§8.1 方差分析

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§8.1 方差分析

1. 单因子方差分析

(1) 问题与数据

设因子有 $r$ 个水平，记为 $A_1,A_2,\cdots ,A_r$，在每一水平下各做 $m$ 次独立重复试验，若记第 $i$ 个水平下第 $j$ 次重复的试验结果为 $y_{ij}$，所有试验的结果可列表如下：

$$\begin{array}{cccc}\text{因子水平}& \text{试验数据}& \text{和}& \text{平均}\\ A_1& y_{11},y_{12},\cdots ,y_{1m}& T_1& {\bar{y}}_{1\cdot }\\ A_2& y_{21},y_{22},\cdots ,y_{2m}& T_2& {\bar{y}}_{2\cdot }\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ A_r& y_{r1},y_{r2},\cdots ,y_{rm}& T_r& {\bar{y}}_{r\cdot }\\ & & T& \bar{y}\end{array}$$

对这个试验要研究的问题是：$r$ 个水平 $A_1,A_2,\cdots ,A_r$ 间有无显著差异。

(2) 基本假定

$A1$: 正态性：第 $i$ 个水平下的数据 $y_{i1},y_{i2},\cdots ,y_{im}$ 是来自正态总体 $N({\mu }_i,{\sigma }_i^2)$ 的一个样本，$i=1,2,\cdots ,r$；

$A2$: 等方差性：$r$ 个方差相同，即

$${\sigma }_1^2={\sigma }_2^2=\cdots ={\sigma }_r^2={\sigma }^2;$$

$A3$: 独立性：诸数据 $y_{ij}$ 都相互独立。

在这三个基本假定下，要检验的假设是

$$H_0:{\mu }_1={\mu }_2=\cdots ={\mu }_r\text{vs}{H}_1:{\mu }_1,{\mu }_2,\cdots ,{\mu }_r\text{ 不全相等。}$$

方差分析就是在上述三个基本假定下，对若干个正态均值是否相等作检验。

(3) 平方和分解式

$$S_T=S_A+S_e,f_T=f_A+f_e,$$

若记

$${\bar{y}}_{i\cdot }=\frac{1}{m}\sum _{j=1}^m{y}_{ij},\bar{y}=\frac{1}{rm}\sum _{i=1}^r\sum _{j=1}^m{y}_{ij}=\frac{1}{r}\sum _{i=1}^r{\bar{y}}_{i\cdot },$$

上述诸平方和分别为

1. $S_T={\sum }_{i=1}^r{\sum }_{j=1}^m(y_{ij}-\bar{y}{)}^2$

称为总偏差平方和，其自由度

$$f_T=rm-1=n-1;$$

1. $S_A=m{\sum }_{i=1}^r({\bar{y}}_{i\cdot }-\bar{y}{)}^2$

称为组间偏差平方和或因子 $A$ 的偏差平方和，其自由度

$$f_A=r-1;$$

1. $S_e={\sum }_{i=1}^r{\sum }_{j=1}^m(y_{ij}-{\bar{y}}_{i\cdot }{)}^2$

称为组内偏差平方和或误差偏差平方和，其自由度

$$f_e=r(m-1)=n-r.$$

注：数据 $y_{ij}$ 的平移

$$y^{\prime }=y_{ij}-a$$

不会改变其平方和的值。用此性质可简化计算。

(4) 方差分析表

$$\begin{array}{ccccc}\text{来源}& \text{平方和}& \text{自由度}& \text{均方}& F\text{ 比}\\ \text{因子}& S_A=\frac{1}{m}{\sum }_{i=1}^r{T}_i^2-\frac{T^2}{rm}& f_A=r-1& M{S}_A=S_A/f_A& F=M{S}_A/M{S}_e\\ \text{误差}& S_e=S_T-S_A& f_e=r(m-1)& M{S}_e=S_e/f_e& \\ \text{总和}& S_T={\sum }_{i=1}^r{\sum }_{j=1}^m{y}_{ij}^2-\frac{T^2}{rm}& f_T=rm-1& & \end{array}$$

(5) 判断

在 $H_0$ 成立下，

$$F=M{S}_A/M{S}_e\sim F(f_A,f_e),$$

对给定的显著性水平 $\alpha (0<\alpha <1)$，其拒绝域为

$$W=\{F\ge F_{1-\alpha }(f_A,f_e)\},$$

其中 $F_{1-\alpha }(f_A,f_e)$ 可从附表 $5$ 中查得。

1. 若

$$F\ge F_{1-\alpha }(f_A,f_e),$$

则认为因子 $A$ 显著，即诸正态均值间有显著差异；

1. 若

$$F<F_{1-\alpha }(f_A,f_e),$$

则说明因子 $A$ 不显著，即接受原假设 $H_0$。

给出检验的 $p$ 值是更常用的，若以 $X$ 记服从 $F(f_A,f_e)$ 的随机变量，$F$ 为统计量，$F=M{S}_A/M{S}_e$ 的观测值为 $F_0$，则

$$p=P(X\ge F_0),$$

可用软件计算，如在 MATLAB 中使用如下命令：

$$p=1-\mathrm{fcdf}(F_0,f_A,f_e).$$

1. 数据结构式及其参数估计

(1) 数据结构式

$$y_{ij}=\mu +a_i+{\epsilon }_{ij},i=1,2,\cdots ,r,j=1,2,\cdots ,m,$$

其中 $\mu$ 为总均值，$a_i$ 为第 $i$ 个水平的效应，且

$$\sum _{i=1}^r{a}_i=0,$$

${\epsilon }_{ij}$ 为试验误差，所有 ${\epsilon }_{ij}$ 可作为来自 $N(0,{\sigma }^2)$ 的一个样本，在上述数据结构式下，

$$y_{ij}\sim N(\mu +a_i,{\sigma }^2).$$

要检验的假设可改写为

$$H_0:a_1=a_2=\cdots =a_r=0\text{vs}{H}_1:a_1,a_2,\cdots ,a_r\text{ 不全为 }0.$$

(2) 点估计

1. 总均值 $\mu$ 的估计

$$\hat{\mu }=\bar{y};$$

1. 各水平均值 ${\mu }_i$ 的估计

$${\hat{\mu }}_i={\bar{y}}_{i\cdot },i=1,2,\cdots ,r;$$

1. 主效应 $a_i$ 的估计

$${\hat{a}}_i={\bar{y}}_{i\cdot }-\bar{y},i=1,2,\cdots ,r;$$

1. 误差方差 ${\sigma }^2$ 的估计

$${\hat{\sigma }}^2=M{S}_e=S_e/f_e.$$

(3) $1-\alpha$ 置信区间（$0<\alpha <1$）

1. ${\mu }_i$ 的 $1-\alpha$ 置信区间为

$$\left[{\bar{y}}_{i\cdot }-\hat{\sigma }\cdot t_{1-\alpha /2}(f_e)/\sqrt{m},{\bar{y}}_{i\cdot }+\hat{\sigma }\cdot t_{1-\alpha /2}(f_e)/\sqrt{m}\right].$$

1. 单因子试验的统计分析可给出如下三个结果：
2. 因子 $A$ 是否显著；
3. 试验误差方差 ${\sigma }^2$ 的估计；
4. 诸水平均值 ${\mu }_i$ 的点估计与区间估计（此项在因子 $A$ 不显著时无需进行）。
5. 重复数不等情形下的方差分析

(1) 数据略有不同

设因子 $A$ 有 $r$ 个水平 $A_1,A_2,\cdots ,A_r$，并且第 $i$ 个水平 $A_i$ 下重复进行 $m_i$ 次试验，获得如下数据：

$$\begin{array}{ccccc}\text{水平}& \text{重复数}& \text{数据}& \text{和}& \text{平均}\\ A_1& m_1& y_{11},y_{12},\cdots ,y_{1m_1}& T_1& {\bar{y}}_{1\cdot }\\ A_2& m_2& y_{21},y_{22},\cdots ,y_{2m_2}& T_2& {\bar{y}}_{2\cdot }\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ A_r& m_r& y_{r1},y_{r2},\cdots ,y_{r{m}_r}& T_r& {\bar{y}}_{r\cdot }\\ \text{合计}& n& T& T& \bar{y}\end{array}$$

(2) 基本假定、平方和分解、方差分析及判断准则都和前面一样，只是因子 $A$ 的平方和 $S_A$ 的计算公式略有不同：记

$$n=\sum _{i=1}^r{m}_i,$$

则

$$S_A=\frac{T_1^2}{m_1}+\frac{T_2^2}{m_2}+\cdots +\frac{T_r^2}{m_r}-\frac{T^2}{n}.$$

(3) 数据结构式及其参数估计基本同前，但要注意以下两点：

1. 总均值

$$\mu =\frac{1}{n}\sum _{i=1}^r{m}_i{\mu }_i;$$

1. 主效应的约束条件为

$$\sum _{i=1}^r{m}_i{a}_i=0.$$

习题与解答 8.1

习题 8.1-1

在一个单因子试验中，因子 $A$ 有三个水平，每个水平下各重复 $4$ 次，具体数据如下：

$$\begin{array}{ccccc}\text{水平}& \text{数据}& & & \\ \text{一水平}& 8& 5& 7& 4\\ \text{二水平}& 6& 10& 12& 9\\ \text{三水平}& 0& 1& 5& 2\end{array}$$

试计算误差平方和 $S_e$、因子 $A$ 的平方和 $S_A$ 与总平方和 $S_T$，并指出它们各自的自由度。

解 此处因子水平数 $r=3$，每个水平下的重复次数 $m=4$，总试验次数为

$$n=mr=12.$$

首先，算出每个水平下的数据和以及总数据和：

$$T_1=8+5+7+4=24,$$ $$T_2=6+10+12+9=37,$$ $$T_3=0+1+5+2=8,$$ $$T=T_1+T_2+T_3=24+37+8=69.$$

误差平方和 $S_e$ 由三个平方和组成：

$$S_{e1}=(8^2+5^2+7^2+4^2)-\frac{24^2}{4}=10,f_{e1}=3,$$ $$S_{e2}=(6^2+10^2+12^2+9^2)-\frac{37^2}{4}=18.75,f_{e2}=3,$$ $$S_{e3}=(0^2+1^2+5^2+2^2)-\frac{8^2}{4}=14,f_{e3}=3.$$

于是

$$S_e=S_{e1}+S_{e2}+S_{e3}=10+18.75+14=42.75,$$ $$f_e=f_{e1}+f_{e2}+f_{e3}=9.$$

而

$$S_A=\sum _{i=1}^r\frac{T_i^2}{m}-\frac{T^2}{n}=\frac{24^2}{4}+\frac{37^2}{4}+\frac{8^2}{4}-\frac{69^2}{12}=105.5,f_A=3-1=2,$$ $$S_T=\sum _{i=1}^r\sum _{j=1}^m{y}_{ij}^2-\frac{T^2}{12}=(8^2+5^2+\cdots +2^2)-\frac{69^2}{12}=148.25,f_T=12-1=11.$$

注：在所有的计算公式中可以用数据和也可以用数据均值，但在实际计算中应尽可能用和而不用均值，这样可避免不必要的误差（如四舍五入造成的误差等）。

习题 8.1-2

在一个单因子试验中，因子 $A$ 有 $4$ 个水平，每个水平下重复次数分别为 $5,7,6,8$。那么误差平方和、$A$ 的平方和及总平方和的自由度各是多少？

解 此处因子水平数 $r=4$，总试验的次数

$$n=5+7+6+8=26,$$

因而有

$$\text{误差平方和的自由度 }{f}_e=n-r=26-4=22,$$ $$\text{因子 }A\text{ 的平方和的自由度 }{f}_A=r-1=3,$$ $$\text{总平方和的自由度 }{f}_T=n-1=25.$$

习题 8.1-3

在单因子试验中，因子 $A$ 有 $4$ 个水平，每个水平下各重复 $3$ 次试验，现已求得每个水平下试验结果的样本标准差分别为 $1.5,2.0,1.6,1.2$，则其误差平方和为多少？误差的方差 ${\sigma }^2$ 的估计值是多少？

解 此处因子水平数 $r=4$，每个水平下的试验次数 $m=3$，误差平方和 $S_e$ 由四个平方和组成，它们分别为

$$S_{e1}=(3-1)\times 1.5^2=4.5,S_{e2}=(3-1)\times 2^2=8,$$ $$S_{e3}=(3-1)\times 1.6^2=5.12,S_{e4}=(3-1)\times 1.2^2=\mathrm{2.88.}$$

于是

$$S_e=S_{e1}+S_{e2}+S_{e3}+S_{e4}=20.5,$$

其自由度为

$$f_e=mr-r=8,$$

误差方差 ${\sigma }^2$ 的估计值为

$${\hat{\sigma }}^2=\frac{S_e}{f_e}=\frac{20.5}{8}=\mathrm{2.5625.}$$

习题 8.1-4

在单因子方差分析中，因子 $A$ 有 $3$ 个水平，每个水平均各做 $4$ 次重复试验。请完成下列方差分析表，并在显著性水平 $\alpha =0.05$ 下对因子 $A$ 是否显著作出检验：

$$\begin{array}{cccccc}\text{来源}& \text{平方和}& \text{自由度}& \text{均方}& F\text{ 比}& p\text{ 值}\\ \text{因子 }A& 4.2& & & & \\ \text{误差 }e& 2.5& & & & \\ \text{总和 }T& 6.7& & & & \end{array}$$

解 补充的方差分析表如下：

$$\begin{array}{cccccc}\text{来源}& \text{平方和}& \text{自由度}& \text{均方}& F\text{ 比}& p\text{ 值}\\ \text{因子 }A& 4.2& 2& 2.1& 7.5& 0.0121\\ \text{误差 }e& 2.5& 9& 0.28& & \\ \text{总和 }T& 6.7& 11& & & \end{array}$$

对于给定的显著性水平 $\alpha =0.05$，查表得

$$F_{0.95}(2,9)=4.26,$$

故拒绝域为

$$W=\{F\ge 4.26\}.$$

由于

$$F=7.5>4.26,$$

因而认为因子 $A$ 是显著的。此外，

$$p=1-\mathrm{fcdf}(7.5,2,9)=\mathrm{0.0121.}$$

习题 8.1-5

用 $4$ 种安眠药在兔子身上进行试验，挑选 $24$ 只健康兔子，随机把它们均分为 $4$ 组，每组各服一种安眠药，安眠时间（单位：$\mathrm{h}$）如下：

$$\begin{array}{ccccccc}\text{安眠药}& \text{安眠时间}& & & & & \\ A_1& 6.2& 6.1& 6.0& 6.3& 6.1& 5.9\\ A_2& 6.3& 6.5& 6.7& 6.6& 7.1& 6.4\\ A_3& 6.8& 7.1& 6.6& 6.8& 6.9& 6.6\\ A_4& 5.4& 6.4& 6.2& 6.3& 6.0& 5.9\end{array}$$

在显著性水平 $\alpha =0.05$ 下对其进行方差分析，可以得到什么结果？

解 这是一个单因子方差分析的问题。根据样本数据有

$$\begin{array}{ccccc}\text{安眠药}& m& T_i& T_i^2& {\sum }_{j=1}^m{y}_{ij}^2\\ A_1& 6& 36.6& 1339.56& 223.36\\ A_2& 6& 39.6& 1568.16& 261.76\\ A_3& 6& 40.8& 1664.64& 277.62\\ A_4& 6& 36.2& 1310.44& 219.06\\ \text{和}& 24& 153.2& 5882.8& 981.8\end{array}$$

于是

$$S_T=\sum _{i=1}^r\sum _{j=1}^m{y}_{ij}^2-\frac{T^2}{n}=981.8-\frac{153.2^2}{24}=3.87,f_T=23,$$ $$S_A=\frac{1}{m}\sum _{i=1}^r{T}_i^2-\frac{T^2}{n}=\frac{5882.8}{6}-\frac{153.2^2}{24}=2.54,f_A=3,$$ $$S_e=S_T-S_A=1.33,f_e=20.$$

方差分析表为

$$\begin{array}{ccccc}\text{来源}& \text{平方和}& \text{自由度}& \text{均方}& F\text{ 比}\\ \text{因子 }A& 2.54& 3& 0.8467& 12.7323\\ \text{误差 }e& 1.33& 20& 0.0665& \\ \text{总计}& 3.87& 23& & \end{array}$$

在显著性水平 $\alpha =0.05$ 下，查表得

$$F_{0.95}(3,20)=\mathrm{3.10.}$$

由于 $F=12.7323>3.10$，故认为因子 $A$（安眠药）是显著的，即四种安眠药对兔子的安眠作用有明显差别。检验的 $p$ 值为

$$p=1-\mathrm{fcdf}(12.7323,3,20)=7.048\times 10^{-5}.$$

习题 8.1-6

为研究单因子 $A$ 中咖啡因剂量对人的影响，随机选择 $30$ 名体质大致相同的健康男大学生进行手指叩击试验。咖啡因有三个水平：

$$A_1=0\mathrm{mg},A_2=100\mathrm{mg},A_3=200\mathrm{mg}.$$

每个水平下各安排 $10$ 人，试验结果如下：

$$\begin{array}{ccccccccccc}\text{咖啡因剂量}& \text{叩击次数}& & & & & & & & & \\ A_1& 242& 245& 244& 248& 247& 248& 242& 244& 246& 242\\ A_2& 248& 246& 245& 247& 248& 250& 247& 246& 243& 244\\ A_3& 246& 248& 250& 252& 248& 250& 246& 248& 245& 250\end{array}$$

对于上述数据进行方差分析，从中可得到什么结论？

解 对数据同时减去 $240$ 不改变方差分析结果。将计算结果列入下表：

$$\begin{array}{cccccccccccccc}\text{水平}& \text{数据（原始数据}-240\text{）}& & & & & & & & & & T_i& T_i^2& {\sum }_{j=1}^m{y}_{ij}^2\\ A_1& 2& 5& 4& 8& 7& 8& 2& 4& 6& 2& 48& 2304& 282\\ A_2& 8& 6& 5& 7& 8& 10& 7& 6& 3& 4& 64& 4096& 448\\ A_3& 6& 8& 10& 12& 8& 10& 6& 8& 5& 10& 83& 6889& 733\\ \text{和}& & & & & & & & & & & 195& 13289& 1463\end{array}$$

于是

$$S_T=1463-\frac{195^2}{30}=195.5,f_T=29,$$ $$S_A=\frac{13289}{10}-\frac{195^2}{30}=61.4,f_A=2,$$ $$S_e=S_T-S_A=134.1,f_e=27.$$

方差分析表为

$$\begin{array}{ccccc}\text{来源}& \text{平方和}& \text{自由度}& \text{均方}& F\text{ 比}\\ \text{因子 }A& 61.4& 2& 30.7& 6.1812\\ \text{误差 }e& 134.1& 27& 4.9667& \\ \text{总计}& 195.5& 29& & \end{array}$$

当 $\alpha =0.05$ 时，$F_{0.95}(2,27)=3.362$。由于 $F=6.1812>3.362$，故认为因子 $A$（咖啡因剂量）是显著的，即三种不同剂量对人的作用有明显差别。检验的 $p$ 值为

$$p=1-\mathrm{fcdf}(6.1812,2,27)=\mathrm{0.0062.}$$

习题 8.1-7

某粮食加工厂试验三种不同的储藏方法对粮食含水率有无显著影响。现取一批粮食分成若干份，分别用三种不同的方法储藏，过一段时间后测得的含水率（单位：$\%$）如下：

$$\begin{array}{cccccc}\text{储藏方法}& \text{含水率数据}& & & & \\ A_1& 7.3& 8.3& 7.6& 8.4& 8.3\\ A_2& 5.4& 7.4& 7.1& 6.8& 5.3\\ A_3& 7.9& 9.5& 10.0& 9.8& 8.4\end{array}$$

1. 假定各种方法储藏的粮食含水率服从正态分布，且方差相等，试在 $\alpha =0.05$ 下检验这三种方法对含水率的平均值有无显著影响；
2. 对每种方法的平均含水率给出置信水平为 $0.95$ 的置信区间。

解 (1) 这是一个单因子方差分析问题。由数据计算如下：

$$\begin{array}{cccc}\text{储藏方法}& T_i& T_i^2& {\sum }_{j=1}^m{y}_{ij}^2\\ A_1& 39.9& 1592.01& 319.39\\ A_2& 32.0& 1024.00& 208.66\\ A_3& 45.6& 2079.36& 419.26\\ \text{和}& 117.5& 4695.37& 947.31\end{array}$$ $$S_T=947.31-\frac{117.5^2}{15}=26.893,f_T=14,$$ $$S_A=\frac{4695.37}{5}-\frac{117.5^2}{15}=18.657,f_A=2,$$ $$S_e=S_T-S_A=8.236,f_e=12.$$

于是方差分析表为

$$\begin{array}{ccccc}\text{来源}& \text{平方和}& \text{自由度}& \text{均方}& F\text{ 比}\\ \text{因子 }A& 18.657& 2& 9.329& 13.599\\ \text{误差 }e& 8.236& 12& 0.686& \\ \text{总计}& 26.893& 14& & \end{array}$$

在显著性水平 $\alpha =0.05$ 下，查表得 $F_{0.95}(2,12)=3.89$。由于 $F=13.599>3.89$，故认为因子 $A$（储藏方法）显著，即三种不同储藏方法对粮食含水率有显著影响。检验的 $p$ 值为

$$p=1-\mathrm{fcdf}(13.599,2,12)=8.2320\times 10^{-4}.$$

(2) 各水平均值估计分别为

$${\hat{\mu }}_1=7.98,{\hat{\mu }}_2=6.40,{\hat{\mu }}_3=\mathrm{9.12.}$$

误差方差的无偏估计为

$${\hat{\sigma }}^2=M{S}_e=0.686,\hat{\sigma }=\sqrt{0.686}=\mathrm{0.828.}$$

若取 $\alpha =0.05$，则

$$t_{0.975}(12)=2.178,\hat{\sigma }{t}_{0.975}(12)/\sqrt{5}=0.807,$$

于是三种方法平均含水率的 $0.95$ 置信区间分别为

$${\mu }_1:[7.98\pm 0.807]=[7.173,8.787],$$ $${\mu }_2:[6.40\pm 0.807]=[5.593,7.207],$$ $${\mu }_3:[9.12\pm 0.807]=[8.313,9.927].$$

习题 8.1-8

在人员推销中有五种方法，某大公司想比较这五种方法有无显著的效果差异。设计一项实验：从应聘的且无推销经验的人员中随机挑选一部分人，将他们随机分为五组，每组用一种推销方法进行培训。培训相同时间后观察他们在一个月内的推销额（单位：千元），数据如下：

$$\begin{array}{cccccccc}\text{组别}& \text{推销额}& & & & & & \\ \text{第一组}& 20.0& 16.8& 17.9& 21.2& 23.9& 26.8& 22.4\\ \text{第二组}& 24.9& 21.3& 22.6& 30.2& 29.9& 22.5& 20.7\\ \text{第三组}& 16.0& 20.1& 17.3& 20.9& 22.0& 26.8& 20.8\\ \text{第四组}& 17.5& 18.2& 20.2& 17.7& 19.1& 18.4& 16.5\\ \text{第五组}& 25.2& 26.2& 26.9& 29.3& 30.4& 29.7& 28.2\end{array}$$

1. 假定数据满足进行方差分析的条件，对数据进行分析，在 $\alpha =0.05$ 下这五种方法在平均月推销额上有无显著差异；
2. 哪种推销方法的效果最好？试对该种方法一个月的平均推销额求置信水平为 $0.95$ 的置信区间。

解 (1) 由数据计算得

$$\begin{array}{cccc}\text{推销方法}& T_i& T_i^2& {\sum }_{j=1}^m{y}_{ij}^2\\ A_1& 149.0& 22201.00& 3243.3\\ A_2& 172.1& 29618.41& 4325.25\\ A_3& 143.9& 20707.21& 3030.99\\ A_4& 127.6& 16281.76& 2334.44\\ A_5& 195.9& 38376.81& 5505.07\\ \text{和}& 788.5& 127185.19& 18439.05\end{array}$$ $$S_T=18439.05-\frac{788.5^2}{35}=675.2714,f_T=34,$$ $$S_A=\frac{127185.19}{7}-\frac{788.5^2}{35}=405.5343,f_A=4,$$ $$S_e=S_T-S_A=269.7371,f_e=30.$$

方差分析表为

$$\begin{array}{ccccc}\text{来源}& \text{平方和}& \text{自由度}& \text{均方}& F\text{ 比}\\ \text{因子 }A& 405.5343& 4& 101.3836& 11.2759\\ \text{误差 }e& 269.7371& 30& 8.9912& \\ \text{总计}& 675.2714& 34& & \end{array}$$

在显著性水平 $\alpha =0.05$ 下，查表得 $F_{0.95}(4,30)=2.69$。由于 $F=11.2759>2.69$，故认为五种不同推销方法在平均月推销额上有显著差异。检验的 $p$ 值为

$$p=1-\mathrm{fcdf}(11.2759,4,30)=1.0526\times 10^{-5}.$$

(2) 各种方法平均月推销额的估计值分别为

$${\hat{\mu }}_1=21.2857,{\hat{\mu }}_2=24.5857,{\hat{\mu }}_3=20.5571,{\hat{\mu }}_4=18.2286,{\hat{\mu }}_5=\mathrm{27.9857.}$$

从点估计看，第 $5$ 种方法最好。又有

$${\hat{\sigma }}^2=M{S}_e=8.9912,\hat{\sigma }=\sqrt{8.9912}=\mathrm{2.9985.}$$

查表得

$$t_{0.975}(30)=2.0423,\hat{\sigma }{t}_{0.975}(30)/\sqrt{7}=2.3146,$$

于是第 $5$ 种方法下均值的 $0.95$ 置信区间为

$${\mu }_5:[27.9857\pm 2.3146]=[25.6711,30.3003].$$

习题 8.1-9

某组装产品内有部分噪声很大的次品，产生次品的原因怀疑是由于这种组装品某个部位的间隙过大引起的。为检验这一认识是否正确，特从正品 $A_1$ 和次品 $A_2$ 中各抽出 $8$ 个，对其间隙进行测量，数据（单位：$\mu \mathrm{m}$）如下：

$$\begin{array}{ccccccccc}{A}_1& 4& 8& 2& 3& 5& 4& 6& 7\\ A_2& 7& 12& 13& 15& 8& 10& 12& 9\end{array}$$

在正态分布假设下，请对 $A_1$ 与 $A_2$ 中间隙的均值是否存在显著差异进行检验（取 $\alpha =0.05$）。

解 这是单因子二水平等重复试验，其均值比较可用两种方法。

解法一 方差分析法

先计算

$$T_1=39,T_2=86,T=T_1+T_2=125.$$

再得

$$S_T=1195-\frac{125^2}{16}=218.4375,$$ $$S_A=\frac{39^2}{8}+\frac{86^2}{8}-\frac{125^2}{16}=138.0625,$$ $$S_e=S_T-S_A=\mathrm{80.375.}$$

方差分析表为

$$\begin{array}{ccccc}\text{来源}& \text{平方和}& \text{自由度}& \text{均方}& F\text{ 比}\\ \text{因子 }A& 138.0625& 1& 138.0625& 24.0481\\ \text{误差 }e& 80.375& 14& 5.7411& \\ \text{总计}& 218.4375& 15& & \end{array}$$

当 $\alpha =0.05$ 时，$F_{0.95}(1,14)=4.60$。由于 $F>4.60$，故因子 $A$ 显著，即正品与次品该部位的平均间隙有显著差异。

解法二 双样本 $t$ 检验

在正态总体方差相等的条件下，检验统计量为

$$t=\frac{{\bar{y}}_1-{\bar{y}}_2}{s_w\sqrt{\frac{1}{m_1}+\frac{1}{m_2}}}\sim t(m_1+m_2-2),$$

其中

$$s_w^2=\frac{1}{m_1+m_2-2}\left[\sum _{i=1}^{m_1}(y_{1i}-{\bar{y}}_1{)}^2+\sum _{i=1}^{m_2}(y_{2i}-{\bar{y}}_2{)}^2\right].$$

由样本可算得

$$m_1=m_2=8,{\bar{y}}_1=4.875,{\bar{y}}_2=10.75,s_w=2.3961,$$ $$t=\frac{4.875-10.75}{2.3961\sqrt{\frac{1}{8}+\frac{1}{8}}}=-\mathrm{4.9039.}$$

对给定显著性水平 $\alpha =0.05$，拒绝域为

$$W=\{|t|>t_{1-\alpha /2}(m_1+m_2-2)\}.$$

查表得

$$t_{0.975}(14)=\mathrm{2.1448.}$$

由于 $|t|>2.1448$，故应拒绝两均值相等的假设，此结论与方差分析相同。这并非偶然，因为自由度为 $f_2$ 的 $t$ 变量的平方服从 $F(1,f_2)$ 分布，本题中

$$(-4.9039{)}^2=\mathrm{24.0481.}$$

习题 8.1-10

某乳制品公司有四个车间生产同一种酸乳酪，为考察四个车间产品中脂肪含量是否一致，特在每个车间生产的产品中各抽取 $8$ 个样品送往实验室测定，结果（单位：$\%$）如下：

$$\begin{array}{ccccccccc}{A}_1& 3.11& 3.36& 3.24& 2.96& 3.15& 3.18& 3.30& 3.06\\ A_2& 2.94& 3.04& 3.13& 2.86& 3.27& 3.19& 3.10& 2.99\\ A_3& 3.18& 3.26& 3.48& 3.35& 3.30& 3.06& 3.24& 3.41\\ A_4& 2.84& 2.95& 2.73& 3.18& 3.04& 2.90& 3.08& 2.98\end{array}$$

试比较各车间生产的酸乳酪中脂肪含量均值有无显著差异（取 $\alpha =0.05$）。

解 为简化运算，令

$$z_{ij}=(y_{ij}-3)\times 100,$$

则

$$\begin{array}{ccccccccccc}\text{车间}& z_{ij}& & & & & & & & T_i& {\sum }_{j=1}^8{z}_{ij}^2\\ A_1& 11& 36& 24& -4& 15& 18& 30& 6& 136& 3494\\ A_2& -6& 4& 13& -14& 27& 19& 10& -1& 52& 1608\\ A_3& 18& 26& 48& 35& 30& 6& 24& 41& 228& 7722\\ A_4& -16& -5& -27& 18& 4& -10& 8& -2& -30& 1518\\ T=386& & & & & & & & & \sum \sum z_{ij}^2=14342& \end{array}$$

于是

$$S_T=14342-\frac{386^2}{32}=9685.875,$$ $$S_A=\frac{1}{8}\sum _{i=1}^4{T}_i^2-\frac{386^2}{32}=4604.375,$$ $$S_e=S_T-S_A=\mathrm{5081.500.}$$

方差分析表为

$$\begin{array}{ccccc}\text{来源}& \text{平方和}& \text{自由度}& \text{均方}& F\text{ 比}\\ \text{因子 }A& 4604.375& 3& 1534.7917& 8.46\\ \text{误差 }e& 5081.500& 28& 181.4821& \\ \text{总计}& 9685.875& 31& & \end{array}$$

查表得 $F_{0.95}(3,28)\approx 2.92$。由于 $F=8.46>2.92$，故因子 $A$ 显著，即四个车间生产的酸乳酪中脂肪含量均值有显著差异。

由逆变换

$$y_{ij}=3+\frac{z_{ij}}{100}$$

可知

$${\bar{y}}_1=3.17,{\bar{y}}_2=3.065,{\bar{y}}_3=3.285,{\bar{y}}_4=2.963,$$ $${\hat{\sigma }}_y^2=\frac{M{S}_e}{10000}=0.01814821,{\hat{\sigma }}_y=\mathrm{0.1347.}$$