例 1.37

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• 第 1 章填空题 2

例 1.37

计算行列式：

$$|A|=\left|\begin{array}{cccc}1+x& 1& 1& 1\\ 1& 1-x& 1& 1\\ 1& 1& 1+y& 1\\ 1& 1& 1& 1-y\end{array}\right|.$$

解答

解 显然当 $x=0$ 或 $y=0$ 时 $|A|=0$。因此 $|A|$ 含有因子 $xy$。若将 $-x$ 代 $x$，所得行列式仍和 $|A|$ 相等（只要将第一、第二行对换， 再将第一、第二列对换）。可见，$|A|$ 含有因子 $x^2$，同理 $|A|$ 含有因子 $y^2$。而 $x^2{y}^2$ 项的系数是 $1$，因此 $|A|=x^2{y}^2$。$\square$