第 1 章解答题 15

依赖于

• 例 1.27

被以下题目直接调用

• 无

第 1 章解答题 15

求下列 $n$ 阶行列式的值：

$$|A|=\left|\begin{array}{ccccc}1& x_1(x_1-a)& x_1^2(x_1-a)& \cdots & x_1^{n-1}(x_1-a)\\ 1& x_2(x_2-a)& x_2^2(x_2-a)& \cdots & x_2^{n-1}(x_2-a)\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮\\ 1& x_n(x_n-a)& x_n^2(x_n-a)& \cdots & x_n^{n-1}(x_n-a)\end{array}\right|.$$

解答

将原行列式升阶为如下行列式：

$$|B|=\left|\begin{array}{cccccc}1& x_1-a& x_1(x_1-a)& x_1^2(x_1-a)& \cdots & x_1^{n-1}(x_1-a)\\ 1& x_2-a& x_2(x_2-a)& x_2^2(x_2-a)& \cdots & x_2^{n-1}(x_2-a)\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮\\ 1& x_n-a& x_n(x_n-a)& x_n^2(x_n-a)& \cdots & x_n^{n-1}(x_n-a)\\ 1& y-a& y(y-a)& y^2(y-a)& \cdots & y^{n-1}(y-a)\end{array}\right|.$$

利用例 1.27 可求出 $|B|$ 的值。另一方面，将 $|B|$ 按最后一行展开成为关于 $y$ 的多项式，若 $a=0$，比较 $y$ 前面的系数可得

$$|A|=\prod _{1\le i<j\le n}(x_j-x_i)\left(\sum _{i=1}^n{x}_1\cdots x_{i-1}{x}_{i+1}\cdots x_n\right);$$

若 $a\ne 0$，比较常数项可得

$$|A|=\frac{1}{a}\prod _{1\le i<j\le n}(x_j-x_i)\left(\prod _{i=1}^n{x}_i-\prod _{i=1}^n(x_i-a)\right).$$