第 5 章解答题 8

依赖于

• 例 5.23

被以下题目直接调用

• 无

第 5 章解答题 8

求证：多项式 $f(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_0$ 能被 $(x-1{)}^{k+1}$ 整除的充要条件是

$$\{\begin{array}{l}{a}_0+a_1+a_2+\cdots +a_n=0,\\ a_1+2a_2+\cdots +n{a}_n=0,\\ \cdots \cdots \cdots \\ a_1+2^k{a}_2+\cdots +n^k{a}_n=0.\end{array}$$

解答

由例 5.23 可知，$f(x)$ 能被 $(x-1{)}^{k+1}$ 整除当且仅当
$f(1)=f^{\prime }(1)=\cdots =f^{(k)}(1)=0$。定义 $g_0(x)=f(x)$，
$g_1(x)=f^{\prime }(x)$，$g_i(x)=(x{g}_{i-1}(x){)}^{\prime }(i\ge 2)$，则通过简单的验证可知，
$f(1)=f^{\prime }(1)=\cdots =f^{(k)}(1)=0$ 当且仅当
$g_0(1)=g_1(1)=\cdots =g_k(1)=0$，而后者即为题中所给条件。