第 7 章解答题 4

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• 例 7.26

被以下题目直接调用

• 无

第 7 章解答题 4

设 $A$ 为三阶实矩阵，试求

$$C(A)=\{X\in M_3(\mathbb{R})\mid AX=XA\}.$$

解答

对 $A$ 的极小多项式 $m(\lambda )$ 的次数进行分类讨论。
(1) 若 $\mathrm{deg}m(\lambda )=1$，则 $A=c{I}_3$ 为纯量矩阵，因此 $C(A)=M_3(\mathbb{R})$。
(2) 若 $\mathrm{deg}m(\lambda )=2$，则 $A$ 的不变因子组为 $1,d_2(\lambda ),m(\lambda )$，
其中 $\mathrm{deg}{d}_2(\lambda )=1$ 且 $d_2(\lambda )\mid m(\lambda )$，于是 $m(\lambda )$ 在 $\mathbb{R}$ 上可约。
(2.1) 若 $m(\lambda )$ 有两个不同的实根 $a,b$，不妨设
$d_1(\lambda )=\lambda -a$，则存在非异阵 $P$，使得
$P^{-1}AP=\mathrm{diag}\{a,b,a\}$。任取 $X=(x_{ij})\in C(A)$，
则由 $AX=XA$ 计算可得

$$X=P(x_{11}{E}_{11}+x_{12}{E}_{12}+x_{21}{E}_{21}+x_{22}{E}_{22}+x_{33}{E}_{33})P^{-1}.$$

(2.2) 若 $m(\lambda )$ 有两个相等的实根 $a$，则 $d_1(\lambda )=\lambda -a$，且存在非异阵 $P$，
使得 $P^{-1}AP=\mathrm{diag}\{a,J_2(a)\}$。任取 $X=(x_{ij})\in C(A)$，
则由 $AX=XA$ 计算可得

$$X=P(x_{11}{E}_{11}+x_{13}{E}_{13}+x_{21}{E}_{21}+x_{22}(E_{22}+E_{33})+x_{23}{E}_{23})P^{-1}.$$

(3) 若 $\mathrm{deg}m(\lambda )=3$，则 $A$ 的极小多项式等于其特征多项式，由例 7.26 可知
$C(A)=\mathbb{R}[A]=\mathbb{R}{I}_3+\mathbb{R}A+\mathbb{R}{A}^2$。