矩母函数

这篇笔记为综述性质，将介绍矩母函数的定义、基本性质及其在计算矩和判断独立随机变量之和分布中的作用，并总结常见离散与连续分布的矩母函数及可加性

对于取非负整数值的随机变量 $X$ , 设 $P(X=k)=p_k$ , 现在我们考虑一个生成函数

$$G_X(z)=\sum _{k\ge 0}{p}_k{z}^k=E[z^X].$$

若 $X,Y$ 独立，那么

$$G_{X+Y}(z)=E[z^{X+Y}]=E[z^X]E[z^Y]=G_X(z)G_Y(z).$$

于是我们将随机变量相加的关系变为了函数相乘的关系。现在令 $z=e^t$，就得到

$$G_X(e^t)=E[e^{tX}]=M_X(t).$$

而指数函数的泰勒展开恰好是

$$e^{tX}=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{X^n{t}^n}{n!},$$

所以在允许交换期望与求导时，

$$M_X(t)=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{E[X^n]}{n!}{t}^n,M_X^{(n)}(0)=E[X^n].$$

这就提供了一种计算各阶矩的方式，称这个函数为矩母函数

矩母函数

对于一个随机变量 $X$，其矩母函数 $M_X(t)$ 定义为

$$M_X(t)=E[e^{tX}]$$

性质1: 如果两个随机变量 $X$ 和 $Y$ 的矩母函数在 $t=0$ 的某个邻域内相等（即 $M_X(t)=M_Y(t)$），那么这两个随机变量必定服从完全相同的概率分布

性质2: 如果 $X$ 和 $Y$ 是两个相互独立的随机变量，那么 $M_{X+Y}(t)=M_X(t)\cdot M_Y(t)$

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常见分布的矩母函数

接下来我们计算常见的几个分布的矩母函数，并以此计算其期望和方差

离散分布

1.伯努利分布

$X\sim B(1,p)$，其矩母函数为

$$M_X(t)=1-p+p{e}^t$$

$P(X=1)=p,P(X=0)=1-p$，于是

$$M_X(t)=e^{0t}(1-p)+e^{t}p=1-p+p{e}^t.$$

$E(X)=M_X^{\prime }(0)=p$，$E(X^2)=M_X^{\prime \prime }(0)=p$，因此 $Var(X)=p(1-p)$

2.二项分布

$X\sim B(n,p)$，即

$$P(X=k)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)p^k(1-p{)}^{n-k},k=0,\dots ,n.$$

其矩母函数为

$$M_X(t)=(1-p+p{e}^t{)}^n$$

直接计算得到

$$\begin{array}{rl}{M}_X(t)& =\sum _{k=0}^n{e}^{tk}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)p^k(1-p{)}^{n-k}\\ & =\sum _{k=0}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)(p{e}^t{)}^k(1-p{)}^{n-k}\\ & =(1-p+p{e}^t{)}^n,\end{array}$$

$E(X)=M_X^{\prime }(0)=np$，$E(X^2)=M_X^{\prime \prime }(0)=np(1-p)+n^2{p}^2$，$Var(X)=np(1-p)$

3.几何分布

$X\sim GE(p)$，每次试验成功的概率为 $p$，失败的概率为 $q=1-p$

$$P(X=x)=q^{x-1}p$$

其矩母函数为

$$M_X(t)=\frac{p{e}^t}{1-q{e}^t}$$

直接计算有

$$\begin{array}{rl}{M}_X(t)& =\sum _{x=1}^{\infty }{e}^{tx}{q}^{x-1}p\\ & \\ & =\frac{p}{q}\sum _{x=1}^{\infty }(q{e}^t{)}^x\\ & \\ & =\frac{p{e}^t}{1-q{e}^t},假设q{e}^t<1\end{array}$$

$E(X)=M_X^{\prime }(0)=\frac{1}{p}$，$E(X^2)=M_X^{\prime \prime }(0)=\frac{2-p}{p^2}$，$Var(X)=\frac{1-p}{p^2}$

4.负二项分布

$X\sim NB(r,p)$，每次试验成功概率为 $p$，失败概率为 $q=1-p$

$$P(X=x)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{x-1}{r-1}\right)p^r{q}^{x-r}$$

其矩母函数为

$$M_X(t)={\left(\frac{p{e}^t}{1-q{e}^t}\right)}^r$$

这个证明要用到下面的负二项展开定理，我们简单证明一下

$$(1-z{)}^{-r}=\sum _{k=0}^{\infty }(\genfrac{}{}{0ex}{}{k+r-1}{k})z^k$$

对于任意实数 $\alpha$ 和满足 $|x|<1$ 的实数 $x$，由 Taylor展开不难得到广义二项式展开

$$(1+x{)}^{\alpha }=\sum _{n=0}^{\infty }(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{n})x^n$$

其中，广义二项式系数定义为：

$$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{n}\right)=\frac{\alpha (\alpha -1)(\alpha -2)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}$$

取 $\alpha =-r,x=-z$，得到

$$(1-z{)}^{-r}=\sum _{k=0}^{\infty }(\genfrac{}{}{0ex}{}{-r}{k})(-z{)}^k.$$

其中

$$(-1{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{-r}{k})=(-1{)}^k\frac{(-r)(-r-1)\cdots (-r-k+1)}{k!}=\frac{r(r+1)\cdots (r+k-1)}{k!}=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{k+r-1}{k}\right).$$

因此就得到了原式。现在计算其矩母函数
令 $k=x-r$，则 $x=k+r$，且当 $x=r,r+1,\dots$ 时，$k=0,1,\dots$。因此

$$\begin{array}{rl}{M}_X(t)& =E(e^{tX})\\ & =\sum _{x=r}^{\infty }{e}^{tx}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{x-1}{r-1}\right)p^r{q}^{x-r}\\ & =\sum _{k=0}^{\infty }{e}^{t(k+r)}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{k+r-1}{r-1}\right)p^r{q}^k\\ & =p^r{e}^{rt}\sum _{k=0}^{\infty }\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{k+r-1}{k}\right)(q{e}^t{)}^k.\end{array}$$

利用刚刚证明的负二项展开公式，取 $z=q{e}^t$，在 $|q{e}^t|<1$ 时，

$$\sum _{k=0}^{\infty }\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{k+r-1}{k}\right)(q{e}^t{)}^k=(1-q{e}^t{)}^{-r}.$$

于是

$$M_X(t)=p^r{e}^{rt}(1-q{e}^t{)}^{-r}={\left(\frac{p{e}^t}{1-q{e}^t}\right)}^r.$$

$E(X)=M_X^{\prime }(0)=\frac{r}{p}$，$E(X^2)=\frac{r(r+q)}{p^2}$，$Var(X)=\frac{rq}{p^2}$

5.泊松分布

设 $X\sim \mathrm{Poisson}(\lambda )$，即

$$P(X=k)=e^{-\lambda }\frac{{\lambda }^k}{k!}.$$

其矩母函数为

$$M_X(t)=e^{\lambda (e^t-1)},t\in \mathbb{R}$$

现在直接计算有

$$\begin{array}{rl}{M}_X(t)& =\sum _{k=0}^{\infty }{e}^{tk}{e}^{-\lambda }\frac{{\lambda }^k}{k!}\\ & =e^{-\lambda }\sum _{k=0}^{\infty }\frac{(\lambda e^t{)}^k}{k!}\\ & =e^{-\lambda }{e}^{\lambda e^t}\\ & =e^{\lambda (e^t-1)},t\in \mathbb{R}.\end{array}$$

因此
$E(X)=\lambda$，$E(X^2)={\lambda }^2+\lambda$，$Var(X)=\lambda$

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连续分布

1.均匀分布

$X\sim U(a,b)$，$f(x)=\frac{1}{b-a}{1}_{\{a<x<b\}}$，矩母函数为

$$M_X(t)=\frac{1}{b-a}{\int }_a^b{e}^{tx}dx=\{\begin{array}{ll}\frac{e^{bt}-e^{at}}{(b-a)t},& t\ne 0,\\ 1,& t=0.\end{array}$$

期望和方差此时直接按照定义更好计算，直接积分得

$$E(X)=\frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}xdx=\frac{a+b}{2}$$

二阶矩为

$$E(X^2)=\frac{1}{b-a}{\int }_a^b{x}^{2}dx=\frac{b^3-a^3}{3(b-a)}=\frac{a^2+ab+b^2}{3}$$

因此

$$\mathrm{Var}(X)=\frac{a^2+ab+b^2}{3}-{\left(\frac{a+b}{2}\right)}^2=\frac{(b-a{)}^2}{12}.$$

2.指数分布

$X\sim \mathrm{Exp}(\lambda )$，$f(x)=\lambda e^{-\lambda x}{1}_{\{x\ge 0\}}$

$$M_X(t)=\lambda {\int }_0^{\infty }{e}^{-(\lambda -t)x}dx=\frac{\lambda }{\lambda -t}.$$

由 $M_X^{\prime }(t)=\frac{\lambda }{(\lambda -t{)}^2}$、$M_X^{\prime \prime }(t)=\frac{2\lambda }{(\lambda -t{)}^3}$，得到

$$E(X)=\frac{1}{\lambda },E(X^2)=\frac{2}{{\lambda }^2},\mathrm{Var}(X)=\frac{1}{{\lambda }^2}.$$

3.正态分布

$X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$，其密度和分布函数为

$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}},F(x)=\Phi \left(\frac{x-\mu }{\sigma }\right),$$

矩母函数为

$$M_X(t)=e^{\mu t+\frac{{\sigma }^2{t}^2}{2}},t\in \mathbb{R}.$$

现在计算其矩母函数

$$\begin{array}{rl}{M}_X(t)& ={\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}{e}^{tx}dx\\ & \\ & ={\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-\frac{[x-(\mu +{\sigma }^{2}t){]}^2}{2{\sigma }^2}+\mu t+\frac{{\sigma }^2{t}^2}{2}}dx\\ & \\ & =e^{\mu t+\frac{{\sigma }^2{t}^2}{2}}\end{array}$$

$M_X^{\prime }(t)=(\mu +{\sigma }^{2}t)M_X(t)$ 及 $M_X^{\prime \prime }(t)=[{\sigma }^2+(\mu +{\sigma }^{2}t{)}^2]M_X(t)$，得到

$$E(X)=\mu ,E(X^2)={\mu }^2+{\sigma }^2,\mathrm{Var}(X)={\sigma }^2.$$

4.Gamma 分布

$X\sim \Gamma (\alpha ,\lambda )$，其密度函数为

$$f(x)=\frac{{\lambda }^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}{x}^{\alpha -1}{e}^{-\lambda x}{1}_{\{x>0\}}$$

矩母函数为

$$M_X(t)={\left(\frac{\lambda }{\lambda -t}\right)}^{\alpha }.$$

现在直接计算矩母函数

$$\begin{array}{rl}{M}_X(t)& =\frac{{\lambda }^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}{\int }_0^{\infty }{x}^{\alpha -1}{e}^{-(\lambda -t)x}dx\\ & \\ & ={\left(\frac{\lambda }{\lambda -t}\right)}^{\alpha }\frac{{\lambda }^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}{\int }_0^{\infty }{y}^{\alpha -1}{e}^{-\lambda y}dy,(y=\frac{\lambda -t}{\lambda }x)\\ & \\ & ={\left(\frac{\lambda }{\lambda -t}\right)}^{\alpha }\end{array}$$

$E(X)=M_X^{\prime }(0)=\frac{\alpha }{\lambda }$，$E(X^2)=\frac{\alpha (\alpha +1)}{{\lambda }^2}$，$Var(X)=\frac{\alpha }{{\lambda }^2}$

5.卡方分布

$X\sim {\chi }_{\nu }^2$，卡方分布是 Gamma 分布的特殊情形:

$${\chi }_{\nu }^2=\Gamma \left(\frac{\nu }{2},\frac{1}{2}\right).$$

密度函数为

$$f(x)=\frac{x^{\frac{\nu }{2}-1}{e}^{-\frac{x}{2}}}{2^{\frac{\nu }{2}}\Gamma (\frac{\nu }{2})}{1}_{\{x>0\}}$$

矩母函数为

$$M_X(t)=(1-2t{)}^{-\frac{\nu }{2}}.$$

代入 Gamma 分布公式，当 $t<\frac{1}{2}$ 时，

$$M_X(t)=(1-2t{)}^{-\nu /2}.$$

相应地，

$$E(X)=\nu ,E(X^2)=\nu (\nu +2),\mathrm{Var}(X)=2\nu .$$

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推导独立随机变量和的分布

若 $X,Y$ 独立，则

$$M_{X+Y}(t)=M_X(t)M_Y(t).$$

这是矩母函数最实用的地方之一，现在我们来推导常见分布的独立变量和的分布

伯努利分布之和为二项分布

$X_i\sim B(1,p)$ 相互独立，因此

$$M_{X_i}(t)=\mathbb{E}[e^{t{X}_i}]=(1-p)e^0+p{e}^t=1-p+p{e}^t.$$

于是

$$M_{S_n}(t)=\prod _{i=1}^n{M}_{X_i}(t)=(1-p+p{e}^t{)}^n.$$

这就是二项分布的矩母函数，因此由矩母函数的唯一性，就有

$$\sum _{i=1}^n{X}_i\sim B\left(\sum _{i=1}^n{m}_i,p\right)$$

同时这也证明了伯努利分布，二项分布的可加性

伯努利分布描述的是单次试验的结果，而二项分布描述的是在 $n$ 次独立重复试验中总共成功的次数，所以将 $n$ 个独立且成功概率相同的伯努利分布加在一起，其结果自然就构成了二项分布

泊松分布之和仍为泊松分布

设 $X_i\sim \mathrm{Poisson}({\lambda }_i)$ 相互独立。泊松变量的矩母函数为

$$M_{X_i}(t)=\exp ({\lambda }_i(e^t-1)).$$

所以

$$M_{S_n}(t)=\prod _{i=1}^n\exp ({\lambda }_i(e^t-1))=\exp \left[\left(\sum _{i=1}^n{\lambda }_i\right)(e^t-1)\right].$$

因此

$$\sum _{i=1}^n{X}_i\sim \mathrm{Poisson}\left(\sum _{i=1}^n{\lambda }_i\right)$$

同时这也证明了泊松分布的可加性

泊松分布描述的是在特定时间内随机且独立发生的事件次数，多个独立泊松分布相加，本质上是将多组互不干扰的随机事件流拼成一个总事件流，所以其总和依然严格服从泊松分布

正态分布之和仍为正态分布

设 $X_i\sim N({\mu }_i,{\sigma }_i^2)$ 相互独立。正态分布的矩母函数为

$$M_{X_i}(t)=\exp \left({\mu }_{i}t+\frac{1}{2}{\sigma }_i^2{t}^2\right).$$

于是

$$M_{S_n}(t)=\prod _{i=1}^n\exp \left({\mu }_{i}t+\frac{1}{2}{\sigma }_i^2{t}^2\right)=\exp \left[\left(\sum _{i=1}^n{\mu }_i\right)t+\frac{1}{2}\left(\sum _{i=1}^n{\sigma }_i^2\right)t^2\right].$$

这是正态分布 $N\left({\sum }_{i=1}^n{\mu }_i,{\sum }_{i=1}^n{\sigma }_i^2\right)$ 的矩母函数。因此

$$\sum _{i=1}^n{X}_i\sim N\left(\sum _{i=1}^n{\mu }_i,\sum _{i=1}^n{\sigma }_i^2\right)$$

同时这也证明了正态分布的可加性

正态变量可以看成许多细小、独立、方向随机的扰动叠加出来的结果；把两个这样的变量相加，只是把两组扰动合并，整体的中心会移动、波动会变大，但“中间最常见、两边越来越少”的钟形结构不会改变

指数分布之和为 Gamma 分布

$X_i\sim \mathrm{Exp}(\lambda )$ 相互独立，其矩母函数为

$$M_{X_i}(t)=\lambda {\int }_0^{\infty }{e}^{-(\lambda -t)x}dx=\frac{\lambda }{\lambda -t}.$$

因此

$$M_{S_n}(t)={\left(\frac{\lambda }{\lambda -t}\right)}^n.$$

这正是Gamma分布 $\Gamma (n,\lambda )$ 的矩母函数，因此

$$X_1+\cdots +X_n\sim \Gamma (n,\lambda )$$

同时这也证明了指数分布，Gamma分布，卡方分布的可加性

指数分布本质上描述的是“等待单一随机事件发生所需的时间”。将多个独立的指数分布相加，相当于你在时间轴上连续不断地等待一系列事件依次发生。这种一段段拼接起来的总等待时间，其物理意义自然就变成了“等待多个事件全部发生所需的总时间”，而这恰好就是 Gamma 分布所定义的底层概念

几何分布之和为负二项分布

$X_i\sim GE(p)$ 相互独立，$X_i$ 的矩母函数为

$$M_{X_i}(t)=\frac{p{e}^t}{1-q{e}^t}$$

因此

$$M_{S_n}(t)={\left(\frac{p{e}^t}{1-q{e}^t}\right)}^n$$

这正是负二项分布的矩母函数，因此

$$\sum _{i=1}^n{X}_i\sim \mathrm{NB}(n,p).$$

同时这也证明了负二项分布的可加性

几何分布描述的是“不断重复尝试，直到获得单次成功所需的总次数”。将多个独立的几何分布相加，相当于你在经历了一次成功后立即重新开始，继续等待下一次成功。这种一段段“等待单次成功”的过程累加起来，其整体的意义自然就变成了“不断尝试，直到累计获得 $n$ 次成功所需的总次数”，而这恰好就是负二项分布的定义

接下来我们推导标准正态分布平方和的可加性，这会将指数分布，Gamma分布，正态分布，卡方分布全部串联一起

标准正态随机变量的平方和是卡方分布

设 $X_i\sim N(0,1)$ 相互独立，则

$$\sum _{i=1}^n{X}_i^2\sim {\chi }_n^2.$$

其中

$${\chi }_n^2=\Gamma \left(\frac{n}{2},\frac{1}{2}\right).$$

我们首先来计算 $X_i^2$ 的矩母函数

$$M_{X_i^2}(t)=E(e^{t{X}_i^2})=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{t{x}^2}{e}^{-x^2/2}dx=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-\frac{1-2t}{2}{x}^2}dx=(1-2t{)}^{-1/2}.$$

由于 $X_1,\dots ,X_n$ 相互独立，所以 $X_1^2,\dots ,X_n^2$ 也相互独立，令 $Q={\sum }_{i=1}^n{X}_i^2$，因此

$$M_Q(t)=\prod _{i=1}^n{M}_{X_i^2}(t)={\left((1-2t{)}^{-1/2}\right)}^n=(1-2t{)}^{-n/2},t<\frac{1}{2}.$$

而自由度为 $n$ 的卡方分布 ${\chi }_n^2$ 的矩母函数正是 $M(t)=(1-2t{)}^{-n/2}$
在之前我们推导过，卡方分布是特殊的Gamma分布

$${\chi }_n^2=\Gamma \left(\frac{n}{2},\frac{1}{2}\right).$$

而Gamma分布又是指数分布 $Y_i$ 之和：

$$Y_1+\cdots +Y_n\sim \Gamma (n,\lambda )$$

那么现在得到

$$\sum _{i=1}^{2n}{X}_i^2\sim {\chi }_{2n}^2=\Gamma \left(n,\frac{1}{2}\right)\sim Y_1+\cdots +Y_n$$

其中 $X_i\sim N(0,1)$, $Y_i\sim \mathrm{Exp}(\frac{1}{2})$. 可以看出正态分布竟然和指数分布有关

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最后我们总结一下上面所有分布的性质为两张表格:

分布	概率质量函数或密度函数	矩母函数	可加性条件	相加后的分布
伯努利分布 $X\sim B(1,p)$	$P(X=x)=p^x(1-p{)}^{1-x},x\in \{0,1\}$	$M_X(t)=1-p+p{e}^t,t\in \mathbb{R}$	$X_i\sim B(1,p),i=1,\dots ,n$	$\sum _{i=1}^n{X}_i\sim B(n,p)$
二项分布 $X\sim B(n,p)$	$P(X=k)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)p^k(1-p{)}^{n-k},k=0,\dots ,n$	$M_X(t)=(1-p+p{e}^t{)}^n,t\in \mathbb{R}$	$X_i\sim B(n_i,p)$ 且成功概率 $p$ 相同	$\sum _{i=1}^m{X}_i\sim B\left(\sum _{i=1}^m{n}_i,p\right)$
几何分布 $X\sim GE(p)$	$P(X=x)=q^{x-1}p,x=1,2,\dots$	$M_X(t)=\frac{p{e}^t}{1-q{e}^t},t<-\ln q$	$X_i\sim GE(p),i=1,\dots ,n$	$\sum _{i=1}^n{X}_i\sim NB(n,p)$
负二项分布 $X\sim NB(r,p)$	$P(X=x)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{x-1}{r-1}\right)p^r{q}^{x-r},x=r,r+1,\dots$	$M_X(t)={\left(\frac{p{e}^t}{1-q{e}^t}\right)}^r,t<-\ln q$	$X_i\sim NB(r_i,p)$ 且成功概率 $p$ 相同	$\sum _{i=1}^m{X}_i\sim NB\left(\sum _{i=1}^m{r}_i,p\right)$
泊松分布 $X\sim \mathrm{Poisson}(\lambda )$	$P(X=k)=e^{-\lambda }\frac{{\lambda }^k}{k!},k=0,1,\dots$	$M_X(t)=e^{\lambda (e^t-1)},t\in \mathbb{R}$	$X_i\sim \mathrm{Poisson}({\lambda }_i)$	$\sum _{i=1}^n{X}_i\sim \mathrm{Poisson}\left(\sum _{i=1}^n{\lambda }_i\right)$
均匀分布 $X\sim U(a,b)$	$f_X(x)=\frac{1}{b-a}{1}_{\{a<x<b\}}$	$M_X(t)=\{\begin{array}{ll}\frac{e^{bt}-e^{at}}{(b-a)t},& t\ne 0,\\ 1,& t=0,\end{array}$	一般不具有同一分布族内的可加性	独立均匀随机变量之和一般不再服从均匀分布，其密度由卷积得到
指数分布 $X\sim \mathrm{Exp}(\lambda )$	$f_X(x)=\lambda e^{-\lambda x}{1}_{\{x\ge 0\}}$	$M_X(t)=\frac{\lambda }{\lambda -t},t<\lambda$	$X_i\sim \mathrm{Exp}(\lambda ),i=1,\dots ,n$	$\sum _{i=1}^n{X}_i\sim \Gamma (n,\lambda )$
正态分布 $X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$	$f_X(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}$	$M_X(t)=e^{\mu t+\frac{1}{2}{\sigma }^2{t}^2},t\in \mathbb{R}$	$X_i\sim N({\mu }_i,{\sigma }_i^2)$	$\sum _{i=1}^n{X}_i\sim N\left(\sum _{i=1}^n{\mu }_i,\sum _{i=1}^n{\sigma }_i^2\right)$
Gamma 分布 $X\sim \Gamma (\alpha ,\lambda )$	$f_X(x)=\frac{{\lambda }^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}{x}^{\alpha -1}{e}^{-\lambda x}{1}_{\{x>0\}}$	$M_X(t)={\left(\frac{\lambda }{\lambda -t}\right)}^{\alpha },t<\lambda$	$X_i\sim \Gamma ({\alpha }_i,\lambda )$ 且率参数 $\lambda$ 相同	$\sum _{i=1}^n{X}_i\sim \Gamma \left(\sum _{i=1}^n{\alpha }_i,\lambda \right)$
卡方分布 $X\sim {\chi }_{\nu }^2$	$f_X(x)=\frac{x^{\frac{\nu }{2}-1}{e}^{-\frac{x}{2}}}{2^{\frac{\nu }{2}}\Gamma \left(\frac{\nu }{2}\right)}{1}_{\{x>0\}}$	$M_X(t)=(1-2t{)}^{-\frac{\nu }{2}},t<\frac{1}{2}$	$X_i\sim {\chi }_{{\nu }_i}^2$	$\sum _{i=1}^n{X}_i\sim {\chi }_{{\sum }_{i=1}^n{\nu }_i}^2$

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联系	结论
伯努利分布与二项分布	$X_i\sim B(1,p)⟹\sum _{i=1}^n{X}_i\sim B(n,p)$
二项分布的可加性	$X_i\sim B(n_i,p)⟹\sum _{i=1}^m{X}_i\sim B\left(\sum _{i=1}^m{n}_i,p\right)$
几何分布与负二项分布	$X_i\sim GE(p)⟹\sum _{i=1}^r{X}_i\sim NB(r,p)$
负二项分布的可加性	$X_i\sim NB(r_i,p)⟹\sum _{i=1}^m{X}_i\sim NB\left(\sum _{i=1}^m{r}_i,p\right)$
指数分布与 Gamma 分布	$X_i\sim \mathrm{Exp}(\lambda )⟹\sum _{i=1}^n{X}_i\sim \Gamma (n,\lambda )$
卡方分布与 Gamma 分布	${\chi }_{\nu }^2=\Gamma \left(\frac{\nu }{2},\frac{1}{2}\right)$
标准正态分布与卡方分布	$X_1,\dots ,X_n\stackrel{\mathrm{iid}}{\sim }N(0,1)⟹\sum _{i=1}^n{X}_i^2\sim {\chi }_n^2$
正态平方和与指数分布	$\sum _{i=1}^{2n}{X}_i^2\sim {\chi }_{2n}^2=\Gamma \left(n,\frac{1}{2}\right)$