例 2.13

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• 例 2.16

例 2.13

设 $A$ 是二阶矩阵，若存在 $n>2$，使得 $A^n=O$，求证：$A^2=O$。

解答

证明 由 $A^n=O$ 可得 $0=|A^n|=|A{|}^n$，从而 $|A|=0$。因为 $A$ 是二阶矩阵，由 $|A|=0$ 容易验证 $A$ 的两个列向量成比例，于是存在二维行向量 $\alpha ,\beta$，使得 $A={\alpha }^{\prime }\beta$。注意到 $\beta {\alpha }^{\prime }$ 是一个数，由矩阵乘法的结合律可得

$$\begin{array}{rl}O=A^n& =({\alpha }^{\prime }\beta )({\alpha }^{\prime }\beta )\cdots ({\alpha }^{\prime }\beta )\\ & ={\alpha }^{\prime }(\beta {\alpha }^{\prime })\cdots (\beta {\alpha }^{\prime })\beta \\ & =(\beta {\alpha }^{\prime }{)}^{n-1}{\alpha }^{\prime }\beta =(\beta {\alpha }^{\prime }{)}^{n-1}A.\end{array}$$

因此或者 $\beta {\alpha }^{\prime }=0$，或者 $A=O$，但无论哪种情况，我们最后都有

$$A^2=({\alpha }^{\prime }\beta )({\alpha }^{\prime }\beta )={\alpha }^{\prime }(\beta {\alpha }^{\prime })\beta =(\beta {\alpha }^{\prime })A=O.$$

$\square$