§5.2 样本数据的整理与显示

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§5.2 样本数据的整理与显示

1. 经验分布函数 若将样本观测值 $x_1,x_2,\dots ,x_n$ 由小到大进行排列，得有序样本

$$x_{(1)}\le x_{(2)}\le \cdots \le x_{(n)},$$

用有序样本定义如下函数

$$F_n(x)=\{\begin{array}{ll}0,& x<x_{(1)},\\ k/n,& x_{(k)}\le x<x_{(k+1)},k=1,2,\dots ,n-1,\\ 1,& x\ge x_{(n)},\end{array}$$

则称 $F_n(x)$ 为该样本的经验分布函数。

格利文科定理 设 $x_1,x_2,\dots ,x_n$ 是取自总体分布函数为 $F(x)$ 的样本，$F_n(x)$ 是该样本的经验分布函数，则当 $n\to \infty$ 时，有

$$P\left(\underset{-\infty <x<\infty }{\sup }|F_n(x)-F(x)|\to 0\right)=1.$$

此定理表明：当 $n$ 相当大时，经验分布函数 $F_n(x)$ 是总体分布函数 $F(x)$ 的一个良好的近似。它是经典统计学的一块基石。

2. 频数频率表 由样本数据 $x_1,x_2,\dots ,x_n$ 制作频数频率表的操作步骤如下：

1. 确定组数 $k$；
2. 确定每组组距，通常取每组组距相等为 $d$；
3. 确定每组组限；
4. 统计样本数据落入每个区间的频数，并计算频率。

综合上述，列表表中，即得该样本的频数频率表。该表就是一个分组样本，它能简明扼要地把样本特点表达出来。不足之处是该表依赖于分组，不同的分组方式有不同的频数频率表。

3. 样本数据的图形表示

（1）直方图

1. 利用频数频率分布表上的区间（横坐标）和频数（纵坐标）可作出频数直方图；
2. 若把纵坐标改为频率就得频率直方图；
3. 若把纵坐标改为频率$/$组距，就得到单位频率直方图。这时长条矩形的面积之和为 $1$。

此三种直方图的差别仅在纵坐标的设置上，直方图图形本身并无变化。

（2）茎叶图

把样本中的每个数据分为茎与叶，把茎放于一侧，叶放于另一侧，就得到一张该样本的茎叶图。比较两个样本时，可画出背靠背的茎叶图。

茎叶图保留数据中全部信息。当样本量较大，数据很分散，横跨二、三个数量级时，茎叶图并不适用。

习题与解答 5.2

习题 5.2-1

以下是某工厂通过抽样调查得到的 $10$ 名工人一周内生产的产品数：

$$149,156,160,138,149,153,153,169,156,156.$$

试由这批数据构造经验分布函数并作图。

解 此样本容量为 $10$，经排序可得有序样本：

$$x_{(1)}=138,x_{(2)}=x_{(3)}=149,x_{(4)}=x_{(5)}=153,$$ $$x_{(6)}=x_{(7)}=x_{(8)}=156,x_{(9)}=160,x_{(10)}=169,$$

其经验分布函数

$$F_n(x)=\{\begin{array}{ll}0,& x<138,\\ 0.1,& 138\le x<149,\\ 0.3,& 149\le x<153,\\ 0.5,& 153\le x<156,\\ 0.8,& 156\le x<160,\\ 0.9,& 160\le x<169,\\ 1,& x\ge 169.\end{array}$$

\FigureFiveOne

习题 5.2-2

下表是经过整理后得到的分组样本：

$$\begin{array}{cccccc}\text{组序}& 1& 2& 3& 4& 5\\ \text{分组区间}& (38,48]& (48,58]& (58,68]& (68,78]& (78,88]\\ \text{频数}& 3& 4& 8& 3& 2\end{array}$$

试写出此分组样本的经验分布函数。

解 样本的经验分布函数为

$$F_n(x)=\{\begin{array}{ll}0,& x<38,\\ 0.15,& 38\le x<48,\\ 0.35,& 48\le x<58,\\ 0.75,& 58\le x<68,\\ 0.9,& 68\le x<78,\\ 1,& x\ge 78.\end{array}$$

习题 5.2-3

假若某地区 $30$ 名 $2018$ 年某专业毕业生实习期满后的月薪数据如下：

$$\begin{array}{cccccc}9090& 10860& 11200& 9990& 13200& 10910\\ 10710& 10810& 11300& 13360& 9670& 15720\\ 8250& 9140& 9920& 12320& 9500& 7750\\ 12030& 10250& 10960& 8080& 12240& 10440\\ 8710& 11640& 9710& 9500& 8660& 7380\end{array}$$

1. 构造该批数据的频数分布表（分 $6$ 组）；
2. 画出直方图。

解 此处数据最大观察值为 $15720$，最小观察值为 $7380$，故组距近似为

$$d=\frac{15720-7380}{6}\approx 1390,$$

取 $d=1400$，确定每组区间端点为 $a_0,a_0+d=a_1,a_0+2d=a_2,\dots ,a_0+kd=a_k$，此处可取 $a_0=7350$，于是分组区间为

$$(7350,8750],(8750,10150],(10150,11550],(11550,12950],(12950,14350],(14350,15750].$$

其频数频率表如下：

$$\begin{array}{cccccc}\text{组序}& \text{分组区间}& \text{组中值}& \text{频数}& \text{频率}& \text{累计频率}/\%\\ 1& (7350,8750]& 8050& 6& 0.20& 20\\ 2& (8750,10150]& 9450& 8& 0.27& 47\\ 3& (10150,11550]& 10850& 9& 0.30& 77\\ 4& (11550,12950]& 12250& 4& 0.13& 90\\ 5& (12950,14350]& 13650& 2& 0.07& 97\\ 6& (14350,15750]& 15050& 1& 0.03& 100\\ \text{合计}& & & 30& 1& \end{array}$$

\FigureFiveTwo

习题 5.2-4

某公司对其 $250$ 名职工上班所需时间（单位：min）进行了调查，下面是不完整的频率分布表：

$$\begin{array}{cc}\text{所需时间}& \text{频率}\\ 0\sim 10& 0.10\\ 10\sim 20& 0.24\\ 20\sim 30& \\ 30\sim 40& 0.18\\ 40\sim 50& 0.14\end{array}$$

1. 试将频率分布表补充完整；
2. 该公司上班所需时间在半小时以内有多少人？

解

1. 由于频率和为 $1$，故空缺的频率为

$$1-0.1-0.24-0.18-0.14=\mathrm{0.34.}$$

1. 该公司上班所需时间在半小时以内的人所占频率为

$$0.1+0.24+0.34=0.68,$$

该公司有职工 $250$ 人，故该公司上班所需时间在半小时以内的人有

$$250\times 0.68=170\text{人}.$$

习题 5.2-5

$40$ 种刊物的月发行量（单位：百册）如下：

$$\begin{array}{cccccccc}5954& 5022& 14667& 6582& 6870& 1840& 2662& 4508\\ 1208& 3852& 618& 3008& 1268& 1978& 7963& 2048\\ 3077& 993& 353& 14263& 1714& 11127& 6926& 2047\\ 714& 5923& 6006& 14267& 1697& 13876& 4001& 2280\\ 1223& 12579& 13588& 7315& 4538& 13304& 1615& 8612\end{array}$$

1. 建立该批数据的频数分布表，取组距为 $1700$（百册）；
2. 画出直方图。

解 此处数据最大观察值为 $14667$，最小观察值为 $353$，由于组距为 $1700$，故组数为

$$k\ge \frac{14667-353}{1700}=8.42,$$

所以分 $9$ 组。接下来确定每组区间端点，要求

$$a_0<353,a_0+9\times 1700>14667.$$

此处可取 $a_0=300$，于是可列出其频数频率表：

$$\begin{array}{cccccc}\text{组序}& \text{分组区间}& \text{组中值}& \text{频数}& \text{频率}& \text{累计频率}/\%\\ 1& (300,2000]& 1150& 12& 0.3& 30\\ 2& (2000,3700]& 2850& 6& 0.15& 45\\ 3& (3700,5400]& 4550& 5& 0.125& 57.5\\ 4& (5400,7100]& 6250& 6& 0.15& 72.5\\ 5& (7100,8800]& 7950& 3& 0.075& 80\\ 6& (8800,10500]& 9650& 0& 0& 80\\ 7& (10500,12200]& 11350& 1& 0.025& 82.5\\ 8& (12200,13900]& 13050& 4& 0.1& 92.5\\ 9& (13900,15600]& 14750& 3& 0.075& 100\\ \text{合计}& & & 40& 1& \end{array}$$

\FigureFiveThree

习题 5.2-6

对下列数据构造茎叶图

$$\begin{array}{cccccccc}472& 425& 447& 377& 341& 369& 412& 399\\ 400& 382& 366& 425& 399& 398& 423& 384\\ 418& 392& 372& 418& 374& 385& 439& 408\\ 429& 428& 430& 413& 405& 381& 403& 479\\ 381& 443& 441& 433& 399& 379& 386& 387\end{array}$$

解 取百位数与十位数组成茎，个位数为叶，这组数据的茎叶图如下：

$$\begin{array}{rl}34& 1\\ 35& \\ 36& 69\\ 37& 2479\\ 38& 1124567\\ 39& 28999\\ 40& 0358\\ 41& 2388\\ 42& 35589\\ 43& 039\\ 44& 137\\ 45& \\ 46& \\ 47& 29\end{array}$$

习题 5.2-7

根据调查，某集团公司的中层管理人员的年薪（单位：万元）数据如下：

$$\begin{array}{ccccc}40.6& 39.6& 37.8& 36.2& 38.8\\ 38.6& 39.6& 40.0& 34.7& 41.7\\ 38.9& 37.9& 37.0& 35.1& 36.7\\ 37.1& 37.7& 39.2& 36.9& 38.3\end{array}$$

试画出茎叶图。

解 取整数部分为茎，小数部分为叶，这组数据的茎叶图如下：

$$\begin{array}{rl}34& 7\\ 35& 1\\ 36& 279\\ 37& 01789\\ 38& 3689\\ 39& 266\\ 40& 06\\ 41& 7\end{array}$$

补充习题及解答

补充习题 8

设总体 $X$ 的分布函数为 $F(x)$，经验分布函数为 $F_n(x)$，试证

$$E[F_n(x)]=F(x),\mathrm{Var}[F_n(x)]=\frac{1}{n}F(x)[1-F(x)].$$

解 设 $x_1,x_2,\dots ,x_n$ 是取自总体分布函数为 $F(x)$ 的样本，则经验分布函数为

$$F_n(x)=\{\begin{array}{ll}0,& \text{当 }x<x_{(1)},\\ k/n,& \text{当 }{x}_{(k)}\le x<x_{(k+1)},k=1,2,\dots ,n-1,\\ 1,& \text{当 }x\ge x_{(n)}.\end{array}$$

若令

$$y_i=I_{\{x_i\le x\}},i=1,2,\dots ,n,$$

则 $y_1,y_2,\dots ,y_n$ 是独立同分布的随机变量，且

$$E(y_1)=P(X_1\le x)=F(x),E(y_1^2)=P(X_1\le x)=F(x),$$

于是

$$\mathrm{Var}(y_1)=F(x)-[F(x){]}^2=F(x)[1-F(x)].$$

又 $F_n(x)$ 可写为

$$F_n(x)=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{y}_i,$$

故有

$$E[F_n(x)]=E(y_1)=F(x),\mathrm{Var}[F_n(x)]=\frac{1}{n}\mathrm{Var}(y_1)=\frac{1}{n}F(x)[1-F(x)].$$