§8.3 方差齐性检验

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§8.3 方差齐性检验

1. 问题 方差齐性即诸方差相等，是方差分析的基本假定之一。方差齐性检验就是检验这一假定是否成立。其一对假设为

$$H_0:{\sigma }_1^2={\sigma }_2^2=\cdots ={\sigma }_r^2\text{vs}{H}_1:\text{诸 }{\sigma }_i^2\text{ 不全相等}.$$

1. 哈特利检验（在重复数相等场合使用） 在重复次数均为 $m$ 时，检验统计量为

$$H=\frac{\max \{s_1^2,s_2^2,\dots ,s_r^2\}}{\min \{s_1^2,s_2^2,\dots ,s_r^2\}},$$

其中 $s_i^2$ 为第 $i$ 个水平下样本方差，拒绝域为

$$W=\{H\ge H_{1-\alpha }(r,f)\},f=m-1.$$

1. 巴特利特检验（可在重复数不等场合使用，但样本量不得低于 $5$） 当重复次数不等且各水平下试验次数均不低于 $5$ 时，可采用巴特利特检验。统计量为

$$B=\frac{1}{C}\left(f_e\ln M{S}_e-\sum _{i=1}^r{f}_i\ln s_i^2\right),$$

其中 $f_i=m_i-1$ 为 $s_i^2$ 的自由度，

$$M{S}_e=\frac{1}{f_e}\sum _{i=1}^r{f}_i{s}_i^2,f_e=\sum _{i=1}^r{f}_i,$$

而

$$C=1+\frac{1}{3(r-1)}\left(\sum _{i=1}^r\frac{1}{f_i}-\frac{1}{f_e}\right).$$

拒绝域为

$$W=\{B\ge {\chi }_{1-\alpha }^2(r-1)\}.$$

1. 修正的巴特利特检验（在样本量相等或不等、样本量较小或较大均可使用） 一般场合可采用修正的巴特利特检验，其统计量为

$$B^{\prime }=\frac{f_{2}BC}{f_1(A-BC)},$$

其中 $B,C$ 同前，

$$f_1=r-1,f_2=\frac{r+1}{(C-1{)}^2},A=\frac{f_2}{2-C+2/f_2}.$$

拒绝域为

$$W=\{B^{\prime }\ge F_{1-\alpha }(f_1,f_2)\}.$$

若 $f_2$ 不是整数，可通过对 $F$ 分布分位数表作线性内插获得近似值。

习题与解答 8.3

习题 8.3-1

采用教材中例 8.1.1 的数据，在显著性水平 $\alpha =0.05$ 下用哈特利检验考察三个总体方差是否彼此相等。

解 这是一个检验方差是否相等的问题。各数据计算如下：

$$\begin{array}{cccccccccccc}\text{水平}& \text{数据（原始数据}-1000\text{）}& & & & & & & & T_i& \text{均值}{\bar{y}}_i& {\sum }_{j=1}^8(y_{ij}-{\bar{y}}_i{)}^2\\ A_1& 73& 9& 60& 1& 2& 12& 9& 28& 194& 24.25& 5319.5\\ A_2& 107& 92& -10& 109& 90& 74& 122& 1& 585& 73.125& 17576.9\\ A_3& 93& 29& 80& 21& 22& 32& 29& 48& 354& 44.25& 5319.5\end{array}$$

于是

$$s_1^2=\frac{5319.5}{7}=759.93,s_2^2=\frac{17576.9}{7}=2510.99,s_3^2=\frac{5319.5}{7}=\mathrm{759.93.}$$

从而

$$H=\frac{2510.99}{759.93}=\mathrm{3.304.}$$

当 $\alpha =0.05$ 时，由附表 10 查得 $H_{0.95}(3,7)=6.94$。由于 $H<6.94$，故接受原假设 $H_0$，认为三个总体方差间无显著差异。

习题 8.3-2

在安眠药试验（见习题 8.1 第 5 题）中已求得四个样本方差

$$s_1^2=0.02,s_2^2=0.08,s_3^2=0.036,s_4^2=\mathrm{0.1307.}$$

请用哈特利检验在显著性水平 $\alpha =0.05$ 下考察四个总体方差是否彼此相等。

解 这是关于方差齐性的检验问题。这里 $r=4,m=6$，已知统计量

$$H=\frac{0.1307}{0.02}=\mathrm{6.535.}$$

当 $\alpha =0.05$ 时，查附表 10 知 $H_{0.95}(4,5)=13.7$。由于 $H<13.7$，故应接受原假设 $H_0$，认为四个总体方差间无显著差异。

习题 8.3-3

在生产力提高的指数研究中（见习题 8.2 第 4 题）可求得三个样本方差：

$$s_1^2=0.662,s_2^2=0.573,s_3^2=\mathrm{0.752.}$$

请用巴特利特检验在显著性水平 $\alpha =0.05$ 下考察三个总体方差是否彼此相等。

解 由题设知各组样本量分别为 $9,12,6$，最小样本量大于 $5$，可采用巴特利特检验。此时

$$f_e=8+11+5=24,$$ $$M{S}_e=\frac{1}{24}(8\times 0.662+11\times 0.573+5\times 0.752)=0.64,$$ $$C=1+\frac{1}{3(3-1)}\left(\frac{1}{8}+\frac{1}{11}+\frac{1}{5}-\frac{1}{24}\right)=\mathrm{1.0624.}$$

因此

$$B=\frac{1}{1.0624}\left[24\ln 0.64-(8\ln 0.662+11\ln 0.573+5\ln 0.752)\right]=\mathrm{0.1315.}$$

对显著性水平 $\alpha =0.05$，查表知 ${\chi }_{0.95}^2(3-1)=5.9915$，拒绝域为

$$W=\{B\ge 5.9915\}.$$

由于 $B<5.9915$，故应接受原假设 $H_0$，认为三个总体的方差无显著差异。

习题 8.3-4

在人员推销效果研究中（见习题 8.1 第 8 题），分别用哈特利检验和巴特利特检验在显著性水平 $\alpha =0.05$ 下对五个总体作方差齐性检验。

解 先用哈特利检验判断等方差性。通过习题 8.1 第 8 题的解答可知各组内平方和

$$Q_1=71.7286,Q_2=94.0486,Q_3=72.8171,Q_4=8.4743,Q_5=\mathrm{22.6686.}$$

利用公式 $s_i^2=Q_i/f_i$ 可得各组样本方差

$$s_1^2=11.9548,s_2^2=15.6748,s_3^2=12.1362,s_4^2=1.4124,s_5^2=\mathrm{3.7781.}$$

于是

$$H=\frac{15.6748}{1.4124}=\mathrm{11.098.}$$

对显著性水平 $\alpha =0.05$，由附表 10 查得 $H_{0.95}(5,6)=12.1$。由于 $H<12.1$，所以应接受原假设 $H_0$，即认为各个总体方差相等。

接下来计算巴特利特检验统计量。由习题 8.1 第 8 题已知 $M{S}_e=8.9912$，且

$$C=1+\frac{1}{3(5-1)}\left(\frac{5}{6}-\frac{1}{30}\right)=\mathrm{1.0667.}$$

于是

$$B=\frac{1}{1.0667}\left[30\ln 8.9912-6(\ln 11.9548+\ln 15.6748+\ln 12.1362+\ln 1.4124+\ln 3.7781)\right]=\mathrm{8.8723.}$$

对显著性水平 $\alpha =0.05$，查表知 ${\chi }_{0.95}^2(5-1)=9.4877$。由于 $B<9.4877$，故也应接受原假设 $H_0$。两种检验的结果是一致的。

习题 8.3-5

在对粮食含水率的研究中（见习题 8.1 第 7 题）已求得 $3$ 个水平下的组内平方和

$$Q_1=0.988,Q_2=3.860,Q_3=\mathrm{3.388.}$$

请用修正的巴特利特检验在显著性水平 $\alpha =0.05$ 下考察三个总体方差是否彼此相等。

解 由已给条件及每组样本量均为 $5$，可得三个样本方差

$$s_1^2=0.2470,s_2^2=0.965,s_3^2=\mathrm{0.847.}$$

且

$$C=1+\frac{1}{3(3-1)}\left(\frac{3}{4}-\frac{1}{12}\right)=\mathrm{1.1111.}$$

从而

$$B=\frac{1}{1.1111}\left[12\ln 0.686-4(\ln 0.247+\ln 0.965+\ln 0.847)\right]=\mathrm{1.6899.}$$

进一步，

$$f_1=3-1=2,f_2=\frac{3+1}{(1.1111-1{)}^2}=324.0648,$$ $$A=\frac{324.0648}{2-1.1111+2/324.0648}=\mathrm{362.0546.}$$

因此修正的巴特利特检验统计量为

$$B^{\prime }=\frac{324.0648\times 1.6899\times 1.1111}{2(362.0546-1.6899\times 1.1111)}=\mathrm{0.845.}$$

对显著性水平 $\alpha =0.05$，$F_{0.95}(2,324.0648)\approx F_{0.95}(2,\infty )=3$。由于 $B^{\prime }<3$，故接受原假设 $H_0$，认为三个水平下的方差间无显著差异。

习题 8.3-6

针对食品包装研究的数据（见教材中例 8.1.4），请用修正的巴特利特检验在显著性水平 $\alpha =0.05$ 下考察四个总体是否满足方差齐性假定。

解 在例 8.1.4 中，$r=4$，各组样本量不相等，且样本量分别为 $2,3,3,2$，都不大，因此只能用修正的巴特利特检验。由例 8.1.4 数据可得各水平下样本方差

$$s_1^2=18,s_2^2=1,s_3^2=4,s_4^2=18,$$

并且已知 $M{S}_e=7.67$。于是

$$C=1+\frac{1}{3(4-1)}\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+1-\frac{1}{6}\right)=1.3148,$$ $$B=\frac{1}{1.3148}\left[6\ln 7.67-(\ln 18+2\ln 1+2\ln 4+\ln 18)\right]=\mathrm{2.79.}$$

进一步，

$$f_1^{\prime }=4-1=3,f_2^{\prime }=\frac{4+1}{(1.3148-1{)}^2}=50.45,$$ $$A=\frac{50.45}{2-1.3148+2/50.45}=\mathrm{69.60.}$$

因而修正的巴特利特检验统计量为

$$B^{\prime }=\frac{50.45\times 2.79\times 1.3148}{3(69.6-2.79\times 1.3148)}=\mathrm{0.9356.}$$

若取显著性水平 $\alpha =0.05$，则

$$F_{0.95}(3,50.45)\approx F_{0.95}(3,60)=\mathrm{2.76.}$$

由于 $B^{\prime }<2.76$，故接受原假设，可以认为四个总体方差彼此相等。

习题 8.3-7

在垫片的耐磨试验（见习题 8.2 补充习题 5）中，关于磨损率有四个样本，它们的样本方差 $s_i^2$、样本量 $n_i$、误差均方和 $M{S}_e$ 与其自由度 $f_e$ 分别为

$$n_1=4,s_1^2=7,n_2=6,s_2^2=9.9,n_3=6,s_3^2=7.5,n_4=10,s_4^2=6.5,$$ $$f_e=22,M{S}_e=\mathrm{7.57.}$$

现要对“四个总体方差彼此相等”的假设作出判断。

解 由于四个样本量不全相等，其中有一个样本量小于 $5$，故选用修正的巴特利特检验。先计算中间结果：

$$C=1+\frac{1}{3(4-1)}\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{5}+\frac{1}{9}-\frac{1}{22}\right)=1.0888,$$ $$B=\frac{1}{C}\left(f_e\ln M{S}_e-\sum _{i=1}^4{f}_i\ln s_i^2\right)=\frac{22\ln 7.57-(3\ln 7+5\ln 9.9+5\ln 7.5+9\ln 6.5)}{1.0888}=0.2857,$$ $$f_1^{\prime }=r-1=3,f_2^{\prime }=\frac{r+1}{(C-1{)}^2}=\frac{5}{0.0888^2}=634.08,$$ $$A=\frac{634.08}{2-1.0888+2/634.08}=\mathrm{693.47.}$$

于是

$$B^{\prime }=\frac{f_2^{\prime }BC}{f_1^{\prime }(A-BC)}=\frac{634.08\times 0.2857\times 1.0888}{3(693.47-0.2857\times 1.0888)}=\mathrm{0.0949.}$$

又因

$$F_{0.95}(3,634.08)\approx F_{0.95}(3,\infty )=2.61,$$

故 $B^{\prime }<2.61$，应接受原假设，可以认为四个总体方差彼此相等。

习题 8.3-8

杀伤性武器迫击炮弹的出口速度与炮口面积有关，现选择四个炮口面积作为因子 $A$ 的四个水平，安排一个重复数为 $8$ 的单因子试验，所测出口速度（已排序）如下：

$$\begin{array}{ccccc}j& A_1=0.016& A_2=0.030& A_3=0.044& A_4=0.058\\ 1& 43.6& 45.7& 17.7& 7.4\\ 2& 50.1& 46.3& 19.6& 10.6\\ 3& 55.3& 46.9& 24.2& 14.3\\ 4& 56.0& 48.1& 27.6& 14.6\\ 5& 56.3& 51.0& 27.9& 16.0\\ 6& 58.2& 54.5& 28.5& 16.0\\ 7& 62.9& 54.9& 28.6& 22.1\\ 8& 64.9& 55.7& 30.9& 22.2\\ T_i& 447.3& 403.1& 205.0& 123.2\\ {\bar{y}}_i& 55.91& 50.39& 25.63& 15.40\\ s_i^2& 45.82& 17.42& 22.17& 25.82\end{array}$$

1. 对各水平下的数据作正态性检验；
2. 对各水平下的数据作方差齐性检验；
3. 计算各平方和并作方差分析；
4. 若因子 $A$ 显著，再作多重比较。

解 (1) 由于各水平下样本量均为 $8$，故选用 $W$ 检验作正态性检验。其统计量定义为

$$u_i=\sum _{j=1}^4{a}_j[y_{i(9-j)}-y_{ij}],Q_i=\sum _{j=1}^8(y_{ij}-{\bar{y}}_i{)}^2.$$

\begingroup \footnotesize \setlength{\tabcolsep}{4pt} \renewcommand{\arraystretch}{1.2}

$$\begin{array}{ccccccc}j& y_{i(9-j)}-y_{ij}& A_1& A_2& A_3& A_4& a_j\\ 1& y_{i8}-y_{i1}& 21.3& 10.0& 13.2& 14.8& 0.6052\\ 2& y_{i7}-y_{i2}& 12.8& 8.6& 9.0& 11.5& 0.3164\\ 3& y_{i6}-y_{i3}& 2.9& 7.6& 4.3& 1.7& 0.1743\\ 4& y_{i5}-y_{i4}& 0.3& 2.9& 0.3& 1.4& 0.0561\\ u_i& & 17.4630& 10.2604& 11.6026& 12.9704& \\ Q_i& & 320.75& 121.95& 155.16& 180.74& \\ W_i=u_i^2/Q_i& & 0.9508& 0.8633& 0.8676& 0.9308& \end{array}$$

\endgroup 对显著性水平 $\alpha =0.05$，查附表 7 在 $n=8$ 时 $W_{0.05}=0.818$。可见诸 $W_i$ 都超过 $0.818$，可以认为这四个样本都来自不同正态分布。

(2) 由于各水平下重复数相等，故可选用哈特利检验进行方差齐性检验，其统计量

$$H=\frac{\max \{s_1^2,s_2^2,s_3^2,s_4^2\}}{\min \{s_1^2,s_2^2,s_3^2,s_4^2\}}=\frac{45.82}{17.42}=\mathrm{2.63.}$$

在显著性水平 $\alpha =0.05$ 下，查附表 10 得 $H_{0.95}(4,7)=8.44$。由于 $H<8.44$，故可以认为四个水平下的正态总体方差彼此相等。

(3) 为进行方差分析，需计算各平方和：

$$S_T=\sum _{i=1}^4\sum _{j=1}^8{y}_{ij}^2-\frac{T^2}{32}=53249.86-\frac{1178.6^2}{32}=9840.55,$$ $$S_A=\frac{1}{8}\sum _{i=1}^4{T}_i^2-\frac{T^2}{32}=9061.96,$$ $$S_e=S_T-S_A=\mathrm{778.59.}$$

把这些平方和移入方差分析表，继续计算得

$$\begin{array}{ccccc}\text{来源}& \text{平方和}& \text{自由度}& \text{均方}& F\text{ 比}\\ \text{因子 }A& 9061.96& 3& 3020.65& 108.62\\ \text{误差 }e& 778.59& 28& 27.81& \\ \text{总和 }T& 9840.55& 31& & \end{array}$$

对给定的显著性水平 $\alpha =0.05$，查表得 $F_{0.95}(3,28)\approx 2.92$。由于 $F>2.92$，故因子 $A$ 显

著，即四个平均出口速度间有显著差异。

（4）由于各水平的重复数相等，故用 $T$ 法进行多重比较。对给定显著性水平 $\alpha =0.05$，查附表 8 得

$$q_{0.95}(4,28)\approx 3.85,$$

临界值为

$$c=q_{0.95}(4,28)\sqrt{\frac{M{S}_e}{m}}\approx 3.85\times \sqrt{\frac{27.81}{8}}=\mathrm{7.18.}$$

把 $c$ 与各均值差的绝对值

$$|{\bar{y}}_i-{\bar{y}}_j|$$

分别进行比较，只有

$$|{\bar{y}}_1-{\bar{y}}_2|=5.52<c=7.18,$$

其他 $5$ 个绝对值都大于 $7.18$，这表明 $A_1$ 与 $A_2$ 间无显著差异，其他 $5$ 对水平间都有显著差异。