例 1.27

依赖于

• 无显式依赖

被以下题目直接调用

• 第 1 章解答题 15

例 1.27

设 $f_k(x)=x^k+a_{k1}{x}^{k-1}+a_{k2}{x}^{k-2}+\cdots +a_{kk}$，求下列行列式的值：

$$\left|\begin{array}{ccccc}1& f_1(x_1)& f_2(x_1)& \cdots & f_{n-1}(x_1)\\ 1& f_1(x_2)& f_2(x_2)& \cdots & f_{n-1}(x_2)\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮\\ 1& f_1(x_n)& f_2(x_n)& \cdots & f_{n-1}(x_n)\end{array}\right|.$$

解答

解 将原行列式写为

$$\left|\begin{array}{ccccc}1& x_1+a_{11}& x_1^2+a_{21}{x}_1+a_{22}& \cdots & f_{n-1}(x_1)\\ 1& x_2+a_{11}& x_2^2+a_{21}{x}_2+a_{22}& \cdots & f_{n-1}(x_2)\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮\\ 1& x_n+a_{11}& x_n^2+a_{21}{x}_n+a_{22}& \cdots & f_{n-1}(x_n)\end{array}\right|.$$

显然，利用行列式的性质，可将每一列消去除最高次项外的其他项，从而得到一个 Vandermonde 行列式，因此行列式的值为

$$\prod _{1\le i<j\le n}(x_j-x_i).\square$$