Riemann 重排定理

对于级数的重排问题，在正项级数重排和加括号问题中，有如下结论: 收敛的正项级数和绝对收敛级数的重排不影响收敛性，并且与原来的级数极限值相同
对于一般级数，条件收敛级数，通项中有正有负，对于此类重排后的级数有如下定理

Riemann 重排定理

$S_n=\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n$ 条件收敛，对于任意的 $-\infty \le \alpha <\beta \le +\infty$，总存在级数的重排 $S_n^{\prime }=\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n^{\prime }$，使得

\overline{\lim_{n \to \infty}} S_n' = \beta \quad \underline{\lim}\limits_{n \to \infty} S_n' = \alpha

既然通项中既有正数也有负数，那就将正项和负项拿出来分成两组，比如，一开始令某个重排 $S_n^{\prime }>\beta$，由于有着 $\alpha <\beta$ 的约束，因此如果 $S_n^{\prime }$ 比 $\beta$ 大，加负项来调小，如果比 $\alpha$ 小，再加正项来调大

将原数列 $\{a_n\}$ 分离为非负项子序列 $\{p_n\}$ 和负项子序列 $\{q_n\}$，选取两个实数数列 $\{x_k\}$ 和 $\{y_k\}$，使得当 $k\to \infty$ 时，$x_k\to \beta$ 且 $y_k\to \alpha$。为了方便，我们要求 $y_k\le x_k$。(如果 $\beta =+\infty$，则取 $x_k\to +\infty$ 即可，$\alpha$ 同理)

step1: 向上逼近 $x_1$
从正项序列 $\{p_n\}$ 中取出最前面的 $m_1$ 项，刚好使得其和首次严格大于 $x_1$。

$$S_{m_1}=p_1+p_2+\cdots +p_{m_1}>x_1$$

因为 $\sum p_n=+\infty$，这一步必定能完成。注意这是“首次”越界，说明在加 $p_{m_1}$ 之前和是 $\le x_1$ 的，因此误差 $|S_{m_1}-x_1|\le p_{m_1}$

step2: 向下逼近 $y_1$
接着第一步的部分和，从负项序列 $\{q_n\}$ 中取出最前面的 $k_1$ 项，刚好使得加上它们后的和首次严格小于 $y_1$。

$$S_{m_1+k_1}=S_{m_1}+q_1+q_2+\cdots +q_{k_1}<y_1$$

同样由于 $\sum q_n=-\infty$，这必定能完成。此时的误差 $|S_{m_1+k_1}-y_1|\le |q_{k_1}|$

现在重复上面的过程，由于我们在不断消耗 $\{p_n\}$ 和 $\{q_n\}$ 中的项，原级数的所有项都会被包含在这个新的重排级数 $\sum a_n^{\prime }$ 中，在这个序列的部分和中，局部最高点（上极限）总是接近于 $x_k$。由于当 $k\to \infty$ 时，多出来的最后一项 $p_{m_k}\to 0$ 且 $x_k\to \beta$，因此上极限 ${\mathrm{limsup}}_{n\to \infty }{S}_n^{\prime }=\beta$
同理，局部最低点（下极限）总是接近于 $y_k$。由于 $q_{k_i}\to 0$ 且 $y_k\to \alpha$，下极限 ${\mathrm{liminf}}_{n\to \infty }{S}_n^{\prime }=\alpha$. 于是我们就完成了证明