例 1.33

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• 例 1.4

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• 无

例 1.33

求下列 $n$ 阶行列式的值，其中 $a_i\ne 0(1\le i\le n)$：

$$|A|=\left|\begin{array}{ccccc}0& a_1+a_2& \cdots & a_1+a_{n-1}& a_1+a_n\\ a_2+a_1& 0& \cdots & a_2+a_{n-1}& a_2+a_n\\ ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮\\ a_{n-1}+a_1& a_{n-1}+a_2& \cdots & 0& a_{n-1}+a_n\\ a_n+a_1& a_n+a_2& \cdots & a_n+a_{n-1}& 0\end{array}\right|.$$

解答

解 将原行列式 $|A|$ 升阶，考虑如下 $n+1$ 阶行列式： \begingroup \setlength{\arraycolsep}{4pt}

$$|B|=\left|\begin{array}{cccccc}1& -a_1& -a_2& \cdots & -a_{n-1}& -a_n\\ 0& 0& a_1+a_2& \cdots & a_1+a_{n-1}& a_1+a_n\\ 0& a_2+a_1& 0& \cdots & a_2+a_{n-1}& a_2+a_n\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮\\ 0& a_{n-1}+a_1& a_{n-1}+a_2& \cdots & 0& a_{n-1}+a_n\\ 0& a_n+a_1& a_n+a_2& \cdots & a_n+a_{n-1}& 0\end{array}\right|,$$

\endgroup 显然 $|A|=|B|$。将 $|B|$ 的第一行分别加到余下的 $n$ 行上，可得 \begingroup \setlength{\arraycolsep}{4pt}

$$|B|=\left|\begin{array}{cccccc}1& -a_1& -a_2& \cdots & -a_{n-1}& -a_n\\ 1& -a_1& a_1& \cdots & a_1& a_1\\ 1& a_2& -a_2& \cdots & a_2& a_2\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮\\ 1& a_{n-1}& a_{n-1}& \cdots & -a_{n-1}& a_{n-1}\\ 1& a_n& a_n& \cdots & a_n& -a_n\end{array}\right|.$$

\endgroup 再次将上述行列式升阶，考虑如下 $n+2$ 阶行列式： \begingroup \setlength{\arraycolsep}{4pt}

$$|C|=\left|\begin{array}{ccccccc}1& 0& 0& 0& \cdots & 0& 0\\ 0& 1& -a_1& -a_2& \cdots & -a_{n-1}& -a_n\\ -a_1& 1& -a_1& a_1& \cdots & a_1& a_1\\ -a_2& 1& a_2& -a_2& \cdots & a_2& a_2\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮\\ -a_{n-1}& 1& a_{n-1}& a_{n-1}& \cdots & -a_{n-1}& a_{n-1}\\ -a_n& 1& a_n& a_n& \cdots & a_n& -a_n\end{array}\right|.$$

\endgroup 显然 $|A|=|B|=|C|$。将 $|C|$ 的第一列分别加到最后的 $n$ 列上，可得 \begingroup \setlength{\arraycolsep}{4pt}

$$|C|=\left|\begin{array}{ccccccc}1& 0& 1& 1& \cdots & 1& 1\\ 0& 1& -a_1& -a_2& \cdots & -a_{n-1}& -a_n\\ -a_1& 1& -2a_1& 0& \cdots & 0& 0\\ -a_2& 1& 0& -2a_2& \cdots & 0& 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮\\ -a_{n-1}& 1& 0& 0& \cdots & -2a_{n-1}& 0\\ -a_n& 1& 0& 0& \cdots & 0& -2a_n\end{array}\right|.$$

\endgroup 上述行列式是爪型行列式（参考例 1.4），只要利用非零主对角元将爪的一边消去，变成（分块）上（下）三角行列式即可计算出结果。我们选择消去前两列的爪边，在上述行列式中，将第 $i$ 列 $(i=3,4,\cdots ,n+2)$ 乘以 $-\frac{1}{2}$ 都加到第一列上，再将第 $i$ 列 $(i=3,4,\cdots ,n+2)$ 乘以 $\frac{1}{2a_{i-2}}$ 都加到第二列上，可得 \begingroup \setlength{\arraycolsep}{4pt}

$$|C|=\left|\begin{array}{ccccccc}1-\frac{n}{2}& \frac{T}{2}& 1& 1& \cdots & 1& 1\\ \frac{S}{2}& 1-\frac{n}{2}& -a_1& -a_2& \cdots & -a_{n-1}& -a_n\\ 0& 0& -2a_1& 0& \cdots & 0& 0\\ 0& 0& 0& -2a_2& \cdots & 0& 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮\\ 0& 0& 0& 0& \cdots & -2a_{n-1}& 0\\ 0& 0& 0& 0& \cdots & 0& -2a_n\end{array}\right|,$$

\endgroup 其中 $S=a_1+a_2+\cdots +a_n,T=\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\cdots +\frac{1}{a_n}$。注意到上述行列式是分块上三角行列式，从而可得

$$|A|=|C|=(-2{)}^{n-2}\prod _{i=1}^n{a}_i\left((n-2{)}^2-\left(\sum _{i=1}^n{a}_i\right)\left(\sum _{i=1}^n\frac{1}{a_i}\right)\right).\square$$