§3.2 边际分布与随机变量的独立性

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正文部分

§3.2 边际分布与随机变量的独立性

1. 边际分布函数 若二维随机变量 $(X,Y)$ 的联合分布函数为 $F(x,y)$，则称

$$F_X(x)=F(x,\infty )=\underset{y\to \infty }{\lim }F(x,y),-\infty <x<\infty$$

为 $X$ 的边际分布，称

$$F_Y(y)=F(\infty ,y)=\underset{x\to \infty }{\lim }F(x,y),-\infty <y<\infty$$

为 $Y$ 的边际分布。

1. 边际分布列 若二维离散随机变量 $(X,Y)$ 的联合分布列为 $\{p_{ij}\}$，则称

$$p_{i\cdot }=\sum _{j=1}^{\infty }{p}_{ij},i=1,2,\cdots$$

为 $X$ 的边际分布列。称

$$p_{\cdot j}=\sum _{i=1}^{\infty }{p}_{ij},j=1,2,\cdots$$

为 $Y$ 的边际分布列。

1. 边际密度函数 若二维连续随机变量 $(X,Y)$ 的联合密度函数为 $p(x,y)$，则称

$$p_X(x)={\int }_{-\infty }^{\infty }p(x,y)dy,-\infty <x<\infty$$

为 $X$ 的边际密度函数，称

$$p_Y(y)={\int }_{-\infty }^{\infty }p(x,y)dx,-\infty <y<\infty$$

为 $Y$ 的边际密度函数。

1. 一些注意点
2. 由高维联合分布可以获得低维的边际分布，反之不一定。
3. 不同的联合分布可以有相同边际分布。
4. 多项分布的边际分布仍为低维的多项分布或二项分布。
5. 二维正态分布的边际分布为一维正态分布。
6. 随机变量间的独立性
7. 设 $n$ 维随机变量 $(X_1,X_2,\cdots ,X_n)$ 的联合分布函数为

$$F(x_1,x_2,\cdots ,x_n),$$

且 $F_i(x_i)$ 为 $X_i$ 的边际分布函数。若对任意 $n$ 个实数 $x_1,x_2,\cdots ,x_n$，有

$$F(x_1,x_2,\cdots ,x_n)=\prod _{i=1}^n{F}_i(x_i),$$

则称 $X_1,X_2,\cdots ,X_n$ 相互独立。

1. 设 $n$ 维离散随机变量 $(X_1,X_2,\cdots ,X_n)$ 的联合分布列为

$$P(X_1=x_1,X_2=x_2,\cdots ,X_n=x_n),$$

且 $P(X_i=x_i)$ 为 $X_i$ 的边际分布列，$i=1,2,\cdots ,n$。若对其任意 $n$ 个取值 $x_1,x_2,\cdots ,x_n$，有

$$P(X_1=x_1,X_2=x_2,\cdots ,X_n=x_n)=\prod _{i=1}^{n}P(X_i=x_i),$$

则称 $X_1,X_2,\cdots ,X_n$ 相互独立。

1. 设 $n$ 维连续随机变量 $(X_1,X_2,\cdots ,X_n)$ 的联合密度函数为

$$p(x_1,x_2,\cdots ,x_n),$$

且 $p_i(x_i)$ 为 $X_i$ 的边际密度函数。若对任意 $n$ 个实数 $x_1,x_2,\cdots ,x_n$，有

$$p(x_1,x_2,\cdots ,x_n)=\prod _{i=1}^n{p}_i(x_i),$$

则称 $X_1,X_2,\cdots ,X_n$ 相互独立。

1. 一些注意点
2. 多维随机变量间相互独立，必导致其部分随机变量与另一部分随机变量相互独立。
3. 多维随机变量相互独立，其联合分布可由其边际分布唯一确定。
4. 多维随机变量间的独立性可以从定义出发加以判别，也可从实际背景加以判别。
5. 多维随机变量间的独立性假设，可给理论研究和实际运用带来很多方便之处。

习题与解答 3.2

习题 3.2-1

设二维离散随机变量 $(X,Y)$ 的可能取值为

$$(0,0),(-1,1),(-1,2),(1,0),$$

且取这些值的概率依次为 $1/6,1/3,1/12,5/12$，试求 $X$ 与 $Y$ 各自的边际分布列。

解 由题设条件知，$(X,Y)$ 的联合分布列为

$$\begin{array}{cccc}X\backslash Y& 0& 1& 2\\ -1& 0& \frac{1}{3}& \frac{1}{12}\\ 0& \frac{1}{6}& 0& 0\\ 1& \frac{5}{12}& 0& 0\end{array}$$

在上面表格中按行相加，得 $X$ 的边际分布列；按列相加，得 $Y$ 的边际分布列，即

$$\begin{array}{cccc}X& -1& 0& 1\\ P& \frac{5}{12}& \frac{1}{6}& \frac{5}{12}\end{array}\begin{array}{cccc}Y& 0& 1& 2\\ P& \frac{7}{12}& \frac{1}{3}& \frac{1}{12}\end{array}$$

习题 3.2-2

设二维随机变量 $(X,Y)$ 的联合分布函数为

$$F(x,y)=\{\begin{array}{ll}1-e^{-{\lambda }_{1}x}-e^{-{\lambda }_{2}y}+e^{-{\lambda }_{1}x-{\lambda }_{2}y-{\lambda }_{12}\max \{x,y\}},& x>0,y>0,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$$

试求 $X$ 和 $Y$ 各自的边际分布函数。

解 因为

$$\underset{y\to \infty }{\lim }\left\{1-e^{-{\lambda }_{1}x}-e^{-{\lambda }_{2}y}+e^{-{\lambda }_{1}x-{\lambda }_{2}y-{\lambda }_{12}\max \{x,y\}}\right\}=1-e^{-{\lambda }_{1}x},$$ $$\underset{x\to \infty }{\lim }\left\{1-e^{-{\lambda }_{1}x}-e^{-{\lambda }_{2}y}+e^{-{\lambda }_{1}x-{\lambda }_{2}y-{\lambda }_{12}\max \{x,y\}}\right\}=1-e^{-{\lambda }_{2}y},$$

所以 $X$ 和 $Y$ 各自的边际分布函数为

$$F_X(x)=F(x,\infty )=\underset{y\to \infty }{\lim }F(x,y)=\{\begin{array}{ll}1-e^{-{\lambda }_{1}x},& x>0,\\ 0,& \text{其他},\end{array}$$ $$F_Y(y)=F(\infty ,y)=\underset{x\to \infty }{\lim }F(x,y)=\{\begin{array}{ll}1-e^{-{\lambda }_{2}y},& y>0,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$$

可见，这两个边际分布都是指数分布，但这两个分布对应的随机变量不相互独立。

习题 3.2-3

试求以下二维均匀分布的边际分布：

$$p(x,y)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{\pi },& x^2+y^2\le 1,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$$

解 因为在 $p(x,y)$ 的非零区域内，当 $-1<x<1$ 时，有

$$-\sqrt{1-x^2}<y<\sqrt{1-x^2},$$

所以当 $-1<x<1$ 时，有

$$p_X(x)={\int }_{-\infty }^{\infty }p(x,y)dy={\int }_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}}\frac{1}{\pi }dy=\frac{2}{\pi }\sqrt{1-x^2},$$

所以 $X$ 的边际密度函数为

$$p_X(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{2}{\pi }\sqrt{1-x^2},& -1<x<1,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$$

又因为在 $p(x,y)$ 的非零区域内，当 $-1<y<1$ 时，有

$$-\sqrt{1-y^2}<x<\sqrt{1-y^2},$$

所以当 $-1<y<1$ 时，有

$$p_Y(y)={\int }_{-\infty }^{\infty }p(x,y)dx={\int }_{-\sqrt{1-y^2}}^{\sqrt{1-y^2}}\frac{1}{\pi }dx=\frac{2}{\pi }\sqrt{1-y^2},$$

所以 $Y$ 的边际密度函数为

$$p_Y(y)=\{\begin{array}{ll}\frac{2}{\pi }\sqrt{1-y^2},& -1<y<1,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$$

可见，这两个随机变量不相互独立。

习题 3.2-4

设平面区域 $D$ 由曲线 $y=1/x$ 及直线 $y=0,x=1,x=e^2$ 所围成，二维随机变量 $(X,Y)$ 在区域 $D$ 上服从均匀分布，试求 $X$ 的边际密度函数。

解 因为区域 $D$ 的面积为（如图 $3.7$）

$$S_D={\int }_1^{e^2}{\int }_0^{1/x}dydx={\int }_1^{e^2}\frac{1}{x}dx=(\ln x){|}_1^{e^2}=2.$$

又因为 $(X,Y)$ 服从 $D$ 上的均匀分布，所以 $(X,Y)$ 的联合密度函数为

$$p(x,y)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{2},& 1<x<e^2,0<y<1/x,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$$

由此得，当 $1<x<e^2$ 时，

$$p_X(x)={\int }_{-\infty }^{\infty }p(x,y)dy={\int }_0^{1/x}\frac{1}{2}dy=\frac{1}{2x}.$$

所以 $X$ 的边际密度函数为

$$p_X(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{2x},& 1<x<e^2,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$$

若此题要求出 $Y$ 的边际密度，则从图 $3.7$ 中可以看出：当 $0<y<e^{-2}$ 时，有

$$p_Y(y)={\int }_1^{e^2}\frac{1}{2}dx=\frac{1}{2}(e^2-1).$$

当 $e^{-2}<y<1$ 时，有

$$p_Y(y)={\int }_1^{1/y}\frac{1}{2}dx=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{y}-1\right).$$

所以 $Y$ 的边际密度函数为

$$p_Y(y)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{2}(e^2-1),& 0<y<e^{-2},\\ \frac{1}{2}\left(\frac{1}{y}-1\right),& e^{-2}<y<1,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$$

\FigureThreeSeven

习题 3.2-5

求以下给出的 $(X,Y)$ 的联合密度函数的边际密度函数 $p_X(x)$ 和 $p_Y(y)$： 1.

$$p(x,y)=\{\begin{array}{ll}{e}^{-y},& 0<x<y,\\ 0,& \text{其他};\end{array}$$

$$p(x,y)=\{\begin{array}{ll}\frac{5}{4}(x^2+y),& 0<y<1-x^2,\\ 0,& \text{其他};\end{array}$$

$$p(x,y)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{x},& 0<y<x<1,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$$

解 \text{（1）} 当 $x>0$ 时，有

$$p_X(x)={\int }_x^{\infty }{e}^{-y}dy=e^{-x},$$

所以 $X$ 的边际密度函数为

$$p_X(x)=\{\begin{array}{ll}{e}^{-x},& x>0,\\ 0,& \text{其他},\end{array}$$

这是指数分布 $Exp(1)$。

而当 $y>0$ 时，有

$$p_Y(y)={\int }_0^y{e}^{-y}dx=y{e}^{-y},$$

所以 $Y$ 的边际密度函数为

$$p_Y(y)=\{\begin{array}{ll}y{e}^{-y},& y>0,\\ 0,& \text{其他},\end{array}$$

这是伽马分布 $Ga(2,1)$。

\text{（2）} 因为 $p(x,y)$ 的非零区域为图 $3.8$ 阴影部分，所以当 $-1<x<1$ 时，有

$$\begin{array}{rl}{p}_X(x)& ={\int }_0^{1-x^2}\frac{5}{4}(x^2+y)dy\\ & =\frac{5}{4}{x}^2(1-x^2)+\frac{5}{8}(1-x^2{)}^2=\frac{5}{8}(1-x^4),\end{array}$$

所以 $X$ 的边际密度函数为

$$p_X(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{5}{8}(1-x^4),& -1<x<1,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$$

又因为当 $0<y<1$ 时，有

$$\begin{array}{rl}{p}_Y(y)& ={\int }_{-\sqrt{1-y}}^{\sqrt{1-y}}\frac{5}{4}(x^2+y)dx\\ & ={\left[\frac{5}{12}{x}^3\right]}_{-\sqrt{1-y}}^{\sqrt{1-y}}+\frac{10}{4}y\sqrt{1-y}\\ & =\frac{5}{6}\sqrt{1-y}(1+2y),\end{array}$$

所以 $Y$ 的边际密度函数为

$$p_Y(y)=\{\begin{array}{ll}\frac{5}{6}\sqrt{1-y}(1+2y),& 0<y<1,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$$

\FigureThreeEight

\text{（3）} 当 $0<x<1$ 时，

$$p_X(x)={\int }_0^x\frac{1}{x}dy=1,$$

所以 $X$ 的边际密度函数为

$$p_X(x)=\{\begin{array}{ll}1,& 0<x<1,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$$

又当 $0<y<1$ 时，

$$p_Y(y)={\int }_y^1\frac{1}{x}dx=-\ln y,$$

所以 $Y$ 的边际密度函数为

$$p_Y(y)=\{\begin{array}{ll}-\ln y,& 0<y<1,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$$

习题 3.2-6

设二维随机变量 $(X,Y)$ 的联合密度函数为

$$p(x,y)=\{\begin{array}{ll}6,& 0<x^2<y<x<1,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$$

试求边际密度函数 $p_X(x)$ 和 $p_Y(y)$。

解 因为 $p(x,y)$ 的非零区域如习题与解答 $3.1$ 第 $9$ 题图 $3.2(a)$ 所示，所以当 $0<x<1$ 时，有

$$p_X(x)={\int }_{x^2}^{x}6dy=6(x-x^2),$$

所以 $X$ 的边际密度函数为

$$p_X(x)=\{\begin{array}{ll}6(x-x^2),& 0<x<1,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$$

这是贝塔分布 $Be(2,2)$。

又因为当 $0<y<1$ 时，有

$$p_Y(y)={\int }_y^{\sqrt{y}}6dx=6(\sqrt{y}-y),$$

所以 $Y$ 的边际密度函数为

$$p_Y(y)=\{\begin{array}{ll}6(\sqrt{y}-y),& 0<y<1,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$$

习题 3.2-7

试验证：以下给出的两个不同的联合密度函数，它们有相同的边际密度函数。

$$p(x,y)=\{\begin{array}{ll}x+y,& 0\le x\le 1,0\le y\le 1,\\ 0,& \text{其他};\end{array}$$ $$g(x,y)=\{\begin{array}{ll}(0.5+x)(0.5+y),& 0\le x\le 1,0\le y\le 1,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$$

解 因为当 $0<x<1$ 时，有

$$p_X(x)={\int }_0^{1}p(x,y)dy={\int }_0^1(x+y)dy=x+0.5,$$ $$g_X(x)={\int }_0^{1}g(x,y)dy={\int }_0^1(0.5+x)(0.5+y)dy=x+\mathrm{0.5.}$$

又因为当 $0<y<1$ 时，有

$$p_Y(y)={\int }_0^{1}p(x,y)dx={\int }_0^1(x+y)dx=y+0.5,$$ $$g_Y(y)={\int }_0^{1}g(x,y)dx={\int }_0^1(0.5+x)(0.5+y)dx=y+\mathrm{0.5.}$$

所以 $p(x,y)$ 与 $g(x,y)$ 有相同的边际密度函数。

习题 3.2-8

设随机变量 $X$ 和 $Y$ 独立同分布，且

$$P(X=-1)=P(Y=-1)=P(X=1)=P(Y=1)=\frac{1}{2}.$$

试求 $P(X=Y)$。

解 利用独立性可得

$$\begin{array}{rl}P(X=Y)& =P(X=-1,Y=-1)+P(X=1,Y=1)\\ & =P(X=-1)P(Y=-1)+P(X=1)P(Y=1)\\ & =\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\mathrm{0.5.}\end{array}$$

习题 3.2-9

甲、乙两人独立地各进行两次射击，假设甲的命中率为 $0.2$，乙的命中率为 $0.5$，以 $X$ 和 $Y$ 分别表示甲和乙的命中次数，试求 $P(X\le Y)$。

解 因为当 $i=0,1,2$，$j=0,1,2$ 时，有

$$P(X=i,Y=j)=P(X=i)P(Y=j)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{i}\right)0.2^{i}0.8^{2-i}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{j}\right)0.5^{j}0.5^{2-j},$$

所以 $(X,Y)$ 的联合分布列为

$$\begin{array}{cccc}X\backslash Y& 0& 1& 2\\ 0& 0.16& 0.32& 0.16\\ 1& 0.08& 0.16& 0.08\\ 2& 0.01& 0.02& 0.01\end{array}$$

由此得

$$P(X\le Y)=0.16+0.32+0.16+0.16+0.08+0.01=\mathrm{0.89.}$$

习题 3.2-10

设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立，其联合分布列为

$$\begin{array}{cccc}& y_1& y_2& y_3\\ x_1& a& \frac{1}{9}& c\\ x_2& \frac{1}{9}& b& \frac{1}{3}\end{array}$$

试求联合分布列中的 $a,b,c$。

解 先对联合分布列按行、按列求和，求出边际分布列如下：

$$\begin{array}{ccccc}X\backslash Y& y_1& y_2& y_3& P(X=x_i)\\ x_1& a& \frac{1}{9}& c& a+c+\frac{1}{9}\\ x_2& \frac{1}{9}& b& \frac{1}{3}& b+\frac{4}{9}\\ P(Y=y_j)& a+\frac{1}{9}& b+\frac{1}{9}& c+\frac{1}{3}& 1\end{array}$$

由 $X$ 与 $Y$ 的独立性，从上表的第 $2$ 行、第 $2$ 列知

$$b=\left(b+\frac{4}{9}\right)\left(b+\frac{1}{9}\right),$$

从中解得

$$b=\frac{2}{9}.$$

再从上表的第 $2$ 行、第 $1$ 列知

$$\frac{1}{9}=\left(b+\frac{4}{9}\right)\left(a+\frac{1}{9}\right),$$

从中解得

$$a=\frac{1}{18}.$$

最后由联合分布列的正规性知

$$a+b+c=\frac{4}{9},$$

由此得

$$c=\frac{1}{6}.$$

习题 3.2-11

设 $X$ 与 $Y$ 是两个相互独立的随机变量，$X\sim U(0,1)$，$Y\sim Exp(1)$。试求

1. $X$ 与 $Y$ 的联合密度函数；
2. $P(Y\le X)$；
3. $P(X+Y\le 1)$。

解 \text{（1）} 因为 $X$ 与 $Y$ 的密度函数分别为

$$p_X(x)=\{\begin{array}{ll}1,& 0<x<1,\\ 0,& \text{其他},\end{array}{p}_Y(y)=\{\begin{array}{ll}{e}^{-y},& y>0,\\ 0,& \text{其他},\end{array}$$

所以由 $X$ 与 $Y$ 的独立性知，$X$ 与 $Y$ 的联合密度函数为

$$p(x,y)=p_X(x)p_Y(y)=\{\begin{array}{ll}{e}^{-y},& 0<x<1,y>0,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$$

\text{（2）}

$$\begin{array}{rl}P(Y\le X)& ={\int }_0^1{\int }_0^x{e}^{-y}dydx\\ & ={\int }_0^1(1-e^{-x})dx=1-\left(-e^{-x}\right){|}_0^1=e^{-1}.\end{array}$$

\text{（3）}

$$\begin{array}{rl}P(X+Y\le 1)& ={\int }_0^1{\int }_0^{1-x}{e}^{-y}dydx\\ & ={\int }_0^1\left[1-e^{-(1-x)}\right]dx\\ & =1-\left(e^{x-1}\right){|}_0^1=e^{-1}.\end{array}$$

习题 3.2-12

设随机变量 $(X,Y)$ 的联合密度函数为

$$p(x,y)=\{\begin{array}{ll}3x,& 0<y<x<1,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$$

试求：

1. 边际密度函数 $p_X(x)$ 和 $p_Y(y)$；
2. $X$ 与 $Y$ 是否独立？

解 \text{（1）} 因为当 $0<x<1$ 时，有

$$p_X(x)={\int }_{-\infty }^{\infty }p(x,y)dy={\int }_0^{x}3xdy=3x^2,$$

所以 $X$ 的边际密度函数为

$$p_X(x)=\{\begin{array}{ll}3x^2,& 0<x<1,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$$

这是贝塔分布 $Be(3,1)$。

又因为当 $0<y<1$ 时，有

$$p_Y(y)={\int }_{-\infty }^{\infty }p(x,y)dx={\int }_y^{1}3xdx=\left(\frac{3}{2}{x}^2\right){|}_y^1=\frac{3}{2}(1-y^2),$$

所以 $Y$ 的边际密度函数为

$$p_Y(y)=\{\begin{array}{ll}\frac{3}{2}(1-y^2),& 0<y<1,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$$

\text{（2）} 因为

$$p(x,y)\ne p_X(x)p_Y(y),$$

所以 $X$ 与 $Y$ 不独立。

习题 3.2-13

设随机变量 $(X,Y)$ 的联合密度函数为

$$p(x,y)=\{\begin{array}{ll}1,& |x|<y,0<y<1,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$$

试求：

1. 边际密度函数 $p_X(x)$ 和 $p_Y(y)$；
2. $X$ 与 $Y$ 是否独立？

解 \text{（1）} 因为 $p(x,y)$ 的非零区域为图 $3.9$ 的阴影部分，所以，当 $-1<x<0$ 时，有

$$p_X(x)={\int }_{-x}^{1}dy=1+x,$$

当 $0<x<1$ 时，有

$$p_X(x)={\int }_x^{1}dy=1-x,$$

因此 $X$ 的边际密度函数为

$$p_X(x)=\{\begin{array}{ll}1+x,& -1<x<0,\\ 1-x,& 0<x<1,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$$

又当 $0<y<1$ 时，有

$$p_Y(y)={\int }_{-y}^{y}dx=2y,$$

因此 $Y$ 的边际密度函数为

$$p_Y(y)=\{\begin{array}{ll}2y,& 0<y<1,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$$

这是贝塔分布 $Be(2,1)$。

\text{（2）} 因为

$$p(x,y)\ne p_X(x)p_Y(y),$$

所以 $X$ 与 $Y$ 不独立。

\FigureThreeNine

习题 3.2-14

设二维随机变量 $(X,Y)$ 的联合密度函数如下，试问 $X$ 与 $Y$ 是否相互独立？ 1.

$$p(x,y)=\{\begin{array}{ll}x{e}^{-(x+y)},& x>0,y>0,\\ 0,& \text{其他};\end{array}$$

1. $p(x,y)=\frac{1}{{\pi }^2(1+x^2)(1+y^2)},-\infty <x,y<\infty ;$

$$p(x,y)=\{\begin{array}{ll}2,& 0<x<y<1,\\ 0,& \text{其他};\end{array}$$

$$p(x,y)=\{\begin{array}{ll}24xy,& 0<x<1,0<y<1,0<x+y<1,\\ 0,& \text{其他};\end{array}$$

$$p(x,y)=\{\begin{array}{ll}12xy(1-x),& 0<x<1,0<y<1,\\ 0,& \text{其他};\end{array}$$

$$p(x,y)=\{\begin{array}{ll}\frac{21}{4}{x}^{2}y,& x^2<y<1,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$$

解 \text{（1）} 当 $x>0$ 时，

$$p_X(x)={\int }_0^{\infty }x{e}^{-(x+y)}dy=x{e}^{-x};$$

而当 $y>0$ 时，

$$p_Y(y)={\int }_0^{\infty }x{e}^{-(x+y)}dx=e^{-y}.$$

所以由

$$p(x,y)=p_X(x)p_Y(y)$$

知 $X$ 与 $Y$ 相互独立。

**注意：**上述状态称为变量 $X$ 与 $Y$ 的密度函数是可分离的，它有两方面含义，一是指

$$p(x,y)=p_X(x)p_Y(y),$$

二是指 $p(x,y)$ 的非零区域亦可分离为两个一维区域的乘积空间。

\text{（2）} 因为

**（3）**当 $0<x<1$ 时，

$$p_X(x)={\int }_x^{1}2\mathrm{d}y=2(1-x);$$

而当 $0<y<1$ 时，

$$p_Y(y)={\int }_0^{y}2\mathrm{d}x=2y.$$

所以由 $p(x,y)\ne p_X(x)p_Y(y)$，知 $X$ 与 $Y$ 不相互独立。实际上，由于 $p(x,y)$ 的非零区域不可分离，就可看出 $X$ 与 $Y$ 不相互独立。

**（4）**当 $0<x<1$ 时，

$$p_X(x)={\int }_0^{1-x}24xy\mathrm{d}y=12x(1-x{)}^2;$$

而当 $0<y<1$ 时，

$$p_Y(y)={\int }_0^{1-y}24xy\mathrm{d}x=12y(1-y{)}^2.$$

所以由 $p(x,y)\ne p_X(x)p_Y(y)$，知 $X$ 与 $Y$ 不相互独立。

**（5）**当 $0<x<1$ 时，

$$p_X(x)={\int }_0^{1}12xy(1-x)\mathrm{d}y=6x(1-x);$$

而当 $0<y<1$ 时，

$$p_Y(y)={\int }_0^{1}12xy(1-x)\mathrm{d}x=2y.$$

所以由 $p(x,y)=p_X(x)p_Y(y)$，知 $X$ 与 $Y$ 相互独立。

**（6）**当 $-1<x<1$ 时，

$$p_X(x)={\int }_{x^2}^1\frac{21}{4}{x}^{2}y\mathrm{d}y=\frac{21}{8}{x}^2(1-x^4);$$

而当 $0<y<1$ 时，

$$p_Y(y)={\int }_{-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}}\frac{21}{4}{x}^{2}y\mathrm{d}x=\frac{7}{2}{y}^{\frac{5}{2}},$$

所以由 $p(x,y)\ne p_X(x)p_Y(y)$，知 $X$ 与 $Y$ 不相互独立。

习题 3.2-15

在长为 $a$ 的线段的中点的两边随机地各选取一点，求两点间的距离小于 $a/3$ 的概率。

解 记 $X$ 为线段中点左边所取点到端点 $0$ 的距离，$Y$ 为线段中点右边所取点到端点 $a$ 的距离，则

$$X\sim U(0,a/2),Y\sim U(a/2,a),$$

且 $X$ 与 $Y$ 相互独立，它们的联合密度函数为

$$p(x,y)=\{\begin{array}{ll}\frac{4}{a^2},& 0<x<\frac{a}{2},\frac{a}{2}<y<a,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$$

而 $p(x,y)$ 的非零区域与

$$\left|y-x\right|<\frac{a}{3}$$

的交集为图 3.10 阴影部分。 \FigureThreeTen

因此，所求概率为

$$P\left(\left|Y-X\right|<\frac{a}{3}\right)={\int }_{a/6}^{a/2}{\int }_{a/2}^{a/3+x}\frac{4}{a^2}\mathrm{d}y\mathrm{d}x=\frac{2}{9}.$$

习题 3.2-16

设二维随机变量 $(X,Y)$ 服从区域

$$D=\{(x,y):a\le x\le b,c\le y\le d\}$$

上的均匀分布，试证：$X$ 与 $Y$ 相互独立。

解 因为 $(X,Y)\sim U(D)$，其中

$$D=\{(x,y):a\le x\le b,c\le y\le d\},$$

所以 $(X,Y)$ 的联合密度函数为

$$p(x,y)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{(b-a)(d-c)},& a\le x\le b,c\le y\le d,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$$

由此得，当 $a\le x\le b$ 时，

$$p_X(x)={\int }_c^{d}p(x,y)\mathrm{d}y=\frac{1}{b-a};$$

当 $c\le y\le d$ 时，

$$p_Y(y)={\int }_a^{b}p(x,y)\mathrm{d}x=\frac{1}{d-c}.$$

由此得

$$p(x,y)=p_X(x)p_Y(y),$$

即 $X$ 与 $Y$ 相互独立。

补充习题及解答

补充习题 17

设二维随机变量 $(X,Y)$ 的联合密度函数为 $p(x,y)$，证明：$X$ 与 $Y$ 相互独立的充要条件是 $p(x,y)$ 可分离变量，即 $p(x,y)=h(x)g(y)$。又问 $h(x)$，$g(y)$ 与边际密度函数有什么关系？

解 记 $X$ 与 $Y$ 的边际密度函数分别为 $p_X(x)$ 和 $p_Y(y)$。必要性是显然的，因为 $X$ 与 $Y$ 相互独立，则

$$p(x,y)=p_X(x)p_Y(y),$$

即 $p(x,y)$ 可分离变量，其中

$$h(x)=p_X(x),g(y)=p_Y(y).$$

下证充分性：因为

$$p(x,y)=h(x)g(y),$$

所以记

$$k_1={\int }_{-\infty }^{\infty }h(x)\mathrm{d}x,k_2={\int }_{-\infty }^{\infty }g(y)\mathrm{d}y.$$

由联合密度函数的正则性，得

$${\int }_{-\infty }^{\infty }{\int }_{-\infty }^{\infty }p(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y={\int }_{-\infty }^{\infty }{\int }_{-\infty }^{\infty }h(x)g(y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y={\int }_{-\infty }^{\infty }h(x)\mathrm{d}x{\int }_{-\infty }^{\infty }g(y)\mathrm{d}y=k_1{k}_2=1.$$

又因为

$$p_X(x)={\int }_{-\infty }^{\infty }p(x,y)\mathrm{d}y=h(x){\int }_{-\infty }^{\infty }g(y)\mathrm{d}y=k_{2}h(x),$$ $$p_Y(y)={\int }_{-\infty }^{\infty }p(x,y)\mathrm{d}x=g(y){\int }_{-\infty }^{\infty }h(x)\mathrm{d}x=k_{1}g(y),$$

由此可得

$$\begin{array}{rl}p(x,y)& =h(x)g(y)=k_1{k}_{2}h(x)g(y)\\ & =[k_{2}h(x)][k_{1}g(y)]=p_X(x)p_Y(y),\end{array}$$

所以 $X$ 与 $Y$ 相互独立。且从以上的证明过程可知：$h(x)$ 与 $p_X(x)$ 相差一个常数因子 $k_2$，$g(y)$ 与 $p_Y(y)$ 也相差一个常数因子 $k_1$，这两个常数因子的乘积为 $1$。