例 1.12

依赖于

例 1.12

计算 $n$ 阶行列式：
$∣ A ∣ = 1 n n - 1 ⋮ 32 21 n ⋮ 43 321 ⋮ 54 \dots \dots \dots \dots \dots n - 1 n - 2 n - 3 ⋮ 1 n n n - 1 n - 2 ⋮ 21 .$

解将后 $n - 1$ 列加到第一列，提出公因子 $\frac{1}{2} n (n + 1)$ ，用第 $(1, 1)$ 元消去同列的其他元素，再按第一列展开得到 $n - 1$ 阶行列式：

∣ A ∣ = \frac{1}{2} n (n + 1) 111 ⋮ 11 21 n ⋮ 43 321 ⋮ 54 \dots \dots \dots \dots \dots n - 1 n - 2 n - 3 ⋮ 1 n n n - 1 n - 2 ⋮ 21 = \frac{1}{2} n (n + 1) 100 ⋮ 00 2 - 1 n - 2 ⋮ 21 3 - 1 - 2 ⋮ 21 \dots \dots \dots \dots \dots n - 1 - 1 - 2 ⋮ 2 - n 1 n - 1 - 2 ⋮ 2 - n 1 - n = \frac{1}{2} n (n + 1) - 1 n - 2 ⋮ 21 - 1 - 2 ⋮ 21 \dots \dots \dots \dots - 1 - 2 ⋮ 2 - n 1 - 1 - 2 ⋮ 2 - n 1 - n .

用所得 $n - 1$ 阶行列式的第 $(1, 1)$ 元消去同行的其他元素，再按第一行展开得到 $n - 2$ 阶上三角行列式：

∣ A ∣ = \frac{1}{2} n (n + 1) - 1 n - 2 ⋮ 21 0 - n ⋮ 00 \dots \dots \dots \dots 0 - n ⋮ - n 0 0 - n ⋮ - n - n = - \frac{1}{2} n (n + 1) - n \dots ⋱ - n ⋮ - n - n ⋮ - n - n = (- 1)^{n - 1} \frac{n + 1}{2} n^{n - 1} . □