问题 2019A02

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• 例 1.22

被以下题目直接调用

• 无

问题 2019A02

设 2019 阶行列式

$$|\mathbf{A}|=\left|\begin{array}{ccccc}1& x_1& x_1^2& \dots & x_1^{2018}\\ 1& x_2& x_2^2& \dots & x_2^{2018}\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮\\ 1& x_{2019}& x_{2019}^2& \dots & x_{2019}^{2018}\end{array}\right|.$$

设 $|\mathbf{A}|$ 的代数余子式分别为 $A_{ij}$ $(1\le i,j\le 2019)$，试求 ${\sum }_{i,j=1}^{2019}(x_i^{2019}+j^{70})A_{ij}$

解答

将求和分成两个部分分别来计算 ${\sum }_{i,j=1}^{2019}(x_i^{2019}+j^{70})A_{ij}={\sum }_{i,j=1}^{2019}{x}_i^{2019}{A}_{ij}+{\sum }_{i,j=1}^{2019}{j}^{70}{A}_{ij}$. 由例 1.22 的推论可知

$$\sum _{i,j=1}^{2019}{j}^{70}{A}_{ij}=\left|\begin{array}{ccccc}2& x_1+2^{70}& x_1^2+3^{70}& \dots & x_1^{2018}+2019^{70}\\ 2& x_2+2^{70}& x_2^2+3^{70}& \dots & x_2^{2018}+2019^{70}\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮\\ 2& x_{2019}+2^{70}& x_{2019}^2+3^{70}& \dots & x_{2019}^{2018}+2019^{70}\end{array}\right|-|\mathbf{A}|.$$

计算上式右边第一个行列式: 利用第一列消去第 j 列的常数项 $j^{70}$，再将第一列的公因子 2 提出，可得行列式的值为 $2|A|$，于是第二部分的值等于 $|A|={\prod }_{1\le i<j\le 2019}(x_j-x_i)$。由例 1.22 的推论（转置版本）可知

$$\sum _{i,j=1}^{2019}{x}_i^{2019}{A}_{ij}=\left|\begin{array}{cccc}1+x_1^{2019}& x_1+x_1^{2019}& \dots & x_1^{2018}+x_1^{2019}\\ 1+x_2^{2019}& x_2+x_2^{2019}& \dots & x_2^{2018}+x_2^{2019}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ 1+x_{2019}^{2019}& x_{2019}+x_{2019}^{2019}& \dots & x_{2019}^{2018}+x_{2019}^{2019}\end{array}\right|-|\mathbf{A}|.$$

计算上式右边第一个行列式：最右边增加一列 $(x_1^{2019},x_2^{2019},\cdots ,x_{2019}^{2019}{)}^{\prime }$，最下面增加一行 $(0,0,\cdots ,0,1)$，再用新行列式的最后一列消去前面各列中的 $x_j^{2019}$ 次项，最后将最后一行拆分为 $(-1,-1,\cdots ,-1,-1)+(0,0,\cdots ,0,2)$，可得

$$\left|\begin{array}{ccccc}1+x_1^{2019}& x_1+x_1^{2019}& \dots & x_1^{2018}+x_1^{2019}& x_1^{2019}\\ 1+x_2^{2019}& x_2+x_2^{2019}& \dots & x_2^{2018}+x_2^{2019}& x_2^{2019}\\ ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮\\ 1+x_{2019}^{2019}& x_{2019}+x_{2019}^{2019}& \dots & x_{2019}^{2018}+x_{2019}^{2019}& x_{2019}^{2019}\\ 0& 0& \dots & 0& 1\end{array}\right|$$ $$=\left|\begin{array}{ccccc}1& x_1& \dots & x_1^{2018}& x_1^{2019}\\ 1& x_2& \dots & x_2^{2018}& x_2^{2019}\\ ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮\\ 1& x_{2019}& \dots & x_{2019}^{2018}& x_{2019}^{2019}\\ -1& -1& \dots & -1& 1\end{array}\right|$$ $$=-\left|\begin{array}{ccccc}1& x_1& \dots & x_1^{2018}& x_1^{2019}\\ 1& x_2& \dots & x_2^{2018}& x_2^{2019}\\ ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮\\ 1& x_{2019}& \dots & x_{2019}^{2018}& x_{2019}^{2019}\\ 1& 1& \dots & 1& 1\end{array}\right|+2|\mathbf{A}|.$$

于是第一部分的值 ${\sum }_{i,j=1}^{2019}{x}_i^{2019}{A}_{ij}=-{\prod }_{1\le i<j\le 2019}(x_j-x_i){\prod }_{k=1}^{2019}(1-x_k)+{\prod }_{1\le i<j\le 2019}(x_j-x_i)$. 因此 ${\sum }_{i,j=1}^{2019}(x_i^{2019}+j^{70})A_{ij}=\left(2+{\prod }_{k=1}^{2019}(x_k-1)\right){\prod }_{1\le i<j\le 2019}(x_j-x_i)$.