§7.5 正态性检验

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正文部分

§7.5 正态性检验

1. 正态概率纸检验 具体步骤如下：
2. 首先将数据按从小到大的次序排列：

$$x_{(1)}\le x_{(2)}\le \cdots \le x_{(n)};$$

1. 对每一个 $i$，计算修正频率

$${\hat{F}}_i=\frac{i-0.375}{n+0.25},i=1,2,\cdots ,n,$$

将 ${\hat{F}}_i$ 看作概率 $F(x_{(i)})$ 的估计；

1. 将点 $(x_{(i)},{\hat{F}}_i),i=1,2,\cdots ,n$ 逐一描在正态概率纸上；
2. 判断：若诸点在一条直线附近，则认为该数据来自正态总体；若诸点明显不在一条直线附近，则认为该数据不是来自正态分布总体；
3. 如果从正态概率纸上确认总体是非正态分布时，可从如下变换

$$y=\ln x,y=\frac{1}{x},y=\sqrt{x}$$

中选一个作数据变换，然后用 $(y_{(i)},{\hat{F}}_i)$ 再描点，判断变换后的数据是否来自正态分布，若 $\ln x\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$，则 $x\sim LN(\mu ,{\sigma }^2)$，若 $\frac{1}{x}\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$，则 $x\sim IN(\mu ,{\sigma }^2)$（倒正态分布），若 $\sqrt{x}\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$，则 $x$ 服从非中心 ${\chi }^2$ 分布（更一般的 ${\chi }^2$ 分布）。

1. $W$ 检验 具体步骤如下：
2. 首先将观测值按从小到大的次序排列：

$$x_{(1)}\le x_{(2)}\le \cdots \le x_{(n)};$$

1. 从附表 $6$ 中查得对应 $n$ 的系数 $a_1,a_2,\cdots ,a_n$，其中

$$a_{n+1-i}=-a_i,i=1,2,\cdots ,\left[\frac{n}{2}\right];$$

1. 计算检验统计量

$$W=\frac{{\left[\sum _{i=1}^{[n/2]}{a}_i(x_{(n+1-i)}-x_{(i)})\right]}^2}{\sum _{i=1}^n(x_{(i)}-\bar{x}{)}^2};$$

1. 拒绝域

$$W=\{W\le W_{\alpha }\},$$

其中 $W_{\alpha }$ 可查附表 $7$。

注：国家标准 GB/T4882—2001 中规定：样本量 $n\ge 8$，因为在 $n<8$ 时，对偏离正态分布的检验不太有效。

1. 爱泼斯坦—普利检验（EP 检验） EP 检验统计量定义为

$$T_{\mathrm{EP}}=1+\frac{n}{\sqrt{3}}+\frac{2}{n}\sum _{i=2}^n\sum _{j=1}^{i-1}\exp \left\{-\frac{(x_j-x_i{)}^2}{2s_n^2}\right\}-\sqrt{2}\sum _{i=1}^n\exp \left\{-\frac{(x_i-\bar{x}{)}^2}{4s_n^2}\right\},$$

其中 $\bar{x},s_n^2$ 就是前述的样本均值和（除以 $n$ 的）样本方差。该统计量通常需要编程计算，其拒绝域为

$$\{T_{\mathrm{EP}}>T_{1-\alpha ,\mathrm{EP}}(n)\},$$

$T_{1-\alpha ,\mathrm{EP}}(n)$ 可查附表 $11$，当 $n>200$ 时，统计量 $T_{\mathrm{EP}}$ 的分位数可以用 $n=200$ 时的分位数代替；对小于 $200$ 而不在表内的 $n$，可采用线性插值的方法得到近似的分位数。

注意：样本观测值的次序是随机的，但一经选定后在计算 $T_{\mathrm{EP}}$ 中必须保持不变。计算 $T_{\mathrm{EP}}$ 的程序框图如图 $7.4$ 所示（引自国标 GB/T4882—2001）。

\FigureSevenFour

习题与解答 7.5

习题 7.5-1

在检查了一个车间生产的 $20$ 个轴承外座圈的内径（单位：$\mathrm{mm}$）后得到下面数据：

$$15.04,15.36,14.57,14.53,15.57,14.69,15.37,14.66,14.52,15.41,$$ $$15.34,14.28,15.01,14.76,14.38,15.87,13.66,14.97,15.29,\mathrm{14.95.}$$

1. 作正态概率图，并作初步判断；
2. 请用 $W$ 检验方法检验这组数据是否来自正态分布（$\alpha =0.05$）。

解 (1) 首先将数据按从小到大的顺序排列：

$$x_{(1)}\le x_{(2)}\le \cdots \le x_{(20)}.$$

具体数据为

$$13.66,14.28,14.38,14.52,14.53,14.57,14.66,14.69,14.76,14.95,$$ $$14.97,15.01,15.04,15.29,15.34,15.36,15.37,15.41,15.57,\mathrm{15.87.}$$

对每一个 $i$，计算修正频率

$$\frac{i-0.375}{20+0.25},$$

结果见表：

$$\begin{array}{cccccc}i& x_{(i)}& \frac{i-0.375}{20+0.25}& i& x_{(i)}& \frac{i-0.375}{20+0.25}\\ 1& 13.66& 0.0309& 11& 14.97& 0.5247\\ 2& 14.28& 0.0802& 12& 15.01& 0.5741\\ 3& 14.38& 0.1296& 13& 15.04& 0.6235\\ 4& 14.52& 0.1790& 14& 15.29& 0.6728\\ 5& 14.53& 0.2284& 15& 15.34& 0.7222\\ 6& 14.57& 0.2778& 16& 15.36& 0.7716\\ 7& 14.66& 0.3272& 17& 15.37& 0.8210\\ 8& 14.69& 0.3765& 18& 15.41& 0.8704\\ 9& 14.76& 0.4259& 19& 15.57& 0.9198\\ 10& 14.95& 0.4753& 20& 15.87& 0.9691\end{array}$$

将点

$$\left(x_{(i)},\frac{i-0.375}{20+0.25}\right)$$

逐一描在正态概率纸上（利用软件），得到内径数据的概率图。

\FigureSevenFive

观察上述点的分布，可以判断上述 $20$ 个点基本在一条直线附近。

(2) $W$ 检验。由数据可算得

$$\bar{x}=14.9115,\sum _{i=1}^{20}(x_{(i)}-\bar{x}{)}^2=5.1685,$$

为计算方便，建立如下表格

$$\begin{array}{cccccccccc}k& x_{(k)}& x_{(n-k+1)}& d_k& a_k& k& x_{(k)}& x_{(n-k+1)}& d_k& a_k\\ 1& 13.66& 15.87& 2.21& 0.4734& 6& 14.57& 15.34& 0.77& 0.1334\\ 2& 14.28& 15.57& 1.29& 0.3211& 7& 14.66& 15.29& 0.63& 0.1013\\ 3& 14.38& 15.41& 1.03& 0.2565& 8& 14.69& 15.04& 0.35& 0.0711\\ 4& 14.52& 15.37& 0.85& 0.2085& 9& 14.76& 15.01& 0.25& 0.0422\\ 5& 14.53& 15.36& 0.83& 0.1686& 10& 14.95& 14.97& 0.02& 0.0140\end{array}$$

从上表中可计算出 $W$ 的值：

$$W=\frac{(0.4734\times 2.21+0.3211\times 1.29+\cdots +0.0140\times 0.02{)}^2}{5.1685}=\mathrm{0.9743.}$$

当 $n=20$ 时，查表知

$$W_{0.05}=0.905,$$

拒绝域为

$$\{W\le 0.905\},$$

由于样本观测值没有落入拒绝域内，故在显著性水平 $\alpha =0.05$ 下不拒绝原假设，即可以认为这批数据服从正态分布。

习题 7.5-2

抽查克矽平治疗矽肺患者 $10$ 名，得到他们治疗前后的血红蛋白量之差如下：

$$2.7,-1.2,-1.0,0,0.7,2.0,3.7,-0.6,0.8,-\mathrm{0.3.}$$

1. 作正态概率图，并作初步判断；
2. 请用 $W$ 检验方法检验治疗前后的血红蛋白量之差是否服从正态分布（$\alpha =0.05$）？

解 (1) 仿上题，首先将数据排序，得到

$$-1.2,-1.0,-0.6,-0.3,0,0.7,0.8,2.0,2.7,3.7,$$

对每一个 $i$，计算修正频率

$$\frac{i-0.375}{10+0.25},i=1,2,\cdots ,10.$$

结果见表：

$$\begin{array}{ccc}i& x_{(i)}& \frac{i-0.375}{10+0.25}\\ 1& -1.2& 0.0610\\ 2& -1.0& 0.1585\\ 3& -0.6& 0.2561\\ 4& -0.3& 0.3537\\ 5& 0& 0.4512\\ 6& 0.7& 0.5488\\ 7& 0.8& 0.6463\\ 8& 2.0& 0.7439\\ 9& 2.7& 0.8415\\ 10& 3.7& 0.9390\end{array}$$

利用软件可得到正态概率图如下：

\FigureSevenSix

(2) $W$ 检验。由数据可算得

$$\bar{x}=0.68,\sum _{i=1}^{10}(x_{(i)}-\bar{x}{)}^2=24.376,$$

为计算方便，建立如下表格

$$\begin{array}{ccccc}k& x_{(k)}& x_{(n-k+1)}& d_k& a_k\\ 1& -1.2& 3.7& 4.9& 0.5739\\ 2& -1.0& 2.7& 3.7& 0.3291\\ 3& -0.6& 2.0& 2.6& 0.2141\\ 4& -0.3& 0.8& 1.1& 0.1224\\ 5& 0.0& 0.7& 0.7& 0.0399\end{array}$$

从上表中可计算出 $W$ 的值：

$$W=\frac{(0.5739\times 4.9+0.3291\times 3.7+0.2141\times 2.6+0.1224\times 1.1+0.0399\times 0.7{)}^2}{24.376}=\mathrm{0.9252.}$$

当 $n=10$ 时，查表知

$$W_{0.05}=0.842,$$

拒绝域为

$$\{W\le 0.842\},$$

由于样本观测值没有落入拒绝域内，故在显著性水平 $\alpha =0.05$ 下不拒绝原假设，即可以认为治疗前后的血红蛋白量之差服从正态分布。

习题 7.5-3

某种岩石中的一种元素的含量在 $25$ 个样本中为

$$0.32,0.25,0.29,0.25,0.28,0.30,0.23,0.23,0.40,0.32,0.35,$$ $$0.19,0.34,0.33,0.33,0.28,0.28,0.22,0.30,0.24,0.35,0.24,$$ $$0.30,0.23,\mathrm{0.22.}$$

有专家认为该样本来自对数正态分布总体，试设法用 $W$ 检验方法作检验（$\alpha =0.05$）。

解 首先应对数据进行对数变换。记 $y=\ln x$，则 $25$ 个 $y$ 的观测值可算出，我们把它列在下表中，由此可算得

$$\bar{y}=-1.28,\sum _{i=1}^{25}(y_{(i)}-\bar{y}{)}^2=0.8246,$$

为计算方便，建立如下表格

$$\begin{array}{cccccccccc}k& y_{(k)}& y_{(n-k+1)}& d_k& a_k& k& y_{(k)}& y_{(n-k+1)}& d_k& a_k\\ 1& -1.66& -0.92& 0.74& 0.4450& 7& -1.43& -1.14& 0.29& 0.1283\\ 2& -1.51& -1.05& 0.46& 0.3069& 8& -1.43& -1.14& 0.29& 0.1046\\ 3& -1.51& -1.05& 0.46& 0.2543& 9& -1.39& -1.20& 0.19& 0.0823\\ 4& -1.47& -1.08& 0.39& 0.2148& 10& -1.39& -1.20& 0.19& 0.0610\\ 5& -1.47& -1.11& 0.36& 0.1822& 11& -1.27& -1.20& 0.07& 0.0403\\ 6& -1.47& -1.11& 0.36& 0.1539& 12& -1.27& -1.24& 0.03& 0.0200\end{array}$$

从上表中可计算出 $W$ 的值为

$$W=\frac{(0.4450\times 0.74+0.3069\times 0.46+\cdots +0.0200\times 0.03{)}^2}{0.8246}=\mathrm{0.9615.}$$

当 $n=25$ 时，查表知

$$W_{0.05}=0.918,$$

拒绝域为

$$\{W\le 0.918\},$$

由于样本观测值没有落入拒绝域内，故在显著性水平 $\alpha =0.05$ 下不拒绝原假设，即可以认为样本来自对数正态分布。

习题 7.5-4

对第 $3$ 题的数据，试用 EP 检验方法检验这些数据是否来自正态总体（取 $\alpha =0.05$）。

解 该问题可按计算 $T_{\mathrm{EP}}$ 的框图用任一种软件编程计算，这里用 SAS 软件编程算得

$$T_{\mathrm{EP}}=\mathrm{0.0831.}$$

若取显著性水平 $\alpha =0.05$，在附表 $11$ 中通过线性插值得到 $n=25$ 时的 $0.95$ 分位数约为

$$0.368+\frac{0.371-0.368}{30-20}\times (25-20)=\mathrm{0.3695.}$$

计算得到的 $T_{\mathrm{EP}}$ 小于该临界值。因此在显著性水平 $0.05$ 下接受这些数据是来自正态总体的。