum n B_{k i} A_{j k} .

而 $C^{*}$ 的第 $(i, j)$ 元素就是 $C_{j i} = (- 1)^{j + i} P_{j i}$ 。由 Cauchy-Binet 公式可得

C_{j i} = (- 1)^{j + i} P_{j i} = (- 1)^{j + i} k = 1 \sum n M_{j k} N_{k i} = k = 1 \sum n (- 1)^{j + k} M_{j k} (- 1)^{i + k} N_{k i} = k = 1 \sum n A_{j k} B_{k i},

故结论成立。