§5.1 总体与样本

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§5.1 总体与样本

1. 总体 在一个统计问题中，研究对象的全体称为总体，构成总体的每个成员称为个体。

若关心的是总体中每个个体的一个数量指标，则该总体称为一维总体，总体就是一个一维分布。

若关心的是总体中的每个个体的两个数量指标，则该总体称为二维总体，二维总体就是一个二维分布。以此类推。

2. 有限总体与无限总体 若总体中的个体数是有限的，此总体称为有限总体。若总体中的个体数是无限的，此总体称为无限总体。

实际中总体中的个体数大多是有限的。当个体数充分大时，将有限总体看作无限总体是一种合理的抽象。

3. 样本 从总体中随机抽取的部分个体组成的集合称为样本，样本中的个体称为样品，样品个数称为样本容量或样本量。

样本常用 $n$ 个指标值 $x_1,x_2,\dots ,x_n$ 表示。样本具有二重性：它可看作 $n$ 个随机变量，又可看作其观察值，这可由上下文加以区别。

4. 分组样本 只知样本观测值所在区间，而不知具体值的样本称为分组样本。

缺点：与完全样本相比损失部分信息。

优点：在样本量较大时，用分组样本既简明扼要，又能帮助人们更好地认识总体。

5. 简单随机样本 若样本 $x_1,x_2,\dots ,x_n$ 是 $n$ 个相互独立的、具有同一分布（总体分布）的随机变量，则称该样本为简单随机样本，仍简称样本。

若总体的分布函数为 $F(x)$，则其样本的（联合）分布函数为

$$\prod _{i=1}^{n}F(x_i);$$

若总体的密度函数为 $p(x)$，则其样本的（联合）密度函数为

$$\prod _{i=1}^{n}p(x_i);$$

若总体的分布列为 $\{p(x_i)\}$，则其样本的（联合）分布列为

$$\prod _{i=1}^{n}p(x_i).$$

习题与解答 5.1

习题 5.1-1

某地电视台想了解某电视栏目（如：每晚九点至九点半的体育节目）在该地区的收视率情况，于是委托一家市场咨询公司进行一次电话访查。

1. 该项研究的总体是什么？
2. 该项研究的样本是什么？

解

1. 该项研究的总体是该地区全体电视观众；
2. 该项研究的样本是该地区被电话访查的电视观众。

习题 5.1-2

某市要调查成年男子的吸烟率，特聘请 $50$ 名统计专业本科生作街头随机调查，要求每位学生调查 $100$ 名成年男子，问该项调查的总体和样本分别是什么，总体用什么分布描述为宜？

解

1. 总体是该市所有成年男子（的吸烟情况）；
2. 样本是被调查的 $5000$ 名成年男子（的吸烟情况）；
3. 总体分布为二点分布 $b(1,p)$，其中 $p$ 为该市成年男子的吸烟率。

习题 5.1-3

设某厂大量生产某种产品，其不合格品率 $p$ 未知，每 $m$ 件产品包装为一盒。为了检查产品的质量，任意抽取 $n$ 盒，查其中的不合格品数，试说明什么是总体，什么是样本，并指出样本的分布。

解 总体为该厂生产的每盒产品中的不合格品数；样本是任意抽取的 $n$ 盒中每盒产品的不合格品数。

样本中每盒产品中的不合格品数为 $x_1,x_2,\dots ,x_n$，因

$$x_i\sim b(m,p),i=1,2,\dots ,n,$$

所以样本 $(x_1,x_2,\dots ,x_n)$ 的分布为

$$\prod _{i=1}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{x_i}\right)p^{x_i}(1-p{)}^{m-x_i}=\left(\prod _{i=1}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{x_i}\right)\right)p^t(1-p{)}^{nm-t},$$

其中

$$t=x_1+x_2+\cdots +x_n.$$

习题 5.1-4

为估计鱼塘里有多少鱼，一位统计学家设计了一个方案如下：从鱼塘中打捞出一网鱼，计有 $n$ 条，涂上不会被水冲刷掉的红漆后放回，一天后再从鱼塘里打捞一网，发现共有 $m$ 条鱼，而涂有红漆的鱼则有 $k$ 条，能估计出鱼塘里大概有多少条鱼么？该问题的总体和样本又分别是什么呢？

解 直观上我们可以给出鱼数的估计，按照成比例的设想，我们应能估算出鱼塘里大概有 $nm/k$ 条鱼，这就是我们将在第六章介绍的频率替换的思想。该问题中总体为鱼塘里所有的鱼，而样本为一天后从鱼塘里打捞出的鱼，主要观测其是否有记号。

思考：如果要提高估计精度，可作何设想？

习题 5.1-5

某厂生产的电容器的使用寿命服从指数分布，为了了解其平均寿命，从中抽出 $n$ 件产品测其实际使用寿命，试说明什么是总体，什么是样本，并指出样本的分布。

解 总体是该厂生产的电容器的寿命全体，或者可以说总体是指数分布，其分布为 $Exp(\lambda )$；

样本是该厂中抽出的 $n$ 个电容器的寿命；

记第 $i$ 个电容器的寿命为 $x_i$，则

$$x_i\sim Exp(\lambda ),i=1,2,\dots ,n,$$

样本 $(x_1,x_2,\dots ,x_n)$ 的分布为

$$\prod _{i=1}^n\lambda e^{-\lambda x_i}={\lambda }^n{e}^{-\lambda t},$$

其中

$$t=x_1+x_2+\cdots +x_n.$$

习题 5.1-6

美国某高校根据毕业生返校情况记录，宣布该校毕业生的年平均工资为 $5$ 万美元，你对此有何评论？

解 毕业生返校记录是全体毕业生中的一个特殊群体（子总体）的一个样本，它只能反映该子总体的特征，不能反映全体毕业生的状况，故此说法有失偏颇。

补充习题及解答

补充习题 7

设有 $N$ 个产品，其中有 $M$ 个不合格品。进行放回抽样，定义 $x_i$ 如下：

$$x_i=\{\begin{array}{ll}1,& \text{第 i 次取得不合格品},\\ 0,& \text{第 i 次取得合格品}.\end{array}$$

求样本 $x_1,x_2,\dots ,x_n$ 的联合分布。

解 总体的分布列为

$$P(X=1)=\frac{M}{N},P(X=0)=1-\frac{M}{N},$$

也可以写成

$$P(X=x)={\left(\frac{M}{N}\right)}^x{\left(1-\frac{M}{N}\right)}^{1-x},x=0,1.$$

因此样本 $x_1,x_2,\dots ,x_n$ 的联合分布列为

$$P(x_1,x_2,\dots ,x_n)=\prod _{i=1}^n{\left(\frac{M}{N}\right)}^{x_i}{\left(1-\frac{M}{N}\right)}^{1-x_i}={\left(\frac{M}{N}\right)}^t{\left(1-\frac{M}{N}\right)}^{n-t},$$

其中 $x_i=0,1$，

$$t=x_1+x_2+\cdots +x_n.$$

补充习题 8

设离散总体的分布列为

$$P(X=k)=\frac{1}{N},k=1,2,\dots ,N.$$

现进行不放回抽样，$x_1,x_2,\dots ,x_n$ 为样本，

$$\overline{x}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{x}_i$$

为样本均值，求 $E(\overline{x})$ 与 $\mathrm{Var}(\overline{x})$（表示成 $N$ 的函数）。

解 由于 $N$ 有限，抽样是不放回的，所以样本 $x_1,x_2,\dots ,x_n$ 中诸 $x_i$ 的分布列与总体的分布列相同，但诸 $x_i$ 间不相互独立，即此样本不是简单随机样本。以下我们先求诸 $x_i$ 的期望、方差与协方差：

$$E(x_i)=\sum _{k=1}^N\frac{k}{N}=\frac{1}{N}\cdot \frac{N(N+1)}{2}=\frac{N+1}{2},i=1,2,\dots ,n,$$ $$\mathrm{Var}(x_i)=E(x_i^2)-[E(x_i){]}^2=\sum _{k=1}^N\frac{k^2}{N}-{\left(\frac{N+1}{2}\right)}^2=\frac{N^2-1}{12},i=1,2,\dots ,n,$$ $$\mathrm{Cov}(x_i,x_j)=E(x_i{x}_j)-E(x_i)E(x_j)=\frac{1}{N(N-1)}\sum _{k\ne l}kl-{\left(\frac{N+1}{2}\right)}^2,$$

其中

$$\sum _{k\ne l}kl={\left(\sum _{k=1}^{N}k\right)}^2-\sum _{k=1}^N{k}^2=\frac{N^2(N+1{)}^2}{4}-\frac{N(N+1)(2N+1)}{6}$$ $$=\frac{N}{12}(N+1)(N-1)(3N+2).$$

代回原协方差表达式，可得

$$\mathrm{Cov}(x_i,x_j)=\frac{N(N+1)(N-1)(3N+2)}{12N(N-1)}-\frac{(N+1{)}^2}{4}=-\frac{N+1}{12},$$

其中 $i\ne j$ 且 $i,j=1,2,\dots ,n$。

由此可得样本均值 $\overline{x}$ 的期望与方差

$$E(\overline{x})=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^{n}E(x_i)=\frac{N+1}{2},$$ $$\mathrm{Var}(\overline{x})=\frac{1}{n^2}\left[\sum _{i=1}^n\mathrm{Var}(x_i)+\sum _{i\ne j}\mathrm{Cov}(x_i,x_j)\right]$$ $$=\frac{1}{n^2}\left[\frac{n(N^2-1)}{12}-n(n-1)\cdot \frac{N+1}{12}\right]=\frac{1}{12n}(N+1)(N-n).$$