§4.4 中心极限定理

依赖于

• 无显式依赖

被以下题目直接调用

• 无

正文部分

§4.4 中心极限定理

1. 中心极限定理 研究独立随机变量和的极限分布在什么条件下为正态分布的问题。

2. 林德伯格-莱维中心极限定理 设 $\{X_n\}$ 是独立同分布的随机变量序列，且 $E(X_i)=\mu ,\text{Var}(X_i)={\sigma }^2>0$。记

$$Y_n^{\ast }=\frac{X_1+X_2+\cdots +X_n-n\mu }{\sigma \sqrt{n}},$$

则对任意实数 $y$，有

$$\underset{n\to \infty }{\lim }P(Y_n^{\ast }\le y)=\Phi (y)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\infty }^y{e}^{-t^2/2}dt.$$

3. 二项分布的正态近似

**（1）**棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理 设 $n$ 重伯努利试验中，事件 $A$ 在每次试验中出现的概率为 $p(0<p<1)$，记 $S_n$ 为 $n$ 次试验中事件 $A$ 出现的次数，且记

$$Y_n^{\ast }=\frac{S_n-np}{\sqrt{np(1-p)}}.$$

则对任意实数 $y$，有

$$\underset{n\to \infty }{\lim }P(Y_n^{\ast }\le y)=\Phi (y)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\infty }^y{e}^{-t^2/2}dt.$$

**（2）**近似中的修正 因为二项分布是离散分布，而正态分布是连续分布，所以用正态分布作为二项分布的近似计算中，作些修正可以提高精度。若 $k_1<k_2$ 均为整数，一般先作如下修正后再用正态近似

$$P(k_1\le S_n\le k_2)=P(k_1-0.5<S_n<k_2+0.5)$$ $$=\Phi \left(\frac{k_2+0.5-np}{\sqrt{np(1-p)}}\right)-\Phi \left(\frac{k_1-0.5-np}{\sqrt{np(1-p)}}\right).$$

4. 三类近似计算问题 若记 $\beta =\Phi (y)$，则由棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理给出的近似式

$$P(Y_n^{\ast }\le y)\approx \Phi (y)=\beta$$

可用来解决三类计算问题：

1. 已知 $n,y$ 求 $\beta$（求概率）；
2. 已知 $n,\beta$ 求 $y$（求分位数）；
3. 已知 $y,\beta$ 求 $n$（求样本量）。

5. 独立不同分布下的中心极限定理 设 $\{X_n\}$ 为独立随机变量序列，且 $E(X_i)={\mu }_i,\text{Var}(X_i)={\sigma }_i^2,i=1,2,\cdots$，记

$$Y_n=\sum _{i=1}^n{X}_i,B_n=\sqrt{\text{Var}(Y_n)}=\sqrt{{\sigma }_1^2+{\sigma }_2^2+\cdots +{\sigma }_n^2}.$$

**（1）**林德伯格条件 若诸 $X_i$ 为连续随机变量，其密度函数为 $p_i(x)$，对任意的 $\tau >0$，称

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{{\tau }^2{B}_n^2}\sum _{i=1}^n{\int }_{|x-{\mu }_i|>\tau B_n}(x-{\mu }_i{)}^2{p}_i(x)dx=0$$

为林德伯格条件。

**（2）**林德伯格中心极限定理 设独立随机变量序列 $\{X_n\}$ 满足林德伯格条件，则对任意的 $x$，有

$$\underset{n\to \infty }{\lim }P\left(\frac{1}{B_n}\sum _{i=1}^n(X_i-{\mu }_i)\le x\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\infty }^x{e}^{-t^2/2}dt.$$

**（3）**假如独立随机变量序列 $\{X_n\}$ 具有同分布和方差有限的条件，则必定满足林德伯格条件，即林德伯格-莱维中心极限定理是林德伯格中心极限定理的特例。

**（4）**李雅普诺夫中心极限定理 设 $\{X_n\}$ 为独立随机变量序列，若存在 $\delta >0$，满足

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{B_n^{2+\delta }}\sum _{i=1}^{n}E(|X_i-{\mu }_i{|}^{2+\delta })=0,$$

则对任意的 $x$，有

$$\underset{n\to \infty }{\lim }P\left[\frac{1}{B_n}\sum _{i=1}^n(X_i-{\mu }_i)\le x\right]=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\infty }^x{e}^{-t^2/2}dt.$$

习题与解答 4.4

习题 4.4-1

某保险公司多年的统计资料表明，在索赔户中被盗索赔户占 $20\%$，以 $X$ 表示在随意抽查的 $100$ 个索赔户中因被盗向保险公司索赔的户数。

1. 写出 $X$ 的分布列；
2. 求被盗索赔户不少于 $14$ 户且不多于 $30$ 户的概率的近似值。

解 （1）$X$ 服从 $n=100,p=0.2$ 的二项分布 $b(100,0.2)$，即

$$P(X=k)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{100}{k}\right)0.2^{k}0.8^{100-k},k=0,1,2,\cdots ,100.$$

**（2）**利用棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理，有

$$\begin{array}{rl}P(14\le X\le 30)& =P(13.5<X<30.5)\\ & \approx \Phi \left(\frac{30.5-100\times 0.2}{\sqrt{100\times 0.2\times 0.8}}\right)-\Phi \left(\frac{13.5-100\times 0.2}{\sqrt{100\times 0.2\times 0.8}}\right)\\ & =\Phi (2.625)-\Phi (-1.625)\\ & =\Phi (2.625)-1+\Phi (1.625)\\ & =0.99565-1+0.948=\mathrm{0.9437.}\end{array}$$

这表明：被盗索赔户在 $14$ 与 $30$ 户之间的概率近似为 $0.9437$。

习题 4.4-2

某电子计算机主机有 $100$ 个终端，每个终端有 $80\%$ 的时间被使用。若各个终端是否被使用是相互独立的，试求至少有 $15$ 个终端空闲的概率。

解 记 $X$ 为 $100$ 个终端中被使用的终端个数，则

$$X\sim b(100,0.8).$$

利用棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理，所求概率为

$$P(X\le 85)=P(X<85.5)\approx \Phi \left(\frac{85.5-100\times 0.8}{\sqrt{100\times 0.8\times 0.2}}\right)=\Phi (1.375)=\mathrm{0.9155.}$$

这表明至少有 $15$ 个终端空闲的概率近似为 $0.9155$。

习题 4.4-3

有一批建筑房屋用的木柱，其中 $80\%$ 的长度不小于 $3\text{ m}$，现从这批木柱中随机地取出 $100$ 根，问其中至少有 $30$ 根短于 $3\text{ m}$ 的概率是多少？

解 记 $X$ 为 $100$ 根木柱中长度不小于 $3\text{ m}$ 的根数，则

$$X\sim b(100,0.8).$$

利用棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理，所求概率为

$$P(X\le 70)=P(X<70.5)\approx \Phi \left(\frac{70.5-100\times 0.8}{\sqrt{100\times 0.8\times 0.2}}\right)=1-\Phi (2.375)=\mathrm{0.0088.}$$

习题 4.4-4

掷一颗骰子 $100$ 次，记第 $i$ 次掷出的点数为 $X_i,i=1,2,\cdots ,100$，点数之平均为

$$\overline{X}=\frac{1}{100}\sum _{i=1}^{100}{X}_i,$$

试求概率 $P(3\le \overline{X}\le 4)$。

解 由题意可得

$$E(X_i)=3.5,\text{Var}(X_i)=\frac{35}{12},E(\overline{X})=3.5,\text{Var}(\overline{X})=\frac{7}{240}.$$

利用林德伯格-莱维中心极限定理，可得

$$\begin{array}{rl}P(3\le \overline{X}\le 4)& \approx \Phi \left(\frac{4-3.5}{\sqrt{7/240}}\right)-\Phi \left(\frac{3-3.5}{\sqrt{7/240}}\right)\\ & =2\Phi (2.9277)-1=\mathrm{0.9966.}\end{array}$$

这表明：掷 $100$ 次骰子点数之平均在 $3$ 到 $4$ 之间的概率近似为 $0.9966$，很接近于 $1$。

习题 4.4-5

连续地掷一颗骰子 $80$ 次，求点数之和超过 $300$ 的概率。

解 记 $X_i$ 为第 $i$ 次投掷时出现的点数，$i=1,2,\cdots ,80$，则 $P(X_i=k)=1/6,k=1,2,3,4,5,6$，且

$$E(X_i)=\frac{7}{2},\text{Var}(X_i)=\frac{35}{12}.$$

由林德伯格-莱维中心极限定理，所求概率为

$$P\left(\sum _{i=1}^{80}{X}_i>300\right)\approx 1-\Phi \left(\frac{300-80\times 7/2}{\sqrt{80\times 35/12}}\right)=1-\Phi (1.309)=\mathrm{0.096.}$$

习题 4.4-6

有 $10$ 个灯泡，设每个灯泡的寿命服从指数分布，其平均寿命为 $60$ 天。每次用一个灯泡，当使用的灯泡坏了以后立即换上一个新的，求这些灯泡总共可使用 $450$ 天以上的概率。

解 记 $X_i$ 为第 $i$ 个灯泡的寿命（单位：天），$i=1,2,\cdots ,10$，则 $X_i\sim Exp(1/60)$，且

$$E(X_i)=60,\text{Var}(X_i)=60^2.$$

由林德伯格-莱维中心极限定理，所求概率为

$$P\left(\sum _{i=1}^{10}{X}_i>450\right)\approx 1-\Phi \left(\frac{450-60\times 10}{\sqrt{10\times 60^2}}\right)=\Phi (0.79)=\mathrm{0.7852.}$$

习题 4.4-7

设 $X_1,X_2,\cdots ,X_{48}$ 为独立同分布的随机变量，共同分布为 $U(0,5)$。其算术平均为

$$\overline{X}=\frac{1}{48}\sum _{i=1}^{48}{X}_i,$$

试求概率 $P(2\le \overline{X}\le 3)$。

解 由均匀分布 $U(0,5)$ 可算得

$$E(X_i)=2.5,\text{Var}(X_i)=\frac{25}{12},E(\overline{X})=2.5,\text{Var}(\overline{X})=\frac{25}{12\times 48}.$$

利用林德伯格-莱维中心极限定理，可得

$$P(2\le \overline{X}\le 3)\approx \Phi \left(\frac{3-2.5}{5/24}\right)-\Phi \left(\frac{2-2.5}{5/24}\right)=2\Phi (2.4)-1=\mathrm{0.9836.}$$

这表明：来自均匀分布 $U(0,5)$ 的 $48$ 个随机数的平均在 $2$ 到 $3$ 之间的概率近似为 $0.9836$，较接近于 $1$。

习题 4.4-8

某汽车销售点每天出售的汽车数服从参数为 $\lambda =2$ 的泊松分布。若一年 $365$ 天都经营汽车销售，且每天出售的汽车数是相互独立的，求一年中售出 $700$ 辆以上汽车的概率。

解 记 $X_i$ 为第 $i$ 天出售的汽车辆数，则

$$Y=X_1+X_2+\cdots +X_{365}$$

为一年的总销量。由

$$E(X_i)=\text{Var}(X_i)=2,$$

知

$$E(Y)=\text{Var}(Y)=365\times 2=730.$$

利用林德伯格-莱维中心极限定理，可得

$$P(Y>700)=1-P(Y\le 700)\approx 1-\Phi \left(\frac{700-730}{\sqrt{730}}\right)=1-\Phi (-1.11)=\mathrm{0.8665.}$$

这表明：该销售点一年售出 $700$ 辆以上汽车的概率近似为 $0.8665$。

习题 4.4-9

某餐厅每天接待 $400$ 名顾客，设每位顾客的消费额（单位：元）服从 $(20,100)$ 上的均匀分布，且顾客的消费额是相互独立的。试求：

1. 该餐厅每天的平均营业额；
2. 该餐厅每天的营业额在平均营业额 $\pm 760$ 元内的概率。

解 记 $X_i$ 为第 $i$ 位顾客的消费额，则

$$X_i\sim U(20,100),$$

所以

$$E(X_i)=60,\text{Var}(X_i)=\frac{1600}{3}.$$

而该餐厅每天的营业额为

$$Y=\sum _{i=1}^{400}{X}_i.$$

**（1）**该餐厅每天的平均营业额为

$$E(Y)=\sum _{i=1}^{400}E(X_i)=400\times 60=24000\text{（元）}.$$

**（2）**利用林德伯格-莱维中心极限定理，可得

$$P(-760<Y-24000<760)\approx 2\Phi \left(\frac{760}{\sqrt{400\times 1600/3}}\right)-1$$ $$=2\Phi (1.645)-1=\mathrm{0.90.}$$

这表明：该餐厅每天营业额在 $23240$ 到 $24760$ 元之间的概率近似为 $0.90$。

习题 4.4-10

一仪器同时收到 $50$ 个信号，其中第 $i$ 个信号的长度为 $U_i,i=1,2,\cdots ,50$。设 $U_i$ 是相互独立的，且都服从 $(0,10)$ 内的均匀分布，试求

$$P\left(\sum _{i=1}^{50}{U}_i>300\right).$$

解 因为

$$E(U_i)=5,\text{Var}(U_i)=\frac{25}{3}.$$

所以

$$E\left(\sum _{i=1}^{50}{U}_i\right)=250,\text{Var}\left(\sum _{i=1}^{50}{U}_i\right)=\frac{1250}{3}.$$

利用林德伯格-莱维中心极限定理，可得

$$P\left(\sum _{i=1}^{50}{U}_i>300\right)\approx 1-\Phi \left(\frac{300-250}{\sqrt{1250/3}}\right)=1-\Phi (2.45)$$ $$=1-0.9929=\mathrm{0.0071.}$$

这表明：$50$ 个信号长度之和超过 $300$ 的概率近似为 $0.0071$。

习题 4.4-11

计算机在进行加法运算时对每个加数取整数（取最为接近它的整数）。设所有的取整误差是相互独立的，且它们都服从 $(-0.5,0.5)$ 上的均匀分布。

1. 若将 $1500$ 个数相加，求误差总和的绝对值超过 $15$ 的概率；
2. 最多几个数加在一起可使得误差总和的绝对值小于 $10$ 的概率不小于 $90\%$。

解 记 $X_i$ 为第 $i$ 个加数的取整误差，则

$$X_i\sim U(-0.5,0.5),E(X_i)=0,\text{Var}(X_i)=\frac{1}{12}.$$

**（1）**由

$$E\left(\sum _{i=1}^{1500}{X}_i\right)=0,\text{Var}\left(\sum _{i=1}^{1500}{X}_i\right)=\frac{1500}{12}=125,$$

得所求概率为

$$P\left(\left|\sum _{i=1}^{1500}{X}_i\right|>15\right)\approx 2-2\Phi \left(\frac{15}{\sqrt{125}}\right)=2-2\Phi (1.34)=\mathrm{0.1802.}$$

**（2）**由题意可列出概率不等式

$$P\left(\left|\sum _{i=1}^n{X}_i\right|<10\right)\ge 0.90,$$

利用林德伯格-莱维中心极限定理，可改写为

$$2\Phi \left(\frac{10}{\sqrt{n/12}}\right)-1\ge 0.90,\text{或}\Phi \left(\frac{20\sqrt{3}}{\sqrt{n}}\right)\ge \mathrm{0.95.}$$

查表得

$$\frac{20\sqrt{3}}{\sqrt{n}}\ge 1.645,\text{或}\sqrt{n}\le \frac{20\sqrt{3}}{1.645}.$$

由此得 $n\le 443.45$。这表明：至多 $443$ 个数相加，才能使它们的误差总和的绝对值小于 $10$ 的概率不小于 $90\%$。

习题 4.4-12

设各零件的质量都是随机变量，它们相互独立，且服从相同的分布，其数学期望为 $0.5\text{ kg}$，标准差为 $0.1\text{ kg}$，问 $5000$ 只零件的总质量超过 $2510\text{ kg}$ 的概率是多少？

解 记 $X_i$ 为第 $i$ 只零件的质量，由

$$E(X_i)=0.5,\sigma (X_i)=0.1,$$

得

$$E\left(\sum _{i=1}^{5000}{X}_i\right)=2500,\text{Var}\left(\sum _{i=1}^{5000}{X}_i\right)=50.$$

利用林德伯格-莱维中心极限定理，所求概率为

$$P\left(\sum _{i=1}^{5000}{X}_i>2510\right)\approx 1-\Phi \left(\frac{2510-2500}{\sqrt{50}}\right)=1-\Phi (1.414)=\mathrm{0.0787.}$$

这表明：$5000$ 只零件的总质量超过 $2510\text{ kg}$ 的概率近似为 $0.0787$。

习题 4.4-13

某种产品由 $20$ 个相同部件连接而成，每个部件的长度是均值为 $2\text{ mm}$、标准差为 $0.02\text{ mm}$ 的随机变量。假如这 $20$ 个部件的长度相互独立同分布，且规定产品总长为 $(40\pm 0.2)\text{ mm}$ 时为合格品，求该产品的不合格品率。

解 记 $X_i$ 为第 $i$ 个部件的长度，则

$$Y=X_1+X_2+\cdots +X_{20}$$

为总长度，且

$$E(X_i)=2,\sigma (X_i)=\mathrm{0.02.}$$

可用林德伯格-莱维中心极限定理近似得合格品率

$$P(39.8\le Y\le 40.2)\approx \Phi \left(\frac{0.2}{\sqrt{0.008}}\right)-\Phi \left(-\frac{0.2}{\sqrt{0.008}}\right)$$ $$=2\Phi (2.236)-1=\mathrm{0.9746.}$$

所以不合格品率为 $0.0254$。

习题 4.4-14

一个保险公司有 $10000$ 个汽车投保人，每个投保人平均索赔 $280$ 元，标准差为 $800$ 元。求总索赔额超过 $2700000$ 元的概率。

解 记 $X_i$ 为第 $i$ 个投保人的索赔额，$i=1,2,\cdots ,10000$，则

$$E(X_i)=280,\text{Var}(X_i)=800^2.$$

由林德伯格-莱维中心极限定理，所求概率为

$$P\left(\sum _{i=1}^{10000}{X}_i>2700000\right)\approx 1-\Phi \left(\frac{2700000-10000\times 280}{\sqrt{10000\times 800^2}}\right)$$ $$=1-\Phi (-1.25)=\Phi (1.25)=\mathrm{0.8944.}$$

习题 4.4-15

有两个班级同时上一门课，甲班有 $25$ 人，乙班有 $64$ 人。该门课程期末考试平均成绩为 $78$ 分，标准差为 $14$ 分。试问：甲班的平均成绩超过 $80$ 分的概率大，还是乙班的平均成绩超过 $80$ 分的概率大？

解 记 $X_i$ 为甲班第 $i$ 个学生的成绩，$i=1,2,\cdots ,25$；$Y_j$ 为乙班第 $j$ 个学生的成绩，$j=1,2,\cdots ,64$。因

$$E(X_i)=E(Y_j)=78,\text{Var}(X_i)=\text{Var}(Y_j)=14^2,$$

所以由林德伯格-莱维中心极限定理，甲班平均成绩超过 $80$ 分的概率为

$$P\left(\frac{1}{25}\sum _{i=1}^{25}{X}_i>80\right)\approx 1-\Phi \left(\frac{25\times 80-25\times 78}{\sqrt{25\times 14^2}}\right)$$ $$=1-\Phi \left(\frac{5}{7}\right)=\mathrm{0.2374.}$$

同理可计算乙班平均成绩超过 $80$ 分的概率为

$$P\left(\frac{1}{64}\sum _{j=1}^{64}{Y}_j>80\right)\approx 1-\Phi \left(\frac{64\times 80-64\times 78}{\sqrt{64\times 14^2}}\right)$$ $$=1-\Phi \left(\frac{8}{7}\right)=\mathrm{0.1261.}$$

所以甲班的平均成绩超过 $80$ 分的概率大。

习题 4.4-16

进行独立重复试验，每次试验中事件 $A$ 发生的概率为 $0.25$。试问能以 $95\%$ 的把握保证 $1000$ 次试验中事件 $A$ 发生的频率与概率差多少？此时 $A$ 发生的次数在什么范围内？

解 记 $Y_n$ 为 $1000$ 次试验中事件 $A$ 发生的次数，则

$$Y_n\sim b(1000,0.25),$$

且

$$E(Y_n)=250,\text{Var}(Y_n)=\mathrm{187.5.}$$

设事件 $A$ 发生的频率 $Y_n/1000$ 与概率 $0.25$ 的差为 $k$，根据题意，可得不等式

$$P\left(\left|\frac{Y_n}{1000}-0.25\right|\le k\right)\ge 0.95,$$

或

$$P(|Y_n-250|\le 1000k)\ge \mathrm{0.95.}$$

利用棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理和修正项可得

$$P\left(\left|\frac{Y_n-250}{\sqrt{187.5}}\right|\le \frac{1000k+0.5}{\sqrt{187.5}}\right)\ge 0.95,$$

即

$$2\Phi \left(\frac{1000k+0.5}{\sqrt{187.5}}\right)-1\ge \mathrm{0.95.}$$

由此得

$$\Phi \left(\frac{1000k+0.5}{\sqrt{187.5}}\right)\ge \mathrm{0.975.}$$

查表得

$$\frac{1000k+0.5}{\sqrt{187.5}}\ge \mathrm{1.96.}$$

从中解得 $k\ge 0.027$，这表明能以 $95\%$ 的把握保证在 $1000$ 次试验中事件 $A$ 发生的频率与概率相差不大于 $0.027$。或者说，在 $1000$ 次试验中事件 $A$ 发生的次数在 $(250\pm 27)$ 次间，即在 $223$ 次到 $277$ 次间。

习题 4.4-17

设某生产线上组装每件产品的时间服从指数分布，平均需要 $10\text{ min}$，且各件产品的组装时间是相互独立的。

1. 试求组装 $100$ 件产品需要 $15\text{ h}$ 至 $20\text{ h}$ 的概率；
2. 保证有 $95\%$ 的可能性，问 $16\text{ h}$ 内最多可以组装多少件产品？

解 记 $X_i$ 为组装第 $i$ 件产品的时间（单位：$\text{min}$），则

$$X_i\sim Exp(\lambda ),E(X_i)=1/\lambda =10,\text{Var}(X_i)=1/{\lambda }^2=100.$$

**（1）**根据题意所求概率如下，再用林德伯格-莱维中心极限定理可得

$$P\left(15\times 60\le \sum _{i=1}^{100}{X}_i\le 20\times 60\right)\approx \Phi \left(\frac{1200-100\times 10}{\sqrt{100\times 100}}\right)-\Phi \left(\frac{900-100\times 10}{\sqrt{100\times 100}}\right)$$ $$=\Phi (2)-\Phi (-1)=\Phi (2)+\Phi (1)-1=\mathrm{0.8185.}$$

**（2）**设 $16\text{ h}$ 内最多可以组装 $k$ 件产品。则根据题意可列出概率不等式

$$P\left(\sum _{i=1}^k{X}_i\le 16\times 60\right)\ge 0.95,$$

再用林德伯格-莱维中心极限定理可得

$$\Phi \left(\frac{960-10k}{\sqrt{100k}}\right)\ge \mathrm{0.95.}$$

由此查表得

$$\frac{960-10k}{10\sqrt{k}}\ge 1.645,$$

从中解得 $k=81$。

习题 4.4-18

某种彩票的奖金额 $X$ 由摇奖决定，其分布列为

$$\begin{array}{cccccccc}X/\text{万元}& 5& 10& 20& 30& 40& 50& 100\\ P& 0.2& 0.2& 0.2& 0.1& 0.1& 0.1& 0.1\end{array}$$

若一年中要开出 $300$ 个奖，问需要多少奖金总额，才有 $95\%$ 的把握能够发放奖金。

解 记 $X_i$ 为第 $i$ 次摇奖的奖金额，则可得

$$E(X_i)=29,\text{Var}(X_i)=764.$$

设奖金总额为 $k$（万元），根据题意可列出不等式

$$P\left(\sum _{i=1}^{300}{X}_i\le k\right)\ge 0.95,$$

再用林德伯格-莱维中心极限定理可得

$$\Phi \left(\frac{k-300\times 29}{\sqrt{300\times 764}}\right)\ge \mathrm{0.95.}$$

由此查表得

$$\frac{k-8700}{\sqrt{229200}}\ge 1.645,$$

从中解得

$$k\ge \mathrm{9487.54.}$$

取 $k=9488$（万元）即可。这表明：该种彩票一年开出 $300$ 个奖需要准备 $9488$ 万元，才有 $95\%$ 的把握够发放奖金。

习题 4.4-19

一家有 $500$ 间客房的大旅馆的每间客房装有一台 $2\text{ kW}$（千瓦）的空调机。若开房率为 $80\%$，需多少千瓦的电力才有 $99\%$ 的可能性保证有足够的电力供使用空调机？

解 记

$$X_i=\{\begin{array}{ll}1,& \text{第 i 间客房开房},\\ 0,& \text{第 i 间客房未开房},\end{array}$$

则 $X_i\sim b(1,0.8)$，由此得

$$Y=X_1+X_2+\cdots +X_{500}\sim b(500,0.8).$$

设共有 $k\text{kW}$ 的电力可供使用，根据题意可列不等式

$$P(2Y\le k)=P(Y\le k/2)\ge 0.99,$$

再用棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理和修正项可得

$$\Phi \left(\frac{k/2+0.5-500\times 0.8}{\sqrt{500\times 0.8\times 0.2}}\right)\ge 0.99,$$

或

$$\Phi \left(\frac{k-799}{8\sqrt{5}}\right)\ge 0.99,$$

由此查表得

$$\frac{k-799}{8\sqrt{5}}\ge 2.33,$$

从中解得 $k\ge 840.68$，取 $k=841\text{kW}$ 即可。这表明：该旅馆每天需要 $841\text{kW}$ 电力，才能以 $99\%$ 的把握保证空调机用电。

习题 4.4-20

设某元件是某电气设备的一个关键部件，当该元件失效后立即换上一个新的元件。假定该元件的平均寿命为 $100$ 小时，标准差为 $30$ 小时，试问：应该有多少备件，才能有 $0.95$ 以上的概率，保证这个系统能连续运行 $2000$ 小时以上？

解 记 $X_i$ 为第 $i$ 个元件的寿命，$i=1,2,\dots ,n$，则

$$E(X_i)=100,\mathrm{Var}(X_i)=30^2.$$

根据题意可列不等式

$$P\left(\sum _{i=1}^n{X}_i>2000\right)\ge 0.95,$$

再由林德伯格-莱维中心极限定理可得

$$\Phi \left(\frac{100n-2000}{\sqrt{n\times 30^2}}\right)\ge \mathrm{0.95.}$$

由此查表得

$$\frac{100n-2000}{\sqrt{n\times 30^2}}\ge 1.645,$$

从中解得 $n\ge 22.33$，所以取 $n=23$，即应有 $23$ 个此种元件，可有 $0.95$ 以上的概率保证这个系统能连续运行 $2000$ 小时以上。

习题 4.4-21

独立重复地对某物体的长度 $a$ 进行 $n$ 次测量，设各次测量结果 $X_i$ 服从正态分布 $N(a,0.2^2)$。记 $\overline{X}$ 为 $n$ 次测量结果的算术平均值，为保证有 $95\%$ 的把握使平均值与实际值 $a$ 的差异小于 $0.1$，问至少需要测量多少次？

解 因为

$$E(\overline{X})=a,\mathrm{Var}(\overline{X})=\frac{0.04}{n},$$

所以根据题意可列不等式

$$P(|\overline{X}-a|<0.1)\ge 0.95,$$

再用林德伯格-莱维中心极限定理可得

$$2\Phi \left(\frac{0.1}{\sqrt{0.04/n}}\right)-1\ge 0.95,$$

或

$$\Phi \left(\frac{\sqrt{n}}{2}\right)\ge \mathrm{0.975.}$$

由此查表得 $\sqrt{n}/2\ge 1.96$，从中解得 $n\ge 15.3664$，取 $n=16$ 即可以 $95\%$ 的把握使平均值与实际值 $a$ 的差异小于 $0.1$。

习题 4.4-22

某工厂每月生产 $10000$ 台液晶投影机，但它的液晶片车间生产液晶片合格品率为 $90\%$，为了以 $99.7\%$ 的可能性保证出厂的液晶投影机都能装上合格的液晶片，试问该液晶片车间每月至少应该生产多少片液晶片？

解 设每月至少应该生产 $n$ 片液晶片，其中合格品数记为 $X$，则有

$$X\sim b(n,0.90).$$

下求 $n$，使概率不等式

$$P(X\ge 10000)\ge 0.997,\text{或}P(X<10000)\le 0.003$$

成立。利用二项分布的正态近似，可得

$$\Phi \left(\frac{10000+0.5-0.9n}{\sqrt{0.9\times 0.1\times n}}\right)\le 0.003,$$

查表可得

$$\frac{10000.5-0.9n}{0.3\sqrt{n}}\le -2.75,$$

由此解得 $n\ge 11209$，即每月至少应该生产 $11209$ 片液晶片。

习题 4.4-23

某产品的合格品率为 $99\%$，问包装箱中应该装多少个此种产品，才能有 $95\%$ 的可能性使每箱中至少有 $100$ 个合格产品。

解 设包装箱中装有 $n$ 个产品，其中合格品数记为 $X$，则有

$$X\sim b(n,0.99).$$

下求 $n$，使

$$P(X\ge 100)\ge 0.95,\text{或}P(X<100)\le 0.05$$

成立。利用二项分布的正态近似，可得

$$\Phi \left(\frac{100+0.5-0.99n}{\sqrt{0.99\times 0.01\times n}}\right)\le 0.05,$$

查表可得

$$\frac{100.5-0.99n}{0.0995\sqrt{n}}\le -1.645,$$

由此解得 $n>103.19$，即每箱装有 $104$ 个产品，能有 $95\%$ 的可能性使每箱中至少有 $100$ 个合格产品。

习题 4.4-24

为确定某城市成年男子中吸烟者的比例 $p$，任意调查 $n$ 个成年男子，记其中的吸烟人数为 $m$，问 $n$ 至少为多大才能保证 $m/n$ 与 $p$ 的差异小于 $0.01$ 的概率大于 $95\%$。

解 因为

$$m\sim b(n,p),$$

所以

$$E(m/n)=p,\mathrm{Var}(m/n)=\frac{p(1-p)}{n}.$$

根据题意有

$$0.95<P\left(\left|\frac{m}{n}-p\right|<0.01\right)\approx 2\Phi \left(\frac{0.01\sqrt{n}}{\sqrt{p(1-p)}}\right)-1,$$

由此得

$$0.975<\Phi \left(\frac{0.01\sqrt{n}}{\sqrt{p(1-p)}}\right).$$

查表得

$$\frac{0.01\sqrt{n}}{\sqrt{p(1-p)}}\ge 1.96,\text{或}n\ge 196^2\times p(1-p).$$

因为 $p(1-p)\le 1/4$，所以当

$$n\ge \frac{196^2}{4}=9604$$

时，必可满足要求，因此至少抽 $9604$ 个成年男子，可使其吸烟频率 $m/n$ 与实际成年人中吸烟率 $p$ 的误差 $|m/n-p|$ 小于 $0.01$ 的概率大于 $95\%$。

习题 4.4-25

设 $X\sim Ga(n,1)$，试问 $n$ 应该多大，才能满足

$$P\left(\left|\frac{X}{n}-1\right|>0.1\right)<\mathrm{0.01.}$$

解 因为

$$E(X)=n,\mathrm{Var}(X)=n,$$

所以由中心极限定理得

$$P\left(\left|\frac{X}{n}-1\right|\le 0.1\right)\doteq 2\Phi (0.1\sqrt{n})-1\ge 0.99,$$

即

$$\Phi (0.1\sqrt{n})\ge \mathrm{0.995.}$$

查标准正态分布函数值表得

$$0.1\sqrt{n}\ge 2.575,$$

所以得 $n\ge 663.06$，取 $n=664$ 即可满足要求。

习题 4.4-26

设 $\{X_n\}$ 为一独立同分布的随机变量序列，已知 $E(X_i^k)={\alpha }_k,k=1,2,3,4$。试证明：当 $n$ 充分大时，

$$Y_n=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i^2$$

近似服从正态分布，并指出此正态分布的参数。

解 因为 $\{X_n\}$ 为独立同分布的随机变量序列，所以 $\{X_n^2\}$ 也是独立同分布的随机变量序列。根据林德伯格-莱维中心极限定理，

$$Y_n=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i^2$$

近似服从正态分布，其参数为

$$E(Y_n)=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^{n}E(X_i^2)={\alpha }_2,$$ $$\mathrm{Var}(Y_n)=\frac{1}{n^2}\sum _{i=1}^n\mathrm{Var}(X_i^2)=\frac{{\alpha }_4-{\alpha }_2^2}{n}.$$

习题 4.4-27

用概率论的方法证明：

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\left(1+n+\frac{n^2}{2!}+\cdots +\frac{n^n}{n!}\right)e^{-n}=\frac{1}{2}.$$

解 设 $\{X_n\}$ 为独立同分布的随机变量序列，其共同分布为参数 $\lambda =1$ 的泊松分布 $P(\lambda )$。故

$$E(X_n)=\mathrm{Var}(X_n)=1.$$

又由泊松分布的可加性知，

$$Y_n=\sum _{i=1}^n{X}_i$$

服从参数 $\lambda =n$ 的泊松分布。由林德伯格-莱维中心极限定理知

$$P\left(\frac{Y_n-n}{\sqrt{n}}\le 0\right)=P(Y_n\le n)=e^{-n}\sum _{k=0}^n\frac{n^k}{k!}\to \frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\infty }^0{e}^{-x^2/2}dx=\frac{1}{2}.$$