§8.5 一元非线性回归

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§8.5 一元非线性回归

1. 非线性函数形式 根据二维样本的散点图确定可能的非线性函数形式，部分常见的非线性函数及其线性化变换如下表：

$$\begin{array}{ccc}\text{函数名称}& \text{函数表达式}& \text{线性化变换}\\ \text{双曲线函数}& \frac{1}{y}=a+\frac{b}{x}& v=\frac{1}{y},u=\frac{1}{x}\\ \text{幂函数}& y=a{x}^b& v=\ln y,u=\ln x\\ \text{指数函数}& y=a{e}^{bx}& v=\ln y,u=x\\ \text{指数函数}& y=a{e}^{b/x}& v=\ln y,u=\frac{1}{x}\\ \text{对数函数}& y=a+b\ln x& v=y,u=\ln x\\ \text{S 形曲线}& y=\frac{1}{a+b{e}^{-x}}& v=\frac{1}{y},u=e^{-x}\end{array}$$

1. 参数估计 通过适当变换，把非线性函数转化为线性函数形式，然后对未知参数寻求最小二乘估计.譬如由

$$\frac{1}{y}=a+\frac{b}{x}$$

可转化为

$$v=a+bu,$$

只要令

$$v=\frac{1}{y},u=\frac{1}{x}$$

即可.

1. 评价标准 常用的曲线回归方程的好坏评价标准有两个：
2. 决定系数

$$R^2=1-\frac{\sum (y_i-{\hat{y}}_i{)}^2}{\sum (y_i-\bar{y}{)}^2},$$

愈大愈好；

1. 剩余标准差

$$s=\sqrt{\frac{\sum (y_i-{\hat{y}}_i{)}^2}{n-2}},$$

愈小愈好.

这两个评价标准是一致的，只是从两个侧面作出评价.

习题与解答 8.5

习题 8.5-1

设曲线函数形式为 $y=a+b\ln x$，试给出一个变换将之化为一元线性回归的形式.

解 令

$$u=\ln x,v=y,$$

则原曲线函数化为

$$v=a+bu,$$

即为一元线性回归的形式.

习题 8.5-2

设曲线函数形式为 $y=a+b\sqrt{x}$，试给出一个变换将之化为一元线性回归的形式.

解 令

$$u=\sqrt{x},v=y,$$

则原函数化为

$$v=a+bu.$$

习题 8.5-3

设曲线函数形式为 $y-100=a{e}^{-x/b}(b>0)$，试给出一个变换将之化为一元线性回归的形式.

解 根据原函数形式，可考虑作如下变换：

$$u=x,v=\ln (y-100).$$

变换后的线性函数为

$$v=\ln a-\frac{1}{b}u,$$

进一步，可将之规范化，令

$${\beta }_0=\ln a,{\beta }_1=-1/b,$$

则最后的回归函数化为

$$v={\beta }_0+{\beta }_{1}u.$$

习题 8.5-4

设曲线函数形式为 $y=a+e^{bx}$，问能否找到一个变换将之化为一元线性回归的形式？若能，试给出；若不能，说明理由.

解 不能.此处 $a$ 是未知参数，我们不能采用如上题所用的方法，即取

$$v=\ln (y-a),$$

这样的变换是不通的，因为这样变换后的 $v$ 无法观测.

习题 8.5-5

设曲线函数形式为 $y=\frac{1}{a+b{e}^{-x}}$，问能否找到一个变换将之化为一元线性回归的形式？若能，试给出；若不能，说明理由.

解 能.令

$$u=e^{-x},v=\frac{1}{y},$$

则变换后的函数形式为

$$v=a+bu.$$

习题 8.5-6

设曲线函数形式为 $y=a{e}^{b/x}$，问能否找到一个变换将之化为一元线性回归的形式？若能，试给出；若不能，说明理由.

解 能.令

$$u=\frac{1}{x},v=\ln y,$$

则变换后的函数形式为

$$v=\ln a+bu.$$

习题 8.5-7

为了检验 X 射线的杀菌作用，用 $200\text{kV}$ 的 X 射线照射杀菌，每次照射 $6\text{min}$，照射次数为 $x$，照射后所剩细菌数为 $y$，下表是一组试验结果：

$$\begin{array}{ccccccccccccccccccccc}x& 1& 2& 3& 4& 5& 6& 7& 8& 9& 10& 11& 12& 13& 14& 15& 16& 17& 18& 19& 20\\ y& 783& 621& 433& 431& 287& 251& 175& 154& 129& 103& 72& 50& 43& 31& 28& 20& 16& 12& 9& 7\end{array}$$

根据经验知道 $y$ 关于 $x$ 的曲线回归方程形如

$$\hat{y}=a{e}^{bx},$$

试给出具体的回归方程，并求其对应的决定系数 $R^2$ 和剩余标准差 $s$.

解 令

$$v=\ln y,{\beta }_0=\ln a,$$

则回归方程 $\hat{y}=a{e}^{bx}$ 化为

$$\hat{v}={\beta }_0+bx.$$

由数据可算得

$$l_{xx}=2870-210^2/20=665,l_{xv}=751.389-210\times 87.2250/20=-164.4735,$$

从而

$$\hat{b}=-164.4735/665=-0.2473,{\hat{\beta }}_0=87.225/20+0.2473\times 210/20=\mathrm{6.9579.}$$

于是就得到了 $\ln y$ 关于 $x$ 的线性回归方程

$$\ln \hat{y}=6.9579-0.2473x,$$

所以 $y$ 关于 $x$ 的曲线回归方程为

$$\hat{y}=1051.4232e^{-0.2473x}.$$ $$R^2=1-\frac{\sum (y_i-{\hat{y}}_i{)}^2}{\sum (y_i-\bar{y}{)}^2}=1-\frac{9210.66}{1611149-3655^2/20}=0.9902,$$ $$s=\sqrt{\frac{9210.66}{18}}=\mathrm{22.6209.}$$

{\small\bfseries 续表\par}

{\small \setlength{\tabcolsep}{6pt} \renewcommand{\arraystretch}{1.08}

	$x$	$y$	$v=\ln y$	$x^2$	$xv$	$y^2$	$\hat{y}$	$(y-\hat{y}{)}^2$
	11	72	4.2767	121	47.043	5184	69.242	7.61
	12	50	3.9120	144	46.944	2500	54.071	16.57
	13	43	3.7612	169	48.896	1849	42.224	0.60
	14	31	3.4340	196	48.076	961	32.973	3.89
	15	28	3.3322	225	49.983	784	25.749	5.07
	16	20	2.9957	256	47.932	400	20.108	0.01
	17	16	2.7726	289	47.134	256	15.702	0.09
	18	12	2.4849	324	44.728	144	12.262	0.07
	19	9	2.1972	361	41.747	81	9.575	0.33
	20	7	1.9459	400	38.918	49	7.478	0.23
和	210	3655	87.2250	2870	751.389	1611149	{}	9210.66

}