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看到与整函数有关的增长阶控制条件时，就要想到泰勒系数！这是因为泰勒系数可表示为

$$c_n=\frac{1}{2\pi i}{\int }_{|z|=r}\frac{f(z)}{z^{n+1}}dz$$

只要知道了$f(z)$的增长阶控制，就能有泰勒系数控制！

经典特例——无穷远处的增长阶控制

$f(z)$是整函数，存在正整数$n$及正数$M,R$使得$|z|\ge R$时有

$$|f(z)|\le M|z{|}^n$$

证明：$f$为至多$n$次多项式或常数。

这就是一个无穷远处的增长阶控制：

$$f(z)=O(|z{|}^n)$$

先选定积分环路：取$r\ge R$在$|z|=r\ge R$上积分，就能使用控制条件，由于全平面解析，故而

$$c_k=\frac{1}{2\pi i}{\int }_{|z|=r}\frac{f(z)}{z^{k+1}}dz$$

因此

$$|c_n|\le \frac{1}{2\pi }{\int }_{|z|=r}\frac{M|z{|}^n}{|z{|}^{k+1}}dz=\frac{1}{2\pi }\frac{M}{r^{k+1-n}}2\pi r=M{r}^{n-k}$$

因此当$r\to \infty ,k>n$的系数均为零，现在就有

$$f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{c}_k{z}^k=\sum _{k=0}^n{c}_n{z}^n$$

这就完成了证明！