§7.6 非参数检验

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§7.6 非参数检验

1. 游程检验 在怀疑数据可能不符合随机选取的原则时可对数据进行游程检验。

设 $x_1,x_2,\cdots ,x_n$ 为依时间顺序连续得到的一组样本观测值序列，要考察如下原假设是否成立：

$$H_0:\text{样本观察值序列符合随机抽取的原则。}$$

为此记样本中位数为 $m_e$，把序列中小于 $m_e$ 的那些 $x_i$ 换成 $0$；大于或等于 $m_e$ 的那些 $x_i$ 换成 $1$。把以 $0$ 为界的一连串的 $1$ 称为 $1$ 游程，以 $1$ 为界的一连串的 $0$ 称为 $0$ 游程，统称为游程。设序列中 $0$ 和 $1$ 的个数分别为 $n_1$ 和 $n_2$，设 $R$ 表示样本序列的总游程数，则检验的拒绝域为

$$\{R\le c_1\}\cup \{R\ge c_2\},$$

其中临界值 $c_1$ 和 $c_2$ 根据 $H_0$ 为真时 $R$ 的分布确定，可查表。

当 $n_1,n_2$ 都不太大时，游程检验用 $p$ 值进行更为方便，记 $R$ 的观测值为 $R_0$，则

$$p=2\min \{P(R\le R_0),P(R\ge R_0)\},$$

其概率可用下述两式进行计算

$$P(R=2k)=\frac{2\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n_1-1}{k-1}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n_2-1}{k-1}\right)}{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n_1+n_2}{n_1}\right)},k=1,2,\cdots ,\left[\frac{n}{2}\right],$$ $$P(R=2k+1)=\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n_1-1}{k-1}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n_2-1}{k}\right)+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n_1-1}{k}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n_2-1}{k-1}\right)}{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n_1+n_2}{n_1}\right)},k=1,2,\cdots ,\left[\frac{n-1}{2}\right].$$

对比较大的 $n_1,n_2$，可以使用渐近分布。对给定的显著性水平 $\alpha$，两个临界值可近似取为

$$c_1=\left[\frac{2n_1{n}_2}{n_1+n_2}\left(1+\frac{u_{\alpha /2}}{\sqrt{n_1+n_2}}\right)\right],c_2=\left[\frac{2n_1{n}_2}{n_1+n_2}\left(1+\frac{u_{1-\alpha /2}}{\sqrt{n_1+n_2}}\right)\right]+1.$$

研究表明，当 $n_1,n_2$ 都大于 $20$ 时，上式近似效果是足够好的。游程检验还可以用于检验两个总体是否有相同分布。

1. 符号检验 符号检验主要用来对总体 $p$ 的分位数 $x_p$ 进行检验。

设 $x_1,x_2,\cdots ,x_n$ 是来自总体 $X$ 的样本，欲检验

$$H_0:x_p\le x_0\text{vs}{H}_1:x_p>x_0,$$

其中 $x_0$ 是某个给定常数，记

$${\gamma }_i=\{\begin{array}{ll}1,& x_i>x_0,\\ 0,& x_i\le x_0,\end{array}$$

符号检验统计量为

$$S^{+}=\sum _{i=1}^n{\gamma }_i,$$

拒绝域为

$$W=\left\{S^{+}\ge c\right\},c=\underset{k}{\inf }\left\{k:\sum _{i=k}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i}\right)p_0^i(1-p_0{)}^{n-i}\le \alpha \right\}.$$

对符号检验，使用检验的 $p$ 值较为简便。记 $S_0^{+}$ 为符号统计量的观测值，则检验的 $p$ 值为

$$p=P(S^{+}\ge S_0^{+})=\sum _{i=S_0^{+}}^{n}b(i;n,1-p),$$

其中

$$b(i;n,1-p)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i}\right)(1-p{)}^i{p}^{n-i}$$

表示二项分布的概率函数。

三种假设下的符号检验：

$$\begin{array}{cccc}{H}_0& H_1& \text{拒绝域形式}& \text{检验的 }p\text{ 值}\\ x_p\le x_0& x_p>x_0& W_{\mathrm{I}}=\{S^{+}\ge c\}& \sum _{i=s_0^{+}}^{n}b(i;n,1-p)\\ x_p\ge x_0& x_p<x_0& W_{\mathrm{II}}=\{S^{+}\le c\}& \sum _{i=0}^{s_0^{+}}b(i;n,1-p)\\ x_p=x_0& x_p\ne x_0& W_{\mathrm{III}}=\{S^{+}\le c_1\text{ 或 }{S}^{+}\ge c_2\}& 2\min \left\{\sum _{i=0}^{s_0^{+}}b(i;n,1-p),\sum _{i=s_0^{+}}^{n}b(i;n,1-p),0.5\right\}\end{array}$$

符号检验还可用于成对数据的比较。

1. 符号秩和检验 秩检验主要用于对对称分布的分布中心进行检验。观测值在有序样本中的序称为它的秩。

设连续总体关于某个参数 $\theta$ 对称，其分布函数记为 $F(x-\theta )$，要检验的假设为：

$$H_0:\theta =0\text{vs}{H}_1:\theta \ne 0.$$

设 $x_1,x_2,\cdots ,x_n$ 是样本，记 $R_i$ 为 $|x_i|$ 在 $(|x_1|,|x_2|,\cdots ,|x_n|)$ 中的秩，符号秩和统计量

$$W^{+}=\sum _{i=1}^n{R}_{i}I(x_i>0),$$

拒绝域为

$$\{W^{+}\le W_{\alpha /2}^{+}(n)\}\cup \{W^{+}\ge W_{1-\alpha /2}^{+}(n)\}.$$

附表 $13$ 给出了 $n\le 50$ 时满足条件

$$P(W^{+}\le W_{\alpha }^{+}(n))\le \alpha$$

的 $W_{\alpha }^{+}(n)$，至于满足条件

$$P(W^{+}\ge W_{1-\alpha }^{+}(n))\le \alpha$$

的 $W_{1-\alpha }^{+}(n)$，它等于

$$\frac{1}{2}n(n+1)-W_{\alpha }^{+}(n).$$

当 $n>50$ 时可采用正态近似

$$\frac{W^{+}-\frac{n(n+1)}{4}}{\sqrt{\frac{n(n+1)(2n+1)}{24}}}\stackrel{L}{\to }N(0,1)$$

计算检验临界值。

1. 秩和检验 秩和检验常用来对两个总体的位置进行比较。设有两个总体，分布函数分别为 $F(x-{\theta }_1)$ 和 $F(x-{\theta }_2)$，$x_1,x_2,\cdots ,x_m$ 和 $y_1,y_2,\cdots ,y_n$ 分别为其样本，对合样本 $x_1,x_2,\cdots ,x_m,y_1,y_2,\cdots ,y_n$ 进行排序，对应的秩为

$$R=(Q_1,Q_2,\cdots ,Q_m,R_1,R_2,\cdots ,R_n).$$

在比较 ${\theta }_1,{\theta }_2$ 的大小时，采用如下威尔科克森秩和统计量

$$W=\sum _{i=1}^n{R}_i,$$

假设与拒绝域分别为

$$\mathrm{I}{H}_0:{\theta }_1\le {\theta }_2\text{vs}{H}_1:{\theta }_1>{\theta }_2,W_{\mathrm{I}}=\{W\le W_{\alpha }(m,n)\};$$ $$\mathrm{II}{H}_0:{\theta }_1\ge {\theta }_2\text{vs}{H}_1:{\theta }_1<{\theta }_2,W_{\mathrm{II}}=\{W\ge W_{1-\alpha }(m,n)\};$$ $$\mathrm{III}{H}_0:{\theta }_1={\theta }_2\text{vs}{H}_1:{\theta }_1\ne {\theta }_2,W_{\mathrm{III}}=\{W\le W_{\alpha /2}(m,n)\text{或}W\ge W_{1-\alpha /2}(m,n)\}.$$

在样本容量较大时，可以用大样本近似公式

$$W^{\ast }=\frac{W-\frac{n(m+n+1)}{2}}{\sqrt{\frac{mn(m+n+1)}{12}}}\sim N(0,1)$$

作上述检验。在 $m$ 与 $n$ 都大于等于 $20$ 时，此种近似效果很好。

习题与解答 7.6

说明：除非特别指出，以下检验的显著性水平均取为 $\alpha =0.05$。

习题 7.6-1

在某保险种类中，一次关于 $2008$ 年的索赔数额（单位：元）的随机抽样为（按升序排列）：

$$4632,4728,5052,5064,5484,6972,7596,9480,$$ $$14760,15012,18720,21240,22836,52788,67200.$$

已知 $2007$ 年的索赔数额的中位数为 $5063$ 元。$2008$ 年索赔的中位数比前一年是否有所变化？请用双侧符号检验方法检验，求检验的 $p$ 值，并写出结论。

解 原假设

$$H_0:x_{0.5}=5063,$$

备择假设

$$H_1:x_{0.5}\ne 5063,$$

作差 $x_i-5063$，得到检验统计量值为

$$S_0^{+}=12,$$

检验的 $p$ 值为

$$p=2\min \left\{\sum _{i=0}^{12}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{15}{i}\right)0.5^{15},\sum _{i=12}^{15}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{15}{i}\right)0.5^{15},0.5\right\}=2\min \{0.9963,0.0176,0.5\}=\mathrm{0.0352.}$$

$p$ 值小于 $0.05$，所以拒绝原假设。从而认为 $2008$ 年的索赔中位数与前一年相比有变化。

习题 7.6-2

$1984$ 年一些国家每平方千米可开发水资源数据（单位：万吨／年）如下表所示：

$$\begin{array}{cccc}\text{国家}& \text{每平方千米可开发水资源}& \text{国家}& \text{每平方千米可开发水资源}\\ \text{苏联}& 4.9& \text{印度}& 8.5\\ \text{巴西}& 4.1& \text{哥伦比亚}& 26.3\\ \text{美国}& 7.5& \text{日本}& 34.9\\ \text{加拿大}& 5.4& \text{阿根廷}& 6.9\\ \text{扎伊尔}& 28.1& \text{印度尼西亚}& 7.9\\ \text{墨西哥}& 4.9& \text{瑞士}& 78.0\\ \text{瑞典}& 22.3& \text{罗马尼亚}& 10.1\\ \text{意大利}& 16.8& \text{联邦德国}& 8.8\\ \text{奥地利}& 58.6& \text{英国}& 1.7\\ \text{南斯拉夫}& 24.8& \text{法国}& 11.5\\ \text{挪威}& 37.4& \text{西班牙}& 13.4\end{array}$$

而当年中国的该项指标为 $20$ 万吨／年，请用符号检验方法检验：这 $22$ 个国家每平方千米可开发的水资源的中位数不高于中国。求检验的 $p$ 值，并写出结论。

解 原假设

$$H_0:x_{0.5}\le 20,$$

备择假设

$$H_1:x_{0.5}>20,$$

作差 $x_i-20$，发现正数的个数为

$$S_0^{+}=8,$$

从而检验的 $p$ 值为

$$p=\sum _{i=8}^{22}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{22}{i}\right)0.5^{22}=0.9331,$$

$p$ 值很大，所以可以认为这 $22$ 个国家可开发水资源的中位数不高于中国。

习题 7.6-3

下面是亚洲十个国家 $1996$ 年的每 $1000$ 个新生儿中的死亡数（按从小到大的次序排列）：

$$\text{日本}4,\text{以色列}6,\text{韩国}9,\text{斯里兰卡}15,\text{中国}23,$$ $$\text{叙利亚}31,\text{伊朗}36,\text{印度}65,\text{孟加拉国}77,\text{巴基斯坦}88.$$

以 $M$ 表示 $1996$ 年亚洲国家中 $1000$ 个新生儿中的死亡数的中位数，试检验：

$$H_0:M\ge 34\text{vs}{H}_1:M<34.$$

求检验的 $p$ 值，并写出结论。

解 作差 $x_i-34$，发现正数的个数为

$$S_0^{+}=4,$$

从而检验的 $p$ 值为

$$p=\sum _{i=0}^4\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{i}\right)0.5^{10}=0.3770,$$

$p$ 值大于 $0.05$，不拒绝原假设，即可以认为中位数不低于 $34$。

习题 7.6-4

某烟厂称其生产的每支香烟的尼古丁含量在 $12\mathrm{mg}$ 以下。实验室测定的该烟厂的 $12$ 支香烟的尼古丁含量（单位：$\mathrm{mg}$）分别为

$$16.7,17.7,14.1,11.4,13.4,10.5,$$ $$13.6,11.6,12.0,12.6,11.7,\mathrm{13.7.}$$

该烟厂所说的尼古丁含量是否比实际要少？求检验的 $p$ 值，并写出结论。

解 我们可用中位数来刻画此问题，于是一对假设为

$$H_0:x_{0.5}\le 12\text{vs}{H}_1:x_{0.5}>12.$$

作差 $x_i-12$ 得正值个数为 $7$，检验的 $p$ 值为

$$p=\sum _{i=7}^{12}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{12}{i}\right)0.5^{12}=\mathrm{0.3872.}$$

与 $0.05$ 比较，我们不能确认该厂的说法不真实。

习题 7.6-5

$9$ 名学生到英语培训班学习，培训前后各进行了一次水平测试，成绩为

$$\begin{array}{cccccccccc}\text{学生编号 }i& 1& 2& 3& 4& 5& 6& 7& 8& 9\\ \text{入学前成绩 }{x}_i& 76& 71& 70& 57& 49& 69& 65& 26& 59\\ \text{入学后成绩 }{y}_i& 81& 85& 70& 52& 52& 63& 83& 33& 62\\ z_i=x_i-y_i& -5& -14& 0& 5& -3& 6& -18& -7& -3\end{array}$$

1. 假设测验成绩服从正态分布，问学生的培训效果是否显著？
2. 不假定总体分布，采用符号检验方法检验学生的培训效果是否显著；
3. 采用符号秩和检验方法检验学生的培训效果是否显著。三种检验方法结论相同吗？

解 (1) 这是成对数据的检验问题，在假定正态分布下，可通过对

$$z_i=x_i-y_i$$

作单样本 $t$ 检验。一对假设为

$$H_0:{\mu }_z\ge 0\text{vs}{H}_1:{\mu }_z<0.$$

由于

$$\bar{z}=-4.3333,s_z=7.9373,$$

故可算出检验统计量值为

$$t=\frac{\sqrt{9}\times (-4.3333)}{7.9373}=-1.6378,$$

于是检验的 $p$ 值为

$$p=P(t\le -1.6378)=0.0700,$$

$p$ 值大于 $0.05$，在显著性水平 $0.05$ 下不能认为学生的培训效果显著。

(2) 由于 $z_1,z_2,\cdots ,z_9$ 正数的个数为 $2$，从而检验的 $p$ 值为

$$p=\sum _{i=0}^2\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{9}{i}\right)0.5^9=0.0898,$$

$p$ 值大于 $0.05$，在显著性水平 $0.05$ 下也不能认为学生的培训效果显著。

(3) 由于两个正的差值的秩分别为 $4.5$ 和 $6$，故符号秩和检验统计量为

$$W^{+}=10.5,$$

这是一个单侧假设检验，检验拒绝域为

$$\{W^{+}\le W_{\alpha }^{+}(n)\},$$

在给定 $n=9,\alpha =0.05$ 下，查表 $13$ 可知

$$W_{0.05}^{+}(9)=8,$$

观测值没有落入拒绝域，故也不能认为学生的培训效果显著，三者结果一致。

习题 7.6-6

为了比较用来做鞋子后跟的两种材料的质量，选取了 $15$ 个男子（他们的生活条件各不相同），每人穿着一双新鞋，其中一只是以材料 $A$ 做后跟，另一只以材料 $B$ 做后跟，其厚度均为 $10\mathrm{mm}$，过了一个月再测量厚度，得到数据如下：

$$\begin{array}{cccccccccccccccc}\text{序号}& 1& 2& 3& 4& 5& 6& 7& 8& 9& 10& 11& 12& 13& 14& 15\\ \text{材料 }A& 6.6& 7.0& 8.3& 8.2& 5.2& 9.3& 7.9& 8.5& 7.8& 7.5& 6.1& 8.9& 6.1& 9.4& 9.1\\ \text{材料 }B& 7.4& 5.4& 8.8& 8.0& 6.8& 9.1& 6.3& 7.5& 7.0& 6.5& 4.4& 7.7& 4.2& 9.4& 9.1\end{array}$$

问是否可以认定以材料 $A$ 制成的后跟比材料 $B$ 的耐穿？

1. 设 $d_i=x_i-y_i(i=1,2,\cdots ,15)$ 来自正态总体，结论是什么？
2. 采用符号秩和检验方法检验，结论是什么？

解 (1) 这是成对数据的检验问题，在假定正态分布下，以 $\mu$ 记差值 $d$ 的均值，则需检验的假设为

$$H_0:{\mu }_d\le 0\text{vs}{H}_1:{\mu }_d>0.$$

此处 $15$ 个差值为

$$-0.8,1.6,-0.5,0.2,-1.6,0.2,1.6,1,0.8,1,1.7,1.2,1.9,0,0.$$

由于

$$\bar{d}=0.5533,s_d=1.0225,$$

故可算出检验统计量值为

$$t=\frac{\sqrt{15}\times 0.5533}{1.0225}=2.0958,$$

于是检验的 $p$ 值为

$$p=P(t\ge 2.0958)=\mathrm{0.0274.}$$

$p$ 值小于 $0.05$，在显著性水平 $0.05$ 下可以认定以材料 $A$ 制成的后跟比材料 $B$ 的耐穿。

(2) 由于 $3$ 个负的差值的秩分别为 $5,6.5,12$，故符号秩和检验统计量为

$$W^{-}=23.5$$

（正号和负号在使用中是完全等价的），这是一个单边假设检验，检验拒绝域为

$$\{W^{-}\le W_{\alpha }^{-}(n)\},$$

在给定 $n=15,\alpha =0.05$ 下，查表 $13$ 可知

$$W_{0.05}^{-}(15)=30,$$

观测值落入拒绝域，拒绝原假设，可以认定以材料 $A$ 制成的后跟比材料 $B$ 的耐穿，二者结果一致。

习题 7.6-7

某饮料商用两种不同配方推出了两种新的饮料，现抽取了 $10$ 位消费者，让他们分别品尝两种饮料并加以评分，从不喜欢到喜欢，评分由 $1$—$10$，评分结果如下：

$$\begin{array}{ccccccccccc}\text{品尝者}& 1& 2& 3& 4& 5& 6& 7& 8& 9& 10\\ A\text{ 饮料}& 10& 8& 6& 8& 7& 5& 1& 3& 9& 7\\ B\text{ 饮料}& 6& 5& 2& 2& 4& 6& 4& 5& 9& 8\end{array}$$

问两种饮料评分是否有显著差异？

1. 采用符号检验方法作检验；
2. 采用符号秩和检验方法作检验。

解 $10$ 个差值为

$$4,3,4,6,3,-1,-3,-2,0,-1.$$

(1) 由于差值中正数的个数为 $5$，从而检验的 $p$ 值为

$$p=2\min \left\{\sum _{i=0}^5\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{i}\right)0.5^{10},\sum _{i=5}^{10}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{i}\right)0.5^{10},0.5\right\}=2\min \{0.6230,0.6230,0.5\}=1,$$

$p$ 值很大，故不能认为两种饮料评分有显著差异。

(2) 四个负的差值的秩分别为 $2.5,2.5,4,6$，故符号秩和检验统计量为

$$W^{-}=15,$$

这是一个双侧假设检验，检验拒绝域为

$$\{W^{-}\le W_{\alpha /2}^{-}(n)\}\cup \{W^{-}\ge W_{1-\alpha /2}^{-}(n)\},$$

在给定 $n=10,\alpha =0.05$ 下，查表 $13$ 知

$$W_{0.025}^{-}(10)=8,$$

而

$$W_{0.975}^{-}(10)=\frac{10\times 11}{2}-W_{0.025}^{-}(10)=47,$$

观测值没有落入拒绝域，故不能认为两种饮料评分有显著差异，二者结果一致。

习题 7.6-8

测试在有精神压力和没有精神压力时血压的差别，$10$ 个志愿者进行了相应的试验，结果为（单位：$\mathrm{mmHg}$）：

$$\begin{array}{ccccccccccc}\text{无精神压力}& 107& 108& 122& 119& 116& 118& 121& 111& 114& 108\\ \text{有精神压力}& 127& 119& 123& 113& 125& 132& 121& 131& 116& 124\end{array}$$

是否该数据表明有精神压力下的血压有所增加？

解 对此问题也可类似于本节第 $5$ 题进行分析，首先明确要检验的一对假设为：

$$H_0:\text{有无精神压力下的血压不变}\text{vs}{H}_1:\text{有精神压力下的血压有增加}.$$

为此，先给出血压增加值 $z_i$ 的 $10$ 个观测值，为

$$20,11,1,-6,9,14,0,20,2,16.$$

(1) 若假定增加值服从正态分布，可通过对增加值做单样本 $t$ 检验。此一对假设为

$$H_0:{\mu }_z=0\text{vs}{H}_1:{\mu }_z>0.$$

由数据可计算得到

$$\bar{z}=8.7,s_z=9.056,$$

故可算出检验统计量值

$$t=\frac{\sqrt{10}\times 8.7}{9.056}=3.0380,$$

于是检验的 $p$ 值为

$$p=P(t\ge 3.0380)=0.0070,$$

$p$ 值小于 $0.05$，可以认为有精神压力下的血压有所增加。

(2) 由于 $z_1,z_2,\cdots ,z_{10}$ 正数的个数为 $8$，从而检验的 $p$ 值为

$$p=\sum _{i=8}^{10}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{i}\right)0.5^{10}=0.0547,$$

$p$ 值大于 $0.05$，在显著性水平 $0.05$ 得不到显著的结论，即不能认为有精神压力下的血压有所增加。

(3) 由于负的差值只有一个，其秩为 $4$，故符号秩和检验统计量为

$$W^{-}=4,$$

这是一个单侧假设检验，检验拒绝域为

$$\{W^{-}\le W_{\alpha }^{-}(n)\},$$

在给定 $n=10,\alpha =0.05$ 下，查表 $13$ 可知

$$W_{0.05}^{-}(10)=10,$$

观测值 $4$ 落入拒绝域，故拒绝原假设，可以认为有精神压力下的血压有所增加。

三者结果并不完全一致。