§3.4 多维随机变量的特征数

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§3.4 多维随机变量的特征数

1. 多维随机变量函数的数学期望 若二维随机变量 $(X,Y)$ 的分布用联合分布列

$$P(X=x_i,Y=y_j)$$

或用联合密度函数 $p(x,y)$ 表示，则

$$Z=g(X,Y)$$

的数学期望（假设存在）为

$$E(Z)=\{\begin{array}{ll}\sum _i\sum _{j}g(x_i,y_j)P(X=x_i,Y=y_j),& \text{在离散场合},\\ {\int }_{-\infty }^{\infty }{\int }_{-\infty }^{\infty }g(x,y)p(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y,& \text{在连续场合}.\end{array}$$

对 $n$ 维随机变量结论是类似的。

1. 数学期望与方差的运算性质 以下均假定有关的期望和方差存在。
2. $E(X_1+X_2+\cdots +X_n)=E(X_1)+E(X_2)+\cdots +E(X_n).$
3. 若随机变量 $X_1,X_2,\cdots ,X_n$ 相互独立，则

$$E(X_1{X}_2\cdots X_n)=E(X_1)E(X_2)\cdots E(X_n).$$ $$Var(X_1\pm X_2\pm \cdots \pm X_n)=Var(X_1)+Var(X_2)+\cdots +Var(X_n).$$

1. 协方差 若

$$E[(X-E(X))(Y-E(Y))]$$

存在，则称

$$Cov(X,Y)=E[(X-E(X))(Y-E(Y))]$$

为 $X$ 与 $Y$ 的协方差。

1. 当 $Cov(X,Y)>0$ 时，称 $X$ 与 $Y$ 正相关，即 $X$ 与 $Y$ 同时增加或同时减少；
2. 当 $Cov(X,Y)<0$ 时，称 $X$ 与 $Y$ 负相关，即 $X$ 增加 $Y$ 减少，或 $X$ 减少 $Y$ 增加；
3. 当 $Cov(X,Y)=0$ 时，称 $X$ 与 $Y$ 不相关。
4. 协方差的性质
5. $Cov(X,Y)=Cov(Y,X)$；
6. $Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y).$
7. 若 $X$ 与 $Y$ 相互独立，则 $Cov(X,Y)=0$，反之不然；
8. $Cov(X+Y,Z)=Cov(X,Z)+Cov(Y,Z).$
9. 对任意的常数 $a$，有 $Cov(X,a)=0$；
10. 对任意的常数 $a,b$，有

$$Cov(aX,bY)=abCov(X,Y).$$

1. 对任意二维随机变量 $(X,Y)$，有

$$Var(X\pm Y)=Var(X)+Var(Y)\pm 2Cov(X,Y).$$

对任意 $n$ 个随机变量 $X_1,X_2,\cdots ,X_n$，有

$$Var\left(\sum _{i=1}^n{X}_i\right)=\sum _{i=1}^{n}Var(X_i)+2\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^{i-1}Cov(X_i,X_j).$$

1. 施瓦茨不等式 对任意二维随机变量 $(X,Y)$，若 $X$ 与 $Y$ 的方差都存在，则有

$$[Cov(X,Y){]}^2\le Var(X)Var(Y).$$

1. 相关系数 设 $(X,Y)$ 是一个二维随机变量，且

$$Var(X)>0,Var(Y)>0.$$

则称

$$Corr(X,Y)=\frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{Var(X)}\sqrt{Var(Y)}}=\frac{Cov(X,Y)}{{\sigma }_X{\sigma }_Y}$$

为 $X$ 与 $Y$ 的（线性）相关系数。

1. 相关系数的性质
2. $-1\le Corr(X,Y)\le 1$；
3. $Corr(X,Y)$ 与 $Cov(X,Y)$ 同号，或同为零；
4. $Corr(X,Y)=Cov(X^{\ast },Y^{\ast }),$

其中 $X^{\ast },Y^{\ast }$ 分别为 $X,Y$ 的标准化随机变量。

1. $Corr(X,Y)=\pm 1$ 的充要条件是 $X$ 与 $Y$ 间几乎处处有线性关系，即存在 $a(a\ne 0)$ 与 $b$，使得

$$P(Y=aX+b)=1.$$

其中当 $Corr(X,Y)=1$ 时，有 $a>0$；当 $Corr(X,Y)=-1$ 时，有 $a<0$。

1. 在二维正态分布 $N({\mu }_1,{\mu }_2,{\sigma }_1^2,{\sigma }_2^2,\rho )$ 场合，不相关与独立是等价的。
2. 随机向量的数学期望与协方差阵 记 $n$ 维随机向量为

$$\mathbf{X}=(X_1,X_2,\cdots ,X_n{)}^{\mathrm{T}},$$

以下假设所涉及的数学期望、方差、协方差均存在。

1. 随机向量 $\mathbf{X}$ 的数学期望向量为

$$E(\mathbf{X})=(E(X_1),E(X_2),\cdots ,E(X_n){)}^{\mathrm{T}}.$$

1. 随机向量 $\mathbf{X}$ 的协方差阵为

$$E[(\mathbf{X}-E(\mathbf{X}))(\mathbf{X}-E(\mathbf{X}){)}^{\mathrm{T}}]=\left(\begin{array}{cccc}Var(X_1)& Cov(X_1,X_2)& \cdots & Cov(X_1,X_n)\\ Cov(X_2,X_1)& Var(X_2)& \cdots & Cov(X_2,X_n)\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ Cov(X_n,X_1)& Cov(X_n,X_2)& \cdots & Var(X_n)\end{array}\right).$$

也记以上的协方差阵为 $Cov(\mathbf{X})$，或记成 $\Sigma$。

1. 随机向量 $\mathbf{X}$ 的协方差阵

$$Cov(\mathbf{X})=(Cov(X_i,X_j){)}_{n\times n}$$

是一个对称的非负定矩阵。

1. $n$ 元正态分布 设 $n$ 维随机向量

$$\mathbf{X}=(X_1,X_2,\cdots ,X_n{)}^{\mathrm{T}}$$

的协方差阵为 $\Sigma =Cov(\mathbf{X})$，数学期望向量为

$$\mathbf{a}=(a_1,a_2,\cdots ,a_n{)}^{\mathrm{T}}.$$

又记

$$\mathbf{x}=(x_1,x_2,\cdots ,x_n{)}^{\mathrm{T}},$$

则由密度函数

$$p(x_1,x_2,\cdots ,x_n)=p(\mathbf{x})=\frac{1}{(2\pi {)}^{n/2}|\Sigma {|}^{1/2}}\exp \left\{-\frac{1}{2}(\mathbf{x}-\mathbf{a}{)}^{\mathrm{T}}{\Sigma }^{-1}(\mathbf{x}-\mathbf{a})\right\}$$

定义的分布称为 $n$ 元正态分布，记为

$$\mathbf{X}\sim N(\mathbf{a},\Sigma ).$$

习题与解答 3.4

习题 3.4-1

掷一颗均匀的骰子 $2$ 次，其最小点数记为 $X$，求 $E(X)$。

解 因为

$$\begin{array}{ccccccc}X& 1& 2& 3& 4& 5& 6\\ P& 11/36& 9/36& 7/36& 5/36& 3/36& 1/36\end{array}$$

所以

$$E(X)=\frac{91}{36}.$$

习题 3.4-2

求掷 $n$ 颗骰子出现点数之和的数学期望与方差。

解 记 $X_i$ 为第 $i$ 颗骰子出现的点数，$i=1,2,\cdots ,n$，则 $X_1,X_2,\cdots ,X_n$ 独立同分布，其共同的分布列为

$$\begin{array}{ccccccc}{X}_i& 1& 2& 3& 4& 5& 6\\ P& 1/6& 1/6& 1/6& 1/6& 1/6& 1/6\end{array}$$

所以

$$E(X_i)=\frac{1}{6}(1+2+3+4+5+6)=\frac{7}{2},$$ $$Var(X_i)=\frac{1}{6}(1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2)-\frac{49}{4}=\frac{35}{12}.$$

由此得

$$E\left(\sum _{i=1}^n{X}_i\right)=\sum _{i=1}^{n}E(X_i)=\frac{7n}{2},$$ $$Var\left(\sum _{i=1}^n{X}_i\right)=\sum _{i=1}^{n}Var(X_i)=\frac{35n}{12}.$$

习题 3.4-3

从数字 $0,1,\cdots ,n$ 中任取两个不同的数字，求这两个数字之差的绝对值的数学期望。

解 记 $X$ 与 $Y$ 分别为第 $1$ 次和第 $2$ 次取出的数字，则

$$P(X=i,Y=j)=\frac{1}{(n+1)n},i,j=0,1,\cdots ,n,i\ne j.$$

所以

$$\begin{array}{rl}E(|X-Y|)& =\frac{1}{(n+1)n}\sum _{i=0}^n\left\{\sum _{j=0}^{i-1}(i-j)+\sum _{j=i+1}^n(j-i)\right\}\\ & =\frac{1}{(n+1)n}\sum _{i=0}^n\left\{\frac{i(i+1)}{2}+\frac{(n-i)[(n-i)+1]}{2}\right\}\\ & =\frac{1}{(n+1)n}\sum _{i=0}^n\left\{i^2+\frac{n(n+1)}{2}-in\right\}\\ & =\frac{2n+1}{6}+\frac{n+1}{2}-\frac{n}{2}=\frac{n+2}{3}.\end{array}$$

习题 3.4-4

设在区间 $(0,1)$ 上随机取 $n$ 个点，求相距最远的两点间的距离的数学期望。

解 解法一 分别记此 $n$ 个点为 $X_1,X_2,\cdots ,X_n$，则 $X_1,X_2,\cdots ,X_n$ 相互独立，且都服从区间 $(0,1)$ 上的均匀分布 $U(0,1)$。我们的目的是求

$$E(\max \{X_1,X_2,\cdots ,X_n\}-\min \{X_1,X_2,\cdots ,X_n\}).$$

而

$$Z=\max \{X_1,X_2,\cdots ,X_n\},T=\min \{X_1,X_2,\cdots ,X_n\}$$

的密度函数分别为

$$p_Z(z)=\{\begin{array}{ll}n{z}^{n-1},& 0<z<1,\\ 0,& \text{其他},\end{array}{p}_T(t)=\{\begin{array}{ll}n(1-t{)}^{n-1},& 0<t<1,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$$

又因为

$$E(Z)={\int }_0^{1}zn{z}^{n-1}\mathrm{d}z=\frac{n}{n+1},E(T)={\int }_0^{1}tn(1-t{)}^{n-1}\mathrm{d}t=\frac{1}{n+1},$$

所以

$$E(\max \{X_1,X_2,\cdots ,X_n\}-\min \{X_1,X_2,\cdots ,X_n\})=\frac{n}{n+1}-\frac{1}{n+1}=\frac{n-1}{n+1}.$$

解法二 $n$ 个点把区间 $(0,1)$ 分成 $n+1$ 段，它们的长度依次记为 $Y_1,Y_2,\cdots ,Y_{n+1}$。因为此 $n$ 个点是随机取的，所以 $Y_1,Y_2,\cdots ,Y_{n+1}$ 具有相同的分布，从而有相同的数学期望。而

$$Y_1+Y_2+\cdots +Y_{n+1}=1,$$

因此

$$E(Y_1)=E(Y_2)=\cdots =E(Y_{n+1})=\frac{1}{n+1}.$$

而相距最远的两点间的距离为 $Y_2+Y_3+\cdots +Y_n$，因此所求期望为

$$E(Y_2+Y_3+\cdots +Y_n)=\frac{n-1}{n+1}.$$

习题 3.4-5

盒中有 $n$ 个不同的球，其上分别写有数字 $1,2,\cdots ,n$。每次随机抽出一个，记下其号码，放回去再抽。直到抽到有两个不同的数字为止。求平均抽球次数。

解 记 $X$ 为抽球次数，则 $X$ 的可能取值是 $2,3,\cdots$，且有

$$P(X=k)=\frac{n-1}{n^{k-1}}={\left(\frac{1}{n}\right)}^{k-2}\frac{n-1}{n},k=2,3,\cdots .$$

又记

$$p=\frac{n-1}{n},$$

则

$$Y=X-1$$

服从参数为 $p$ 的几何分布，因此

$$E(Y)=\frac{1}{p}=\frac{n}{n-1},$$

由此得

$$E(X)=E(Y)+1=\frac{n}{n-1}+1=\frac{2n-1}{n-1}.$$

习题 3.4-6

设随机变量 $(X,Y)$ 的联合分布列为

$$\begin{array}{ccc}X\backslash Y& 0& 1\\ 0& 0.1& 0.15\\ 1& 0.25& 0.2\\ 2& 0.15& 0.15\end{array}$$

试求

$$Z=\sin \left[\frac{\pi }{2}(X+Y)\right]$$

的数学期望。

解

$$\begin{array}{rl}E(Z)& =0.1\sin 0+0.15\sin \frac{\pi }{2}+0.25\sin \frac{\pi }{2}+0.2\sin \pi +0.15\sin \pi +0.15\sin \frac{3\pi }{2}\\ & =0.15\times 1+0.25\times 1+0.15\times (-1)=\mathrm{0.25.}\end{array}$$

习题 3.4-7

随机变量 $(X,Y)$ 服从以点 $(0,1)$，$(1,0)$，$(1,1)$ 为顶点的三角形区域上的均匀分布，试求 $E(X+Y)$ 和 $Var(X+Y)$。

解 记此三角形区域为 $D$（如图 3.15 阴影部分）。因为 $D$ 的面积为 $1/2$，所以 $(X,Y)$ 的联合密度函数为

$$p_{X,Y}(x,y)=\{\begin{array}{ll}2,& (x,y)\in D,\\ 0,& (x,y)\notin D.\end{array}$$

\FigureThreeFifteen

下求 $X$ 和 $Y$ 各自的边际密度函数。当 $0<x<1$ 时，有

$$p_X(x)={\int }_{1-x}^{1}2\mathrm{d}y=2x.$$

这是贝塔分布 $Be(2,1)$。当 $0<y<1$ 时，有

$$p_Y(y)={\int }_{1-y}^{1}2\mathrm{d}x=2y.$$

这也是贝塔分布 $Be(2,1)$。即 $X$ 与 $Y$ 同分布。因此由贝塔分布的期望、方差公式可知

$$E(X)=E(Y)=\frac{2}{3},Var(X)=Var(Y)=\frac{1}{18}.$$

由于 $X$ 与 $Y$ 不独立，所以先计算

$$E(XY)={\int }_0^1{\int }_{1-x}^{1}2xy\mathrm{d}y\mathrm{d}x=\frac{5}{12}.$$

由此得

$$Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=\frac{5}{12}-\frac{4}{9}=-\frac{1}{36}(\text{负相关}).$$

最后得

$$E(X+Y)=\frac{2}{3}+\frac{2}{3}=\frac{4}{3},$$ $$Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)+2Cov(X,Y)=\frac{1}{18}+\frac{1}{18}-\frac{2}{36}=\frac{1}{18}.$$

习题 3.4-8

设 $X,Y$ 均为 $(0,1)$ 上独立的均匀随机变量，试证：

$$E(|X-Y{|}^{\alpha })=\frac{2}{(\alpha +1)(\alpha +2)},\alpha >0.$$

解 因为 $(X,Y)$ 的联合密度函数为

$$p(x,y)=\{\begin{array}{ll}1,& 0<x,y<1,\\ 0,& \text{其他},\end{array}$$

所以

$$\begin{array}{rl}E(|X-Y{|}^{\alpha })& ={\int }_0^1{\int }_0^1|x-y{|}^{\alpha }\mathrm{d}x\mathrm{d}y\\ & ={\int }_0^1{\int }_0^y(y-x{)}^{\alpha }\mathrm{d}x\mathrm{d}y+{\int }_0^1{\int }_y^1(x-y{)}^{\alpha }\mathrm{d}x\mathrm{d}y\\ & =\frac{1}{(\alpha +1)(\alpha +2)}+\frac{1}{(\alpha +1)(\alpha +2)}\\ & =\frac{2}{(\alpha +1)(\alpha +2)}.\end{array}$$

习题 3.4-9

设 $X$ 与 $Y$ 是独立同分布的随机变量，且

$$P(X=i)=\frac{1}{m},i=1,2,\cdots ,m.$$

试证：

$$E(|X-Y|)=\frac{(m-1)(m+1)}{3m}.$$

解

$$\begin{array}{rl}E(|X-Y|)& =\sum _{i=1}^m\sum _{j=1}^m|i-j|\cdot \frac{1}{m^2}\\ & =\frac{1}{m^2}\sum _{i=1}^m\left(\sum _{j=1}^{i-1}(i-j)+\sum _{j=i+1}^m(j-i)\right)\\ & =\frac{1}{m^2}\sum _{i=1}^m\left(i^2-i-mi+\frac{m^2}{2}+\frac{m}{2}\right)\\ & =\frac{1}{m^2}\left[\frac{m(m+1)(2m+1)}{6}-(m+1)\frac{m(m+1)}{2}+\frac{m^3}{2}+\frac{m^2}{2}\right]\\ & =\frac{(m-1)(m+1)}{3m}.\end{array}$$

习题 3.4-10

设随机变量 $X$ 与 $Y$ 独立同分布，且 $E(X)=\mu ,\mathrm{Var}(X)={\sigma }^2$，试求 $E(X-Y{)}^2$.

解 因为 $E(X-Y)=0$，所以

$$E(X-Y{)}^2=\mathrm{Var}(X-Y)=2{\sigma }^2.$$

习题 3.4-11

设随机变量 $(X,Y)$ 的联合密度函数为

$$p(x,y)=\{\begin{array}{ll}\frac{x(1+3y^2)}{4},& 0<x<2,0<y<1,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$$

试求 $E(Y/X)$.

解

$$E(Y/X)={\int }_0^{1}dy{\int }_0^2\frac{y}{x}\cdot \frac{x(1+3y^2)}{4}dx={\int }_0^1\frac{y(1+3y^2)}{2}dy=\frac{5}{8}.$$

习题 3.4-12

设 $X_1,X_2,\dots ,X_5$ 是独立同分布的随机变量，其共同的密度函数

$$p(x)=\{\begin{array}{ll}2x,& 0<x<1,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$$

试求 $Y=\max \{X_1,X_2,\dots ,X_5\}$ 的密度函数、数学期望和方差.

解 先求 $X_i$ 的分布函数.当 $0<x<1$ 时，

$$F(x)={\int }_0^{x}2tdt=x^2,$$

所以当 $0<y<1$ 时，$Y$ 的密度函数为

$$p_Y(y)=5[F(y){]}^{4}p(y)=5y^8\times 2y=10y^9,$$

这是贝塔分布 $\mathrm{Be}(10,1)$，由此得

$$E(Y)=\frac{10}{11},\mathrm{Var}(Y)=\frac{10}{11^2\times 12}=\frac{5}{726}.$$

习题 3.4-13

系统由 $n$ 个部件组成.记 $X_i$ 为第 $i$ 个部件能持续工作的时间，如果 $X_1,X_2,\dots ,X_n$ 独立同分布，且 $X_i\sim \mathrm{Exp}(\lambda )$，试在以下情况下求系统持续工作的平均时间：

1. 如果有一个部件停止工作，系统就不工作了；
2. 如果至少有一个部件在工作，系统就工作.

解 因为 $X_i\sim \mathrm{Exp}(\lambda )$，所以 $X_i$ 的密度函数和分布函数分别为

$$p_1(x)=\{\begin{array}{ll}\lambda e^{-\lambda x},& x>0,\\ 0,& x\le 0,\end{array}{F}_1(x)=\{\begin{array}{ll}1-e^{-\lambda x},& x>0,\\ 0,& x\le 0.\end{array}$$

（1） 根据题意，系统持续工作的时间为

$$T=\min \{X_1,X_2,\dots ,X_n\},$$

所以当 $t\le 0$ 时，$T$ 的密度函数 $p_T(t)=0$；而当 $t>0$ 时，

$$p_T(t)=n{p}_1(t)[1-F_1(t){]}^{n-1}=n\lambda e^{-\lambda t}{e}^{-(n-1)\lambda t}=n\lambda e^{-n\lambda t},$$

这是参数为 $n\lambda$ 的指数分布，所以

$$E(T)=\frac{1}{n\lambda }.$$

（2） 根据题意，系统持续工作的时间为

$$T=\max \{X_1,X_2,\dots ,X_n\},$$

所以当 $t>0$ 时

$$\begin{array}{rl}{p}_T(t)& =n[F_1(t){]}^{n-1}{p}_1(t)\\ & =n(1-e^{-\lambda t}{)}^{n-1}\lambda e^{-\lambda t}\\ & =\sum _{i=0}^{n-1}(-1{)}^{i}n\lambda (\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{i})e^{-(i+1)\lambda t}\\ & =\sum _{i=0}^{n-1}(-1{)}^i(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i+1})(i+1)\lambda e^{-(i+1)\lambda t},\end{array}$$

所以系统持续工作的平均时间为

$$\begin{array}{rl}E(T)& =\sum _{i=0}^{n-1}(-1{)}^i(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i+1}){\int }_0^{\infty }t(i+1)\lambda e^{-(i+1)\lambda t}dt\\ & =\sum _{i=0}^{n-1}(-1{)}^i(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i+1})\frac{1}{(i+1)\lambda }\\ & =\frac{n}{\lambda }-\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2}\right)\frac{1}{2\lambda }+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{3}\right)\frac{1}{3\lambda }+\cdots +(-1{)}^{n-1}\frac{1}{n\lambda }.\end{array}$$

习题 3.4-14

设 $X,Y$ 独立同分布，都服从标准正态分布 $N(0,1)$，求 $E(\max \{X,Y\})$.

解 因为 $X,Y$ 独立，都服从 $N(0,1)$，所以 $X-Y\sim N(0,2)$.又因为

$$\max \{X,Y\}=\frac{X+Y+|X-Y|}{2},$$

由于 $X-Y\sim N(0,2)$，所以

$$\begin{array}{rl}E(\max \{X,Y\})& =\frac{E(X)+E(Y)+E(|X-Y|)}{2}=\frac{E(|X-Y|)}{2}\\ & =\frac{1}{2\sqrt{2\pi }\sqrt{2}}{\int }_{-\infty }^{\infty }|t|e^{-t^2/4}dt\\ & =\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sqrt{2}}{\int }_0^{\infty }t{e}^{-t^2/4}dt=-\frac{1}{\sqrt{\pi }}{\int }_0^{\infty }d(e^{-t^2/4})\\ & =\frac{1}{\sqrt{\pi }}.\end{array}$$

习题 3.4-15

设随机变量 $X_1,X_2,\dots ,X_n$ 相互独立，且都服从 $(0,\theta )$ 上的均匀分布，记

$$Y=\max \{X_1,X_2,\dots ,X_n\},Z=\min \{X_1,X_2,\dots ,X_n\}.$$

试求 $E(Y)$ 和 $E(Z)$.

解 记 $X_i$ 的密度函数和分布函数分别为

$$p_1(x)=\{\begin{array}{ll}1/\theta ,& 0<x<\theta ,\\ 0,& \text{其他},\end{array}{F}_1(x)=\{\begin{array}{ll}0,& x<0,\\ x/\theta ,& 0\le x<\theta ,\\ 1,& x\ge \theta .\end{array}$$

则当 $0<t<\theta$ 时，$Y$ 与 $Z$ 的密度函数分别为

$$p_Y(t)=n[F_1(t){]}^{n-1}{p}_1(t)=n{\left(\frac{t}{\theta }\right)}^{n-1}\frac{1}{\theta },$$ $$p_Z(t)=n{p}_1(t)[1-F_1(t){]}^{n-1}=n{\left(1-\frac{t}{\theta }\right)}^{n-1}\frac{1}{\theta }.$$

所以

$$E(Y)=\frac{n}{{\theta }^n}{\int }_0^{\theta }{t}^{n}dt=\frac{n\theta }{n+1},$$ $$E(Z)=\frac{n}{{\theta }^n}{\int }_0^{\theta }t(\theta -t{)}^{n-1}dt=\frac{\theta }{n+1}.$$

习题 3.4-16

设随机变量 $U$ 服从 $(-2,2)$ 上的均匀分布，定义 $X$ 和 $Y$ 如下：

$$X=\{\begin{array}{ll}-1,& \text{若 }U<-1,\\ 1,& \text{若 }U\ge -1,\end{array}Y=\{\begin{array}{ll}-1,& \text{若 }U<1,\\ 1,& \text{若 }U\ge 1.\end{array}$$

试求 $\mathrm{Var}(X+Y)$.

解 先求 $X+Y$ 的分布列.因为 $X+Y$ 的可能取值是 $-2,0,2$，所以

$$P(X+Y=-2)=P(X=-1,Y=-1)=P(U<-1)=\frac{1}{4},$$ $$P(X+Y=2)=P(X=1,Y=1)=P(U\ge -1,U\ge 1)=P(U\ge 1)=\frac{1}{4},$$ $$P(X+Y=0)=1-P(X+Y=-2)-P(X+Y=2)=\frac{1}{2}.$$

综上可得 $X+Y$ 的分布列

$X+Y$	$-2$	$0$	$2$
$P$	$1/4$	$1/2$	$1/4$

此分布对称，所以 $E(X+Y)=0$，从而得

$$\mathrm{Var}(X+Y)=E(X+Y{)}^2=2.$$

习题 3.4-17

一商店经销某种商品，每周进货量 $X$ 与顾客对这种商品的需求量 $Y$ 是相互独立的随机变量，且都服从区间 $(10,20)$ 上的均匀分布.商店每售出一单位商品可得利润 $1000$ 元；若需求量超过了进货量，则可从其他商店调剂供应，这时每单位商品获利润为 $500$ 元.试求此商店经销这种商品每周的平均利润.

解 记 $Z$ 为此商店经销该种商品每周所得的利润，由题设知 $Z=g(X,Y)$，其中

$$g(x,y)=\{\begin{array}{ll}1000y,& y\le x,\\ 1000x+500(y-x)=500(x+y),& y>x.\end{array}$$

由题设条件知 $(X,Y)$ 的联合概率密度为

$$p_{X,Y}(x,y)=\{\begin{array}{ll}1/100,& 10\le x\le 20,10\le y\le 20,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$$

于是

$$\begin{array}{rl}E(Z)& =E(g(X,Y))=\iint g(x,y)p_{X,Y}(x,y)dxdy\\ & ={\iint }_{y\le x}1000y{p}_{X,Y}(x,y)dxdy+{\iint }_{y>x}500(x+y)p_{X,Y}(x,y)dxdy\\ & =10{\int }_{10}^{20}dy{\int }_y^{20}ydx+5{\int }_{10}^{20}dy{\int }_{10}^y(x+y)dx\\ & =\frac{20000}{3}+5\times 1500\approx \mathrm{14166.67.}\end{array}$$

习题 3.4-18

设随机变量 $X$ 与 $Y$ 独立，都服从正态分布 $N(a,{\sigma }^2)$，试证：

$$E(\max \{X,Y\})=a+\frac{\sigma }{\sqrt{\pi }}.$$

解 记

$$X^{\ast }=\frac{X-a}{\sigma },Y^{\ast }=\frac{Y-a}{\sigma },$$

则 $X^{\ast }$ 与 $Y^{\ast }$ 独立，都服从 $N(0,1)$ 分布.所以由前面第 14 题知

$$E(\max \{X^{\ast },Y^{\ast }\})=\frac{1}{\sqrt{\pi }}.$$

又因为

$$E(\max \{X^{\ast },Y^{\ast }\})=E\left(\max \left\{\frac{X-a}{\sigma },\frac{Y-a}{\sigma }\right\}\right)=\frac{E(\max \{X,Y\})-a}{\sigma },$$

由此即得

$$E(\max \{X,Y\})=a+\sigma E(\max \{X^{\ast },Y^{\ast }\})=a+\frac{\sigma }{\sqrt{\pi }}.$$

习题 3.4-19

设二维随机变量 $(X,Y)$ 的联合分布列为

$X$	$Y$
\cmidrule(lr){2-4}	$-1$	$0$	$1$
$0$	$0.07$	$0.18$	$0.15$
$1$	$0.08$	$0.32$	$0.20$

试求 $X^2$ 与 $Y^2$ 的协方差.

解 因为

$X^2$	$0$	$1$
$P$	$0.4$	$0.6$

$Y^2$	$0$	$1$
$P$	$0.5$	$0.5$

$X^2{Y}^2$	$0$	$1$
$P$	$0.72$	$0.28$

所以得

$$E(X^2)=0.6,E(Y^2)=0.5,E(X^2{Y}^2)=0.28,$$

由此得

$$\mathrm{Cov}(X^2,Y^2)=E(X^2{Y}^2)-E(X^2)E(Y^2)=0.28-0.6\times 0.5=-\mathrm{0.02.}$$

习题 3.4-20

把一颗骰子独立地掷 $n$ 次，求 $1$ 点出现的次数与 $6$ 点出现次数的协方差及相关系数.

解 记

$$X_i=\{\begin{array}{ll}1,& \text{第 }i\text{ 次投掷，出现 }1\text{ 点},\\ 0,& \text{其他},\end{array}{Y}_i=\{\begin{array}{ll}1,& \text{第 }i\text{ 次投掷，出现 }6\text{ 点},\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$$

则 $1$ 点出现的次数

$$X=\sum _{i=1}^n{X}_i\sim b(n,1/6),$$

$6$ 点出现的次数

$$Y=\sum _{j=1}^n{Y}_j\sim b(n,1/6).$$

从而有

$$E(X)=E(Y)=\frac{n}{6},\mathrm{Var}(X)=\mathrm{Var}(Y)=\frac{5n}{36}.$$

我们的目的是求 $\mathrm{Cov}(X,Y)$，故下面先求 $E(XY)$.由于

$$XY=(X_1+X_2+\cdots +X_n)(Y_1+Y_2+\cdots +Y_n)=\sum _{i=1}^n{X}_i{Y}_i+2\sum _{i<j}{X}_i{Y}_j,$$

且因为 $X_i$ 和 $Y_i$ 均为仅取 $0,1$ 值的随机变量，所以

$$\{X_i{Y}_i=1\}=\{X_i=1,Y_i=1\}=\varnothing$$

（第 $i$ 次投掷时，不可能既出现 $1$ 点，又出现 $6$ 点），因此当 $i=j$ 时，有

$$P(X_i{Y}_i=1)=0,P(X_i{Y}_i=0)=1.$$

由此得 $E(X_i{Y}_i)=0$.而当 $i\ne j$ 时，由于 $X_i$ 与 $Y_j$ 相互独立，所以

$$E(X_i{Y}_j)=E(X_i)E(Y_j)=\frac{1}{36}.$$

综上可得

$$\begin{array}{rl}\mathrm{Cov}(X,Y)& =E(XY)-E(X)E(Y)\\ & =2\sum _{i<j}E(X_i{Y}_j)-\frac{n^2}{36}\\ & =\frac{n(n-1)}{36}-\frac{n^2}{36}=-\frac{n}{36},\end{array}$$ $$\mathrm{Corr}(X,Y)=\frac{\mathrm{Cov}(X,Y)}{\sqrt{\mathrm{Var}(X)}\sqrt{\mathrm{Var}(Y)}}=\frac{-n/36}{5n/36}=-\frac{1}{5}.$$

习题 3.4-21

掷一颗骰子两次，求其点数之和与点数之差的协方差.

解 记 $X$ 为第一次掷出的点数，$Y$ 为第二次掷出的点数，则 $X$ 与 $Y$ 独立同分布，即有 $E(X)=E(Y)$，$E(X^2)=E(Y^2)$.由此得

$$\mathrm{Cov}(X+Y,X-Y)=E(X^2-Y^2)-E(X+Y)E(X-Y)=0.$$

习题 3.4-22

某箱装 $100$ 件产品，其中一、二和三等品分别为 $80,10$ 和 $10$ 件.现从中随机取一件，定义两个随机变量 $X_1,X_2$ 如下

$$X_i=\{\begin{array}{ll}1,& \text{若抽到 }i\text{ 等品},\\ 0,& \text{其他},\end{array}i=1,2.$$

试求随机变量 $X_1$ 和 $X_2$ 的相关系数 $\mathrm{Corr}(X_1,X_2)$.

解 因为 $X_1\sim b(1,0.8),X_2\sim b(1,0.1)$，所以有

$$E(X_1)=0.8,\mathrm{Var}(X_1)=0.8\times 0.2=0.16;$$ $$E(X_2)=0.1,\mathrm{Var}(X_2)=0.1\times 0.9=\mathrm{0.09.}$$

由多项分布可导出 $(X_1,X_2)$ 的联合分布列如下

$X_1$	$X_2$
\cmidrule(lr){2-3}	$0$	$1$
$0$	$0.1$	$0.1$
$1$	$0.8$	$0$

譬如，

$$P(X_1=1,X_2=0)=\frac{1!}{1!0!0!}\cdot 0.8^1\times 0.1^0\times 0.1^0=\mathrm{0.8.}$$

由此获得乘积 $X_1{X}_2$ 的分布列

$X_1{X}_2$	$0$	$1$
$P$	$1$	$0$

所以 $E(X_1{X}_2)=0$，由此得

$$\mathrm{Cov}(X_1,X_2)=E(X_1{X}_2)-E(X_1)E(X_2)=0-0.8\times 0.1=-0.08,$$ $$\mathrm{Corr}(X_1,X_2)=\frac{\mathrm{Cov}(X_1,X_2)}{\sqrt{\mathrm{Var}(X_1)}\sqrt{\mathrm{Var}(X_2)}}=\frac{-0.08}{\sqrt{0.16}\sqrt{0.09}}=-\frac{2}{3}.$$

习题 3.4-23

将一枚硬币重复掷 $n$ 次，以 $X$ 和 $Y$ 分别表示正面向上和反面向上的次数，试求 $X$ 和 $Y$ 的协方差及相关系数.

解 因为 $X+Y=n$，且 $X\sim b(n,1/2),Y\sim b(n,1/2)$，所以

$$\mathrm{Var}(X)=\mathrm{Var}(Y)=\frac{n}{4},$$ $$\mathrm{Cov}(X,Y)=\mathrm{Cov}(X,n-X)=-\mathrm{Cov}(X,X)=-\mathrm{Var}(X)=-\frac{n}{4},$$ $$\mathrm{Corr}(X,Y)=\frac{\mathrm{Cov}(X,Y)}{\sqrt{\mathrm{Var}(X)}\sqrt{\mathrm{Var}(Y)}}=\frac{-n/4}{n/4}=-1.$$

习题 3.4-24

设随机变量 $X$ 和 $Y$ 独立同服从参数为 $\lambda$ 的泊松分布，令

$$U=2X+Y,V=2X-Y.$$

求 $U$ 和 $V$ 的相关系数 $\mathrm{Corr}(U,V)$.

解 因为

$$\mathrm{Var}(U)=\mathrm{Var}(2X+Y)=4\mathrm{Var}(X)+\mathrm{Var}(Y)=5\lambda ,$$ $$\mathrm{Var}(V)=\mathrm{Var}(2X-Y)=4\mathrm{Var}(X)+\mathrm{Var}(Y)=5\lambda .$$

所以

$$\begin{array}{rl}\mathrm{Cov}(U,V)& =\mathrm{Cov}(2X+Y,2X-Y)\\ & =\mathrm{Cov}(2X,2X)+\mathrm{Cov}(Y,2X)-\mathrm{Cov}(2X,Y)-\mathrm{Cov}(Y,Y)\\ & =4\mathrm{Var}(X)-\mathrm{Var}(Y)=3\lambda ,\end{array}$$

由此得

$$\mathrm{Corr}(U,V)=\frac{\mathrm{Cov}(U,V)}{\sqrt{\mathrm{Var}(U)}\sqrt{\mathrm{Var}(V)}}=\frac{3\lambda }{5\lambda }=\frac{3}{5}.$$

习题 3.4-25

在一个有 $n$ 个人参加的晚会上，每个人带了一件礼物，且假定各人带的礼物都不相同.晚会期间各人从放在一起的 $n$ 件礼物中随机抽取一件，试求抽中自己礼物的人数 $X$ 的均值和方差.

解 记

$$X_i=\{\begin{array}{ll}1,& \text{第 }i\text{ 个人恰好取出自己的礼物},\\ 0,& \text{第 }i\text{ 个人取出别人的礼物},\end{array}i=1,2,\dots ,n.$$

则 $X_1,X_2,\dots ,X_n$ 是同分布的，但不独立.其共同分布为

$$P(X_i=1)=\frac{1}{n},P(X_i=0)=1-\frac{1}{n},i=1,2,\dots ,n.$$

由此得

$$E(X_i)=\frac{1}{n},\mathrm{Var}(X_i)=\frac{1}{n}\left(1-\frac{1}{n}\right),i=1,2,\dots ,n.$$

又因为 $X=X_1+X_2+\cdots +X_n$，所以

$$E(X)=E(X_1)+E(X_2)+\cdots +E(X_n)=n\cdot \frac{1}{n}=1.$$

但因为 $X_i$ 间不独立，所以

$$\mathrm{Var}(X)=\sum _{i=1}^n\mathrm{Var}(X_i)+2\sum _{i=1}^n\sum _{j=i+1}^n\mathrm{Cov}(X_i,X_j).$$

为计算 $\mathrm{Cov}(X_i,X_j)$，先给出 $X_i{X}_j$ 的分布列，注意到 $X_i{X}_j$ 的可能取值为 $0,1$，且

$$P(X_i{X}_j=1)=P(X_i=1,X_j=1)=\frac{1}{n}\cdot \frac{1}{n-1},$$

所以

$$E(X_i{X}_j)=0\times P(X_i{X}_j=0)+1\times P(X_i{X}_j=1)=\frac{1}{n(n-1)}.$$

因此

$$\mathrm{Cov}(X_i,X_j)=E(X_i{X}_j)-E(X_i)E(X_j)=\frac{1}{n(n-1)}-{\left(\frac{1}{n}\right)}^2=\frac{1}{n^2(n-1)}.$$

由此得

$$\mathrm{Var}(X)=\frac{n-1}{n}+2\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2}\right)\frac{1}{n^2(n-1)}=1.$$

习题 3.4-26

设随机变量 $X$ 和 $Y$ 的数学期望分别为 $-2$ 和 $2$，方差分别为 $1$ 和 $4$，而它们的相关系数为 $-0.5$.试根据切比雪夫不等式，估计 $P(|X+Y|\ge 6)$ 的上限.

解 因为

$$E(X+Y)=0,$$ $$\mathrm{Var}(X+Y)=\mathrm{Var}(X)+\mathrm{Var}(Y)+2\mathrm{Cov}(X,Y)=1+4+2\sqrt{1}\sqrt{4}\times (-0.5)=3,$$

所以

$$P(|X+Y|\ge 6)\le \frac{\mathrm{Var}(X+Y)}{6^2}=\frac{3}{36}=\frac{1}{12}.$$

习题 3.4-27

设二维随机变量 $(X,Y)$ 的联合密度函数为

$$p(x,y)=\{\begin{array}{ll}1,& |y|<x,0<x<1,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$$

求 $E(X),E(Y),\mathrm{Cov}(X,Y)$.

解

$$E(X)={\int }_0^1{\int }_{-x}^{x}xdydx={\int }_0^{1}2x^{2}dx=\frac{2}{3},$$ $$E(Y)={\int }_0^1{\int }_{-x}^{x}ydydx=0,$$ $$E(XY)={\int }_0^1{\int }_{-x}^{x}xydydx=0,\mathrm{Cov}(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0.$$

讨论：这里 $X$ 与 $Y$ 的协方差为 $0$，故 $X$ 与 $Y$ 不相关，但 $X$ 与 $Y$ 也不独立，这是因为 $p(x,y)\ne p(x)p(y)$，其中

$$p(x)=\{\begin{array}{ll}2x,& 0<x<1,\\ 0,& \text{其他},\end{array}p(y)=\{\begin{array}{ll}1+y,& -1<y<0,\\ 1-y,& 0<y<1,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$$

习题 3.4-28

设二维随机变量 $(X,Y)$ 的联合密度函数为

$$p(x,y)=\{\begin{array}{ll}3x,& 0<y<x<1,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$$

求 $X$ 与 $Y$ 的相关系数.

解 先计算 $X$ 与 $Y$ 的期望、方差与协方差：

$$E(X)={\int }_0^1{\int }_0^{x}3x^{2}dydx={\int }_0^{1}3x^{3}dx=\frac{3}{4},$$ $$E(X^2)={\int }_0^1{\int }_0^{x}3x^{3}dydx={\int }_0^{1}3x^{4}dx=\frac{3}{5},$$ $$E(Y)={\int }_0^1{\int }_0^{x}3xydydx={\int }_0^1\frac{3}{2}{x}^{3}dx=\frac{3}{8},$$ $$E(Y^2)={\int }_0^1{\int }_0^{x}3x{y}^{2}dydx={\int }_0^1{x}^{4}dx=\frac{1}{5},$$

所以

$$\mathrm{Var}(X)=E(X^2)-[E(X){]}^2=\frac{3}{5}-\frac{9}{16}=\frac{3}{80},$$ $$\mathrm{Var}(Y)=E(Y^2)-[E(Y){]}^2=\frac{1}{5}-\frac{9}{64}=\frac{19}{320},$$

又因为

$$E(XY)={\int }_0^1{\int }_0^{x}3x^{2}ydydx={\int }_0^1\frac{3}{2}{x}^{4}dx=\frac{3}{10},$$

所以

$$\mathrm{Cov}(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=\frac{3}{10}-\frac{3}{4}\times \frac{3}{8}=\frac{3}{160},$$

最后可得 $X$ 与 $Y$ 的相关系数

$$\mathrm{Corr}(X,Y)=\frac{\mathrm{Cov}(X,Y)}{\sqrt{\mathrm{Var}(X)}\sqrt{\mathrm{Var}(Y)}}=\frac{3/160}{\sqrt{3/80}\sqrt{19/320}}=\frac{3}{\sqrt{57}}=\mathrm{0.397.}$$

习题 3.4-29

已知随机变量 $X$ 与 $Y$ 的相关系数为 $\rho$，求 $X_1=aX+b$ 与 $Y_1=cY+d$ 的相关系数，其中 $a,b,c,d$ 均为非零常数.

解 先计算 $X_1$ 与 $Y_1$ 的方差与协方差：

$$\mathrm{Var}(X_1)=a^2\mathrm{Var}(X),\mathrm{Var}(Y_1)=c^2\mathrm{Var}(Y),\mathrm{Cov}(X_1,Y_1)=ac\mathrm{Cov}(X,Y).$$

然后计算 $X_1$ 与 $Y_1$ 的相关系数：

$$\mathrm{Corr}(X_1,Y_1)=\frac{ac\mathrm{Cov}(X,Y)}{\sqrt{a^2\mathrm{Var}(X)}\sqrt{c^2\mathrm{Var}(Y)}}.$$

所以当 $a$ 与 $c$ 同号时，

$$\mathrm{Corr}(X_1,Y_1)=\frac{\mathrm{Cov}(X,Y)}{\sqrt{\mathrm{Var}(X)}\sqrt{\mathrm{Var}(Y)}}=\rho ;$$

而当 $a$ 与 $c$ 异号时，

$$\mathrm{Corr}(X_1,Y_1)=-\frac{\mathrm{Cov}(X,Y)}{\sqrt{\mathrm{Var}(X)}\sqrt{\mathrm{Var}(Y)}}=-\rho .$$

习题 3.4-30

设随机变量 $X_1$ 与 $X_2$ 独立同分布，其共同分布为 $\mathrm{Exp}(\lambda )$.试求 $Y_1=4X_1-3X_2$ 与 $Y_2=3X_1+X_2$ 的相关系数.

解 先计算 $Y_1$ 与 $Y_2$ 的期望、方差与协方差：

$$E(X_1)=E(X_2)=\frac{1}{\lambda },\mathrm{Var}(X_1)=\mathrm{Var}(X_2)=\frac{1}{{\lambda }^2},$$ $$E(Y_1)=4E(X_1)-3E(X_2)=\frac{1}{\lambda },\mathrm{Var}(Y_1)=16\mathrm{Var}(X_1)+9\mathrm{Var}(X_2)=\frac{25}{{\lambda }^2},$$ $$E(Y_2)=3E(X_1)+E(X_2)=\frac{4}{\lambda },\mathrm{Var}(Y_2)=9\mathrm{Var}(X_1)+\mathrm{Var}(X_2)=\frac{10}{{\lambda }^2},$$ $$E(Y_1{Y}_2)=E[(4X_1-3X_2)(3X_1+X_2)]=E(12X_1^2-5X_1{X}_2-3X_2^2)=\frac{13}{{\lambda }^2},$$ $$\mathrm{Cov}(Y_1,Y_2)=E(Y_1{Y}_2)-E(Y_1)E(Y_2)=\frac{13}{{\lambda }^2}-\frac{4}{{\lambda }^2}=\frac{9}{{\lambda }^2}.$$

然后计算 $Y_1$ 与 $Y_2$ 的相关系数：

$$\mathrm{Corr}(Y_1,Y_2)=\frac{\mathrm{Cov}(Y_1,Y_2)}{\sqrt{\mathrm{Var}(Y_1)}\sqrt{\mathrm{Var}(Y_2)}}=\frac{9/{\lambda }^2}{\sqrt{25/{\lambda }^2}\sqrt{10/{\lambda }^2}}=\frac{9}{5\sqrt{10}}=\mathrm{0.5692.}$$

习题 3.4-31

设随机变量 $X_1$ 与 $X_2$ 独立同分布，其共同分布为 $N(\mu ,{\sigma }^2)$.试求 $Y=a{X}_1+b{X}_2$ 与 $Z=a{X}_1-b{X}_2$ 的相关系数，其中 $a$ 与 $b$ 为非零常数.

解 先计算 $Y$ 与 $Z$ 的期望、方差与协方差：

$$E(Y)=(a+b)\mu ,E(Z)=(a-b)\mu ,$$ $$\mathrm{Var}(Y)=(a^2+b^2){\sigma }^2,\mathrm{Var}(Z)=(a^2+b^2){\sigma }^2,$$ $$\begin{array}{rl}E(YZ)& =E[(a{X}_1+b{X}_2)(a{X}_1-b{X}_2)]\\ & =E(a^2{X}_1^2-b^2{X}_2^2)=(a^2-b^2)({\sigma }^2+{\mu }^2),\end{array}$$ $$\mathrm{Cov}(Y,Z)=E(YZ)-E(Y)E(Z)=(a^2-b^2){\sigma }^2.$$

然后计算 $Y$ 与 $Z$ 的相关系数：

$$\mathrm{Corr}(Y,Z)=\frac{\mathrm{Cov}(Y,Z)}{\sqrt{\mathrm{Var}(Y)}\sqrt{\mathrm{Var}(Z)}}=\frac{(a^2-b^2){\sigma }^2}{(a^2+b^2){\sigma }^2}=\frac{a^2-b^2}{a^2+b^2}.$$

习题 3.4-32

设二维随机变量 $(X,Y)$ 服从二维正态分布 $N(0,0,1,1,\rho )$.

1. 求 $E(\max \{X,Y\})$；
2. 求 $X-Y$ 与 $XY$ 的协方差及相关系数.

解 （1） 由于

$$\max \{X,Y\}=\frac{1}{2}(X+Y+|X-Y|),$$

所以

$$E(\max \{X,Y\})=E\left[\frac{1}{2}(X+Y+|X-Y|)\right]=\frac{1}{2}E(|X-Y|).$$

因为 $X-Y\sim N(0,2(1-\rho ))$，所以

$$E(\max \{X,Y\})=\frac{1}{2\sqrt{2\pi }\sqrt{2(1-\rho )}}{\int }_{-\infty }^{\infty }|x|\exp \left\{-\frac{x^2}{4(1-\rho )}\right\}dx=\sqrt{\frac{1-\rho }{\pi }}.$$

（2） 因为

$$\mathrm{Cov}(X-Y,XY)=\mathrm{Cov}(X,XY)-\mathrm{Cov}(Y,XY)$$ $$=E(X^{2}Y)-E(X)E(XY)-E(X{Y}^2)+E(Y)E(XY).$$

所以由 $E(X)=E(Y)=0$，得

$$\mathrm{Cov}(X-Y,XY)=E(X^{2}Y)-E(X{Y}^2),$$

又由对称性 $E(X^{2}Y)=E(X{Y}^2)$，所以得

$$\mathrm{Cov}(X-Y,XY)=0,\mathrm{Corr}(X-Y,XY)=0.$$

这表明，当 $(X,Y)\sim N(0,0,1,1,\rho )$ 时，$X-Y$ 与 $XY$ 不相关.

习题 3.4-33

设二维随机变量 $(X,Y)$ 服从区域

$$D=\{(x,y):0<x<1,0<x<y<1\}$$

上的均匀分布，求 $X$ 与 $Y$ 的协方差及相关系数.

解 因为区域 $D$ 的面积为 $1/2$，所以 $(X,Y)$ 的联合密度函数为

$$p_{X,Y}(x,y)=\{\begin{array}{ll}2,& (x,y)\in D,\\ 0,& (x,y)\notin D.\end{array}$$

由此得 $X$ 和 $Y$ 各自的边际密度函数为

$$\text{当 }0<x<1\text{ 时},p_X(x)={\int }_x^{1}2dy=2(1-x);$$ $$\text{当 }0<y<1\text{ 时},p_Y(y)={\int }_0^{y}2dx=2y.$$

这表明 $X\sim \mathrm{Be}(1,2),Y\sim \mathrm{Be}(2,1)$.由此可算得 $X$ 与 $Y$ 的期望与方差

$$E(X)=\frac{1}{3},E(Y)=\frac{2}{3},$$ $$E(X^2)=\frac{1}{6},E(Y^2)=\frac{1}{2},$$ $$\mathrm{Var}(X)=\frac{1}{18},\mathrm{Var}(Y)=\frac{1}{18}.$$

另外还需计算 $XY$ 的期望

$$E(XY)={\int }_0^1{\int }_x^{1}2xydydx=\frac{1}{4},$$

由此得 $X$ 与 $Y$ 的协方差及相关系数为

$$\mathrm{Cov}(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=\frac{1}{4}-\frac{1}{3}\times \frac{2}{3}=\frac{1}{36},$$ $$\mathrm{Corr}(X,Y)=\frac{\mathrm{Cov}(X,Y)}{\sqrt{\mathrm{Var}(X)}\sqrt{\mathrm{Var}(Y)}}=\frac{1/36}{1/18}=\frac{1}{2}.$$

习题 3.4-34

设二维随机变量 $(X,Y)$ 的联合密度函数为

$$p(x,y)=\{\begin{array}{ll}\frac{6}{7}\left(x^2+\frac{xy}{2}\right),& 0<x<1,0<y<2,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$$

求 $X$ 与 $Y$ 的协方差及相关系数.

解 先求 $X$ 与 $Y$ 的期望与方差

$$E(X)={\int }_0^1{\int }_0^{2}x\cdot \frac{6}{7}\left(x^2+\frac{xy}{2}\right)dydx=\frac{5}{7},$$ $$E(Y)={\int }_0^1{\int }_0^{2}y\cdot \frac{6}{7}\left(x^2+\frac{xy}{2}\right)dydx=\frac{8}{7},$$ $$E(X^2)={\int }_0^1{\int }_0^2{x}^2\cdot \frac{6}{7}\left(x^2+\frac{xy}{2}\right)dydx=\frac{39}{70},$$ $$E(Y^2)={\int }_0^1{\int }_0^2{y}^2\cdot \frac{6}{7}\left(x^2+\frac{xy}{2}\right)dydx=\frac{34}{21},$$

所以

$$\mathrm{Var}(X)=\frac{39}{70}-{\left(\frac{5}{7}\right)}^2=\frac{23}{490},$$ $$\mathrm{Var}(Y)=\frac{34}{21}-{\left(\frac{8}{7}\right)}^2=\frac{46}{147}.$$

又因为

$$E(XY)={\int }_0^1{\int }_0^{2}xy\cdot \frac{6}{7}\left(x^2+\frac{xy}{2}\right)dydx=\frac{17}{21},$$

所以 $X$ 与 $Y$ 的协方差及相关系数为

$$\mathrm{Cov}(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=\frac{17}{21}-\frac{5}{7}\times \frac{8}{7}=-\frac{1}{147},$$ $$\mathrm{Corr}(X,Y)=\frac{\mathrm{Cov}(X,Y)}{\sqrt{\mathrm{Var}(X)}\sqrt{\mathrm{Var}(Y)}}=\frac{-1/147}{\sqrt{23/490}\sqrt{46/147}}=-\frac{\sqrt{15}}{69}=-\mathrm{0.05613.}$$

习题 3.4-35

设二维随机变量 $(X,Y)$ 在矩形

$$G=\{(x,y):0\le x\le 2,0\le y\le 1\}$$

上服从均匀分布，记

$$U=\{\begin{array}{ll}1,& X>Y,\\ 0,& X\le Y,\end{array}V=\{\begin{array}{ll}1,& X>2Y,\\ 0,& X\le 2Y.\end{array}$$

求 $U$ 和 $V$ 的相关系数.

解 因为区域 $G$ 的面积为 $2$，所以 $(X,Y)$ 的联合密度函数为

$$p_{X,Y}(x,y)=\{\begin{array}{ll}1/2,& (x,y)\in G,\\ 0,& (x,y)\notin G.\end{array}$$

因此（如图 3.16）

$$P(U=0)={\int }_0^{1}dy{\int }_0^y\frac{1}{2}dx=\frac{1}{4},P(U=1)=1-P(U=0)=\frac{3}{4},$$ $$P(V=1)={\int }_0^{2}dx{\int }_0^{x/2}\frac{1}{2}dy=\frac{1}{2},P(V=0)=1-P(V=1)=\frac{1}{2}.$$

这说明：$U\sim b(1,3/4),V\sim b(1,1/2)$，所以

$$\mathrm{Var}(U)=\frac{3}{4}\left(1-\frac{3}{4}\right)=\frac{3}{16},\mathrm{Var}(V)=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{4}.$$

又因为

$$E(UV)=P(UV=1)=P(U=1,V=1)=P(X>Y,X>2Y)=P(X>2Y)=P(V=1)=\frac{1}{2},$$ $$\mathrm{Cov}(U,V)=\frac{1}{2}-\frac{3}{4}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{8}.$$

所以 $U$ 和 $V$ 的相关系数为

$$\mathrm{Corr}(U,V)=\frac{\mathrm{Cov}(U,V)}{\sqrt{\mathrm{Var}(U)}\sqrt{\mathrm{Var}(V)}}=\frac{1/8}{\sqrt{3/16}\sqrt{1/4}}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\mathrm{0.5774.}$$

\FigureThreeSixteen

习题 3.4-36

设二维随机变量 $(X,Y)$ 的联合密度函数如下，试求 $(X,Y)$ 的协方差矩阵： 1.

$$p_1(x,y)=\{\begin{array}{ll}6x{y}^2,& 0<x<1,0<y<1,\\ 0,& \text{其他};\end{array}$$

$$p_2(x,y)=\{\begin{array}{ll}\frac{x+y}{8},& 0<x<2,0<y<2,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$$

解 （1） 因为 $p_1(x,y)$ 可分离变量，所以 $X$ 与 $Y$ 相互独立，由此知 $\mathrm{Cov}(X,Y)=0$.又因为

$$E(X)={\int }_0^1{\int }_0^{1}x\cdot 6x{y}^{2}dxdy=\frac{2}{3},E(X^2)={\int }_0^1{\int }_0^1{x}^2\cdot 6x{y}^{2}dxdy=\frac{1}{2},$$ $$E(Y)={\int }_0^1{\int }_0^{1}y\cdot 6x{y}^{2}dxdy=\frac{3}{4},E(Y^2)={\int }_0^1{\int }_0^1{y}^2\cdot 6x{y}^{2}dxdy=\frac{3}{5},$$

所以

$$\mathrm{Var}(X)=\frac{1}{2}-{\left(\frac{2}{3}\right)}^2=\frac{1}{18},\mathrm{Var}(Y)=\frac{3}{5}-{\left(\frac{3}{4}\right)}^2=\frac{3}{80}.$$

由此得 $(X,Y)$ 的协方差矩阵为

$${\Sigma }_1=\left(\begin{array}{cc}1/18& 0\\ 0& 3/80\end{array}\right).$$

（2） 利用 $p_2(x,y)$ 的对称性可得

$$E(X)=E(Y)={\int }_0^2{\int }_0^{2}x\cdot \frac{x+y}{8}dydx=\frac{7}{6},$$ $$E(X^2)=E(Y^2)={\int }_0^2{\int }_0^2{x}^2\cdot \frac{x+y}{8}dydx=\frac{5}{3},$$

所以

$$\mathrm{Var}(X)=\mathrm{Var}(Y)=\frac{5}{3}-{\left(\frac{7}{6}\right)}^2=\frac{11}{36}.$$

又因为

$$E(XY)={\int }_0^2{\int }_0^{2}xy\cdot \frac{x+y}{8}dydx=\frac{4}{3},$$

所以

$$\mathrm{Cov}(X,Y)=\frac{4}{3}-\frac{49}{36}=-\frac{1}{36}.$$

由此得 $(X,Y)$ 的协方差矩阵为

$${\Sigma }_2=\left(\begin{array}{cc}11/36& -1/36\\ -1/36& 11/36\end{array}\right).$$

习题 3.4-37

设 $a$ 为区间 $(0,1)$ 上的一个定点，随机变量 $X$ 服从区间 $(0,1)$ 上的均匀分布，以 $Y$ 表示点 $X$ 到 $a$ 的距离.问 $a$ 为何值时 $X$ 与 $Y$ 不相关.

解 由题设条件知 $X\sim U(0,1),Y=|X-a|,E(X)=1/2$.又因为

$$E(Y)={\int }_0^1|x-a|dx={\int }_0^a(a-x)dx+{\int }_a^1(x-a)dx=a^2-a+\frac{1}{2},$$ $$E(XY)={\int }_0^{a}x(a-x)dx+{\int }_a^{1}x(x-a)dx=\frac{a^3}{3}-\frac{a}{2}+\frac{1}{3}.$$

所以

$$\mathrm{Cov}(X,Y)=\frac{a^3}{3}-\frac{a^2}{2}+\frac{1}{12}.$$

所以由 $\mathrm{Cov}(X,Y)=0$ 可得方程

$$4a^3-6a^2+1=0,$$

此方程等价于

$$(2a-1)(2a^2-2a-1)=0,$$

从中解得在 $(0,1)$ 内的实根为 $a=0.5$，即 $a=0.5$ 时，$X$ 与 $Y$ 不相关.

习题 3.4-38

设随机变量 $(X_1,X_2,X_3)$ 满足条件

$$a{X}_1+b{X}_2+c{X}_3=0,$$ $$E(X_1)=E(X_2)=E(X_3)=d,$$ $$\mathrm{Var}(X_1)=\mathrm{Var}(X_2)=\mathrm{Var}(X_3)={\sigma }^2.$$

其中 $a,b,c,d,{\sigma }^2$ 均为常数，求相关系数 ${\rho }_{12},{\rho }_{23},{\rho }_{31}$.

解 对等式 $a{X}_1+b{X}_2=-c{X}_3$ 的两边求方差得

$$a^2{\sigma }^2+b^2{\sigma }^2+2ab{\sigma }^2{\rho }_{12}=c^2{\sigma }^2,$$

由此解得

$${\rho }_{12}=\frac{c^2-a^2-b^2}{2ab}.$$

同理，对等式 $a{X}_1+c{X}_3=-b{X}_2$ 的两边求方差可得

$${\rho }_{13}=\frac{b^2-a^2-c^2}{2ac},$$

同理，对等式 $b{X}_2+c{X}_3=-a{X}_1$ 的两边求方差可得

$${\rho }_{23}=\frac{a^2-b^2-c^2}{2bc}.$$

进一步当 $d\ne 0$ 时，对等式 $a{X}_1+b{X}_2+c{X}_3=0$ 的两边求期望得 $(a+b+c)d=0$，所以有

$$a+b+c=0,$$

由此可得

$$c^2=a^2+b^2+2ab,b^2=a^2+c^2+2ac,a^2=b^2+c^2+2bc,$$

将上面三个式子分别代入 ${\rho }_{12},{\rho }_{13},{\rho }_{23}$ 的表达式中，可得

$${\rho }_{12}={\rho }_{13}={\rho }_{23}=1.$$

习题 3.4-39

设随机变量 $X$ 与 $Y$ 都只能取两个值，试证：$X$ 与 $Y$ 的独立性与不相关性是等价的.

解 因为独立必定不相关，所以只需证：若 $X$ 与 $Y$ 不相关，则 $X$ 与 $Y$ 独立.不失一般性，可设 $X$ 与 $Y$ 只取 $0$ 与 $1$ 两个值，否则可设 $X$ 的可能取值为 $a,b$；$Y$ 的可能取值为 $c,d$.又记

$$X_1=\frac{X-a}{b-a},Y_1=\frac{Y-c}{d-c}.$$

所以 $X_1$ 与 $Y_1$ 的可能取值均为 $0,1$.

由 $X$ 与 $Y$ 不相关可得（见前面第 29 题）$X_1$ 与 $Y_1$ 不相关.所以只需证 $X_1$ 与 $Y_1$ 是独立的.记 $(X_1,Y_1)$ 的联合分布列与各自的边际分布如下表所示：

$X_1$	$Y_1$
\cmidrule(lr){2-3}	$0$	$1$
$0$	$p_{11}$	$p_{12}$	$1-\alpha$
$1$	$p_{21}$	$p_{22}$	$\alpha$
	$1-\beta$	$\beta$

由此可得

$$E(X_1)=\alpha ,E(Y_1)=\beta ,E(X_1{Y}_1)=P(X_1=1,Y_1=1)=p_{22}.$$

由 $X_1$ 与 $Y_1$ 的不相关性可得：$p_{22}=\alpha \beta$.将此代入联合分布列与边际分布列的关系式

$$\{\begin{array}{l}{p}_{11}+p_{12}=1-\alpha ,\\ p_{21}+\alpha \beta =\alpha ,\\ p_{11}+p_{21}=1-\beta ,\\ p_{12}+\alpha \beta =\beta ,\end{array}$$

即可得

$$p_{11}=(1-\alpha )(1-\beta ),p_{12}=(1-\alpha )\beta ,p_{21}=\alpha (1-\beta ),p_{22}=\alpha \beta ,$$

即 $X_1$ 与 $Y_1$ 独立，从而证得 $X$ 与 $Y$ 独立.

习题 3.4-40

设随机变量 $X$ 服从区间 $(-0.5,0.5)$ 上的均匀分布，$Y=\cos X$，则 $X$ 与 $Y$ 有函数关系.试求 $\mathrm{Cov}(X,Y)$.

解 因为 $E(X)=0$，所以

$$\mathrm{Cov}(X,Y)=E(XY)=E(X\cos X)={\int }_{-0.5}^{0.5}x\cos xdx=0.$$

即 $X$ 与 $Y$ 不相关.

习题 3.4-41

设二维随机变量 $(X,Y)$ 服从单位圆内的均匀分布，其联合密度函数为

$$p(x,y)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{\pi },& x^2+y^2<1,\\ 0,& x^2+y^2\ge 1.\end{array}$$

试证 $X$ 与 $Y$ 不独立且 $X$ 与 $Y$ 不相关.

解 先求边际密度函数 $p_X(x)$ 和 $p_Y(y)$.

$$p_X(x)={\int }_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}}\frac{1}{\pi }dy=\frac{2}{\pi }\sqrt{1-x^2},-1<x<1,$$ $$p_Y(y)={\int }_{-\sqrt{1-y^2}}^{\sqrt{1-y^2}}\frac{1}{\pi }dx=\frac{2}{\pi }\sqrt{1-y^2},-1<y<1.$$

所以由 $p(x,y)\ne p_X(x)p_Y(y)$，知 $X$ 与 $Y$ 不独立.

又因为 $p_X(x)$ 和 $p_Y(y)$ 在对称区间上是偶函数，故 $E(X)=E(Y)=0$，从而

$$\mathrm{Cov}(X,Y)=E(XY)=\frac{1}{\pi }{\int }_{-1}^1{\int }_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}}xydydx=0,$$

所以 $X$ 与 $Y$ 不相关.

习题 3.4-42

设随机向量 $(X_1,X_2,X_3)$ 的相关系数分别为 ${\rho }_{12},{\rho }_{23},{\rho }_{31}$，证明

$${\rho }_{12}^2+{\rho }_{23}^2+{\rho }_{31}^2\le 1+2{\rho }_{12}{\rho }_{23}{\rho }_{31}.$$

解 记标准化变量为

$$X_i^{\ast }=\frac{X_i-E(X_i)}{\sqrt{\mathrm{Var}(X_i)}},i=1,2,3.$$

因为 $E(X_i^{\ast })=0,\mathrm{Var}(X_i^{\ast })=1$，所以（由前面第 29 题）

$$\mathrm{Corr}(X_i,X_j)=\mathrm{Cov}(X_i^{\ast },X_j^{\ast })=E(X_i^{\ast }{X}_j^{\ast })={\rho }_{ij},i,j=1,2,3,i\ne j.$$

考虑到 ${\rho }_{ij}={\rho }_{ji}$，故 $(X_1^{\ast },X_2^{\ast },X_3^{\ast })$ 的协方差阵的行列式为

$$|\Sigma |=\left|\begin{array}{ccc}1& {\rho }_{12}& {\rho }_{13}\\ {\rho }_{12}& 1& {\rho }_{23}\\ {\rho }_{13}& {\rho }_{23}& 1\end{array}\right|=1+2{\rho }_{12}{\rho }_{23}{\rho }_{13}-{\rho }_{12}^2-{\rho }_{13}^2-{\rho }_{23}^2.$$

再由协方差阵的非负定性，可得

$$1+2{\rho }_{12}{\rho }_{23}{\rho }_{13}-{\rho }_{12}^2-{\rho }_{13}^2-{\rho }_{23}^2\ge 0,$$

移项即得结论.

习题 3.4-43

设随机向量 $(X_1,X_2,X_3)$ 的相关系数分别为 ${\rho }_{12},{\rho }_{23},{\rho }_{31}$，且

$$E(X_1)=E(X_2)=E(X_3)=0,\mathrm{Var}(X_1)=\mathrm{Var}(X_2)=\mathrm{Var}(X_3)={\sigma }^2,$$

令

$$Y_1=X_1+X_2,Y_2=X_2+X_3,Y_3=X_3+X_1.$$

证明：$Y_1,Y_2,Y_3$ 两两不相关的充要条件为 ${\rho }_{12}+{\rho }_{23}+{\rho }_{31}=-1$.

解 充分性：若 ${\rho }_{12}+{\rho }_{23}+{\rho }_{31}=-1$，则

$$\begin{array}{rl}\mathrm{Cov}(Y_1,Y_2)& =\mathrm{Cov}(X_1+X_2,X_2+X_3)\\ & =\mathrm{Cov}(X_1,X_2)+\mathrm{Cov}(X_1,X_3)+\mathrm{Cov}(X_2,X_2)+\mathrm{Cov}(X_2,X_3)\\ & ={\rho }_{12}\sqrt{\mathrm{Var}(X_1)\mathrm{Var}(X_2)}+{\rho }_{13}\sqrt{\mathrm{Var}(X_1)\mathrm{Var}(X_3)}\\ & +{\rho }_{23}\sqrt{\mathrm{Var}(X_2)\mathrm{Var}(X_3)}+\mathrm{Var}(X_2)\\ & ={\sigma }^2({\rho }_{12}+{\rho }_{13}+{\rho }_{23})+{\sigma }^2=-{\sigma }^2+{\sigma }^2=0.\end{array}$$

同理可得

$$\mathrm{Cov}(Y_1,Y_3)=\mathrm{Cov}(Y_2,Y_3)=0,$$

由此得 $Y_1,Y_2,Y_3$ 两两不相关.

必要性：若 $Y_1,Y_2,Y_3$ 两两不相关，则由上面的推导可知

$$\mathrm{Cov}(Y_1,Y_2)={\sigma }^2({\rho }_{12}+{\rho }_{13}+{\rho }_{23})+{\sigma }^2=0,$$

由此得

$${\rho }_{12}+{\rho }_{13}+{\rho }_{23}=-1.$$

习题 3.4-44

设随机变量 $X\sim N(0,1)$，$Y$ 各以 $0.5$ 的概率取值 $\pm 1$，且假定 $X$ 与 $Y$ 相互独立.令 $Z=X\cdot Y$，证明：

1. $Z\sim N(0,1)$；
2. $X$ 与 $Z$ 不相关，但不独立.

解 （1） 由全概率公式可得

$$\begin{array}{rl}{F}_Z(z)=P(XY\le z)& =P(Y=1)P(XY\le z\mid Y=1)+P(Y=-1)P(XY\le z\mid Y=-1)\\ & =P(Y=1)P(X\le z)+P(Y=-1)P(X\ge -z)\\ & =0.5\Phi (z)+0.5(1-\Phi (-z))=\Phi (z),\end{array}$$

所以

$$Z\sim N(0,1).$$

（2） 因为 $E(X)=0,E(Y)=0$，且 $X$ 与 $Y$ 相互独立，所以

$$\mathrm{Cov}(X,Z)=E(X^{2}Y)-E(X)E(XY)=E(X^2)E(Y)-E(X)E(XY)=0,$$

所以 $X$ 与 $Z$ 不相关.为证明 $X$ 与 $Z$ 是不独立的，我们考虑如下特定事件的概率，并对其使用全概率公式

$$\begin{array}{rl}P(X\le 1,XY\ge 1)& =P(Y=1)P(X\le 1,XY\ge 1\mid Y=1)\\ & +P(Y=-1)P(X\le 1,XY\ge 1\mid Y=-1)\\ & =0.5P(X\le 1,X\ge 1)+0.5P(X\le 1,-X\ge 1)\\ & =0.5P(X=1)+0.5P(X\le -1)\\ & =0.5(1-\Phi (1)).\end{array}$$

考虑到 $Z=XY\sim N(0,1)$，故有

$$P(X\le 1)P(XY\ge 1)=\Phi (1)(1-\Phi (1)),$$

而 $\Phi (1)\ne 0.5$，所以

$$P(X\le 1,XY\ge 1)\ne P(X\le 1)P(XY\ge 1),$$

即 $X$ 与 $Z$ 不独立.

习题 3.4-45

设随机变量 $X$ 有密度函数 $p(x)$，且密度函数 $p(x)$ 是偶函数，假定 $E(|X{|}^3)<\infty$.证明：$X$ 与 $Y=X^2$ 不相关，但不独立.

解 因为 $p(x)$ 是偶函数，所以 $E(X)=E(X^3)=0$，从而

$$\mathrm{Cov}(X,X^2)=0,$$

这表明 $X$ 与 $Y=X^2$ 不相关.为证明 $X$ 与 $Y$ 不相互独立，特给定 $a>0$，使得 $P(X\le a)<1$.现考虑如下特定事件的概率

$$P(X\le a,X^2\le a^2)=P(-a\le X\le a)P(X\le a)P(-a\le X\le a)=P(X\le a)P(X^2\le a^2),$$

所以 $X$ 与 $Y=X^2$ 不独立.

习题 3.4-46

设二维随机向量 $(X,Y)$ 服从二维正态分布，且

$$E(X)=E(Y)=0,E(XY)<0.$$

证明：对任意正常数 $a,b$ 有

$$P(X\ge a,Y\ge b)\le P(X\ge a)P(Y\ge b).$$

解 记 $(X,Y)\sim N(0,0,{\sigma }_1^2,{\sigma }_2^2,\rho )$，则

$$P(X\ge a,Y\ge b)=\frac{1}{2\pi {\sigma }_1{\sigma }_2\sqrt{1-{\rho }^2}}{\int }_a^{\infty }{\int }_b^{\infty }\exp \left\{-\frac{1}{2(1-{\rho }^2)}\left(\frac{x^2}{{\sigma }_1^2}+\frac{y^2}{{\sigma }_2^2}-\frac{2\rho xy}{{\sigma }_1{\sigma }_2}\right)\right\}dydx.$$

由条件知 $\rho <0$，所以

$$\exp \left\{\frac{2\rho xy}{2(1-{\rho }^2){\sigma }_1{\sigma }_2}\right\}\le 1,$$

由此得

$$P(X\ge a,Y\ge b)\le \frac{1}{2\pi {\sigma }_1{\sigma }_2\sqrt{1-{\rho }^2}}{\int }_a^{\infty }{\int }_b^{\infty }\exp \left\{-\frac{1}{2(1-{\rho }^2)}\left(\frac{x^2}{{\sigma }_1^2}+\frac{y^2}{{\sigma }_2^2}\right)\right\}dydx.$$

令

$$u=\frac{x}{\sqrt{1-{\rho }^2}},v=\frac{y}{\sqrt{1-{\rho }^2}},$$

则 $dydx=(1-{\rho }^2)dvdu$，所以

$$P(X\ge a,Y\ge b)\le \frac{\sqrt{1-{\rho }^2}}{2\pi {\sigma }_1{\sigma }_2}{\int }_{a^{\prime }}^{\infty }{\int }_{b^{\prime }}^{\infty }\exp \left(-\frac{u^2}{2{\sigma }_1^2}-\frac{v^2}{2{\sigma }_2^2}\right)dvdu,$$

其中

$$a^{\prime }=\frac{a}{\sqrt{1-{\rho }^2}},b^{\prime }=\frac{b}{\sqrt{1-{\rho }^2}}.$$

又由 ${\rho }^2\le 1$，知

$$P(X\ge a,Y\ge b)\le \frac{1}{2\pi {\sigma }_1{\sigma }_2}{\int }_{a^{\prime }}^{\infty }{\int }_{b^{\prime }}^{\infty }\exp \left(-\frac{u^2}{2{\sigma }_1^2}-\frac{v^2}{2{\sigma }_2^2}\right)dvdu=P(U\ge a^{\prime })P(V\ge b^{\prime })=P(X\ge a)P(Y\ge b).$$

这就完成不等式的证明.

习题 3.4-47

设随机向量 $(X,Y)$ 满足

$$E(X)=E(Y)=0,\mathrm{Var}(X)=\mathrm{Var}(Y)=1,\mathrm{Cov}(X,Y)=\rho .$$

证明：

$$E(\max \{X^2,Y^2\})\le 1+\sqrt{1-{\rho }^2}.$$

解 由 $E(X)=E(Y)=0,E(X^2)=E(Y^2)=1$，知 $\mathrm{Corr}(X,Y)=E(XY)=\rho$，所以

$$\begin{array}{rl}E(\max \{X^2,Y^2\})& =\frac{1}{2}E(X^2+Y^2+|X^2-Y^2|)\\ & =1+\frac{1}{2}E(|X^2-Y^2|)\\ & =1+\frac{1}{2}E(|X-Y||X+Y|)\\ & \le 1+\frac{1}{2}\sqrt{E|X+Y{|}^2\cdot E|X-Y{|}^2}\\ & \le 1+\frac{1}{2}\sqrt{[E(X^2)+E(Y^2)+2E(XY)][E(X^2)+E(Y^2)-2E(XY)]}\\ & =1+\frac{1}{2}\sqrt{4-4{\rho }^2}=1+\sqrt{1-{\rho }^2}.\end{array}$$

习题 3.4-48

设随机变量 $X_1,X_2,\dots ,X_n$ 中任意两个的相关系数都是 $\rho$，试证：$\rho \ge -\frac{1}{n-1}$.

解 因为

$$0\le E{\left[\sum _{i=1}^n(X_i-E(X_i))\right]}^2$$ $$=\sum _{i=1}^n\mathrm{Var}(X_i)+2\rho \sum _{1\le i<j\le n}\sqrt{\mathrm{Var}(X_i)}\sqrt{\mathrm{Var}(X_j)}$$ $$\le \sum _{i=1}^n\mathrm{Var}(X_i)+\rho \sum _{1\le i<j\le n}[\mathrm{Var}(X_i)+\mathrm{Var}(X_j)]$$ $$=\sum _{i=1}^n\mathrm{Var}(X_i)[1+\rho (n-1)],$$

所以 $1+\rho (n-1)\ge 0$，由此得

$$\rho \ge -\frac{1}{n-1}.$$

习题 3.4-49

设 $X_1,X_2,\dots ,X_n$ 是独立同分布的正值随机变量，证明：

$$E\left(\frac{X_1+X_2+\cdots +X_k}{X_1+X_2+\cdots +X_n}\right)=\frac{k}{n}(k\le n).$$

解 记

$$Y_j=\frac{X_j}{{\sum }_{i=1}^n{X}_i},$$

则 $Y_j$ 同分布，且由 $|Y_j|\le 1$，知 $E(Y_j)$ 存在且相等，$j=1,2,\dots ,n$.又因为

$$1=E\left(\sum _{j=1}^n{Y}_j\right)=nE(Y_1),$$

所以有

$$E(Y_j)=\frac{1}{n},j=1,2,\dots ,n.$$

由此得

$$E\left(\frac{X_1+X_2+\cdots +X_k}{X_1+X_2+\cdots +X_n}\right)=E(Y_1+Y_2+\cdots +Y_k)=kE(Y_1)=\frac{k}{n}.$$

补充习题及解答

补充习题 50

设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立，且方差存在.证明：

$$\mathrm{Var}(XY)=\mathrm{Var}(X)\cdot \mathrm{Var}(Y)+[E(X){]}^2\mathrm{Var}(Y)+[E(Y){]}^2\mathrm{Var}(X).$$

解

$$\begin{array}{rl}\mathrm{Var}(XY)& =E(X^2{Y}^2)-[E(XY){]}^2\\ & =E(X^2)\cdot E(Y^2)-[E(X){]}^2[E(Y){]}^2\\ & =[\mathrm{Var}(X)+[E(X){]}^2\left]\right[\mathrm{Var}(Y)+[E(Y){]}^2]-[E(X){]}^2[E(Y){]}^2\\ & =\mathrm{Var}(X)\cdot \mathrm{Var}(Y)+\mathrm{Var}(X)[E(Y){]}^2+\mathrm{Var}(Y)[E(X){]}^2.\end{array}$$

讨论：

（1） 若 $E(X)=E(Y)=0$，则有

$$\mathrm{Var}(XY)=\mathrm{Var}(X)\mathrm{Var}(Y).$$

（2） 若 $E(X)={\mu }_1,E(Y)={\mu }_2$，则有

$$\mathrm{Var}[(X-{\mu }_1)(Y-{\mu }_2)]=\mathrm{Var}(X-{\mu }_1)\mathrm{Var}(Y-{\mu }_2).$$

（3） 一般场合下，若 $E(X_i)={\mu }_i,i=1,2,\dots ,n$，则有

$$\mathrm{Var}\left[\prod _{i=1}^n(X_i-{\mu }_i)\right]=\prod _{i=1}^n\mathrm{Var}(X_i).$$

补充习题 51

设 $(X_1,X_2,\dots ,X_n)$ 为 $n$ 维随机变量，其协方差矩阵 $B=(b_{ij})$ 存在.证明：若 $|B|=0$，则以概率 $1$ 在各分量之间存在线性关系，即存在一组不全为零的实数 $c_1,c_2,\dots ,c_n$，使得

$$P(c_1{X}_1+c_2{X}_2+\cdots +c_n{X}_n=\text{常数})=1.$$

解 由于 $|B|=0$ 意味着 $B$ 非满秩，故存在一组不全为零的实数向量

$$C^T=(c_1,c_2,\dots ,c_n),$$

使得 $C^{T}BC=0$.

另一方面，

$$\begin{array}{rl}{C}^{T}BC& =\sum _{1\le i,j\le n}{c}_i{c}_{j}E[(X_i-E(X_i))(X_j-E(X_j))]\\ & =E\left\{\sum _{1\le i,j\le n}[c_i{X}_i-E(c_i{X}_i)][c_j{X}_j-E(c_j{X}_j)]\right\}\\ & =E{\left\{\sum _{i=1}^n[c_i{X}_i-E(c_i{X}_i)]\right\}}^2=\mathrm{Var}\left(\sum _{i=1}^n{c}_i{X}_i\right).\end{array}$$

方差为零的随机变量必几乎处处为常数，故存在常数 $a$，使得

$$P(c_1{X}_1+c_2{X}_2+\cdots +c_n{X}_n=a)=1.$$

补充习题 52

设随机变量 $X_1,X_2,\dots ,X_n$ 相互独立、同服从 $N(0,1)$，证明：

$$U=\sum _{i=1}^n{a}_i{X}_i,V=\sum _{i=1}^n{b}_i{X}_i$$

相互独立的充要条件为

$$\sum _{i=1}^n{a}_i{b}_i=0,$$

其中诸 $a_i$ 与 $b_i$ 均为实数.

解 由于正态随机变量的线性组合仍为正态变量，而两个正态变量相互独立的充要条件是其协方差为 $0$，即 $\mathrm{Cov}(U,V)=0$，如今已知 $E(U)=E(V)=0$，故 $\mathrm{Cov}(U,V)=0$ 的充要条件为 $E(UV)=0$，实际上

$$\begin{array}{rl}E(UV)& =E\left(\sum _{i=1}^n{a}_i{X}_i\right)\left(\sum _{j=1}^n{b}_j{X}_j\right)\\ & =E\left(\sum _{i=1}^n{a}_i{b}_i{X}_i^2\right)+E\left(\sum _{i\ne j}{a}_i{b}_j{X}_i{X}_j\right)=\sum _{i=1}^n{a}_i{b}_i.\end{array}$$

这表明：$U$ 与 $V$ 相互独立的充要条件是

$$\sum _{i=1}^n{a}_i{b}_i=0.$$

应用：在 $n=2$ 场合，该命题表明 $X_1+X_2$ 与 $X_1-X_2$ 相互独立；$X_1+2X_2$ 与 $2X_1-X_2$ 独立，但 $X_1+2X_2$ 与 $2X_1+X_2$ 相依.

考虑：对一般正态分布 $N(\mu ,{\sigma }^2)$，上述命题是否仍成立？