例 1.36

依赖于

• 例 1.5

被以下题目直接调用

• 无

例 1.36

计算行列式：

$$|A|=\left|\begin{array}{cccc}x& y& z& w\\ y& x& w& z\\ z& w& x& y\\ w& z& y& x\end{array}\right|.$$

解答

解 设 $|A|=f(x)$，将所有行加到第一行上可以提出因子 $x+y+z+w$。第二行乘以 $1$，第三、第四行乘以 $-1$ 加到第一行上可提出因子 $x+y-z-w$。同理可知 $|A|$ 有因子 $x+z-y-w$，$x+w-y-z$。又 $|A|$ 看成为 $x$ 的多项式是四次的，首项系数为 $1$，故

$$|A|=(x+y+z+w)(x+y-z-w)(x+z-y-w)(x+w-y-z).\square$$

注 利用行列式的性质可以给出例 1.36 的另一种解法，请参考 [1] 的例 1.5.10。