§3.1 多维随机变量及其联合分布

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§3.1 多维随机变量及其联合分布

1. $n$ 维随机变量 若

$$X_1(\omega ),X_2(\omega ),\cdots ,X_n(\omega )$$

是定义在同一个样本空间 $\Omega =\{\omega \}$ 上的 $n$ 个随机变量，则称

$$X(\omega )=(X_1(\omega ),X_2(\omega ),\cdots ,X_n(\omega ))$$

为 $n$ 维随机变量，或 $n$ 元随机变量，或随机向量。

1. 联合分布函数 对任意的 $n$ 个实数 $x_1,x_2,\cdots ,x_n$，$n$ 个事件

$$\{X_1\le x_1\},\{X_2\le x_2\},\cdots ,\{X_n\le x_n\}$$

同时发生的概率

$$F(x_1,x_2,\cdots ,x_n)=P(X_1\le x_1,X_2\le x_2,\cdots ,X_n\le x_n)$$

称为 $n$ 维随机变量 $(X_1,X_2,\cdots ,X_n)$ 的联合分布函数。

二维随机变量 $(X,Y)$ 的联合分布函数

$$F(x,y)=P(X\le x,Y\le y)$$

具有如下四条基本性质：

1. 单调性 $F(x,y)$ 分别对 $x$ 或 $y$ 是单调不减的；
2. 有界性 对任意的 $x$ 和 $y$，有

$$0\le F(x,y)\le 1,$$

且

$$F(-\infty ,y)=F(x,-\infty )=0,F(\infty ,\infty )=1;$$

1. 右连续性 对每个变量都是右连续的，即

$$F(x+0,y)=F(x,y),F(x,y+0)=F(x,y);$$

1. 非负性 对任意的 $a<b,c<d$ 有

$$P(a<X\le b,c<Y\le d)=F(b,d)-F(a,d)-F(b,c)+F(a,c)\ge 0.$$

可以证明：具有上述四条性质的二元函数 $F(x,y)$ 一定是某个二维随机变量的分布函数。注意：事件 $\{X\le x,Y\le y\}$ 常可用平面上的无穷直角区域表示。

1. 联合分布列 若 $(X,Y)$ 只取有限个或可列个数对 $(x_i,y_j)$，则称 $(X,Y)$ 为二维离散随机变量，称

$$p_{ij}=P(X=x_i,Y=y_j),i,j=1,2,\cdots$$

为 $(X,Y)$ 的联合分布列。联合分布列也可用下表格形式表示：

$$\begin{array}{cccccc}X& Y& & & & \\ & y_1& y_2& \cdots & y_j& \cdots \\ x_1& p_{11}& p_{12}& \cdots & p_{1j}& \cdots \\ x_2& p_{21}& p_{22}& \cdots & p_{2j}& \cdots \\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮& \\ x_i& p_{i1}& p_{i2}& \cdots & p_{ij}& \cdots \\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮& \end{array}$$

联合分布列的基本性质：

1. 非负性：

$$p_{ij}\ge 0;$$

1. 正规性：

$$\sum _{i=1}^{\infty }\sum _{j=1}^{\infty }{p}_{ij}=1.$$

1. 联合密度函数 若存在二元非负函数 $p(x,y)$，使得二维随机变量 $(X,Y)$ 的分布函数 $F(x,y)$ 可表示为

$$F(x,y)={\int }_{-\infty }^x{\int }_{-\infty }^{y}p(u,v)dvdu,$$

则称 $(X,Y)$ 为二维连续随机变量，称 $p(x,y)$ 为 $(X,Y)$ 的联合密度函数。

联合密度函数的基本性质：

1. 非负性：

$$p(x,y)\ge 0;$$

1. 正规性：

$${\int }_{-\infty }^{\infty }{\int }_{-\infty }^{\infty }p(x,y)dxdy=1.$$

在 $F(x,y)$ 偏导数存在的点上有

$$p(x,y)=\frac{{\partial }^2}{\partial x\partial y}F(x,y).$$

若 $G$ 为平面上的一个区域，则有

$$P((X,Y)\in G)={\iint }_{G}p(x,y)dxdy.$$

1. 多项分布 在 $n$ 次独立重复试验中，若每次试验有 $r$ 个互不相容的结果：

$$A_1,A_2,\cdots ,A_r,$$

且每次试验中 $A_i$ 发生的概率为

$$p_i=P(A_i),i=1,2,\cdots ,r,p_1+p_2+\cdots +p_r=1,$$

记 $X_i$ 为 $n$ 次独立重复试验中 $A_i$ 出现的次数，$i=1,2,\cdots ,r$，则 $(X_1,X_2,\cdots ,X_r)$ 服从多项分布，又称 $r$ 项分布，记为

$$M(n,p_1,p_2,\cdots ,p_r),$$

其联合分布列为

$$P(X_1=n_1,X_2=n_2,\cdots ,X_r=n_r)=\frac{n!}{n_1!n_2!\cdots n_r!}{p}_1^{n_1}{p}_2^{n_2}\cdots p_r^{n_r},$$

其中

$$n=n_1+n_2+\cdots +n_r.$$

当 $r=2$ 时，即为二项分布。

1. 多维超几何分布 有 $N$ 个对象，共分 $r$ 类，其中第 $i$ 类对象有 $N_i$ 个，

$$N=N_1+N_2+\cdots +N_r.$$

从中随机取出 $n$ 个，若记 $X_i$ 为取出的 $n$ 个对象中第 $i$ 类对象的个数，$i=1,2,\cdots ,r$，则 $(X_1,X_2,\cdots ,X_r)$ 服从 $r$ 维超几何分布，其联合分布列为

$$P(X_1=n_1,X_2=n_2,\cdots ,X_r=n_r)=\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{N_1}{n_1}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{N_2}{n_2}\right)\cdots \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{N_r}{n_r}\right)}{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{N}{n}\right)},$$

其中

$$n_1+n_2+\cdots +n_r=n,n_i\le N_i,i=1,2,\cdots ,r.$$

1. 多维均匀分布 设 $D$ 为 ${\mathbb{R}}^n$ 中的一个有界区域，其度量（平面上的为面积，空间中的为体积等）为 $S_D$，若多维随机变量 $(X_1,X_2,\cdots ,X_n)$ 的联合密度函数为

$$p(x_1,x_2,\cdots ,x_n)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{S_D},& (x_1,x_2,\cdots ,x_n)\in D,\\ 0,& \text{其他},\end{array}$$

则称 $(X_1,X_2,\cdots ,X_n)$ 服从 $D$ 上的多维均匀分布，记为

$$(X_1,X_2,\cdots ,X_n)\sim U(D).$$

1. 二元正态分布 若二维随机变量 $(X,Y)$ 的联合密度函数为

$$p(x,y)=\frac{1}{2\pi {\sigma }_1{\sigma }_2\sqrt{1-{\rho }^2}}\exp \left\{-\frac{1}{2(1-{\rho }^2)}\left[\frac{(x-{\mu }_1{)}^2}{{\sigma }_1^2}-2\rho \frac{(x-{\mu }_1)(y-{\mu }_2)}{{\sigma }_1{\sigma }_2}+\frac{(y-{\mu }_2{)}^2}{{\sigma }_2^2}\right]\right\},$$

其中

$$-\infty <x,y<\infty ,$$

则称 $(X,Y)$ 服从二元正态分布，记为

$$(X,Y)\sim N({\mu }_1,{\mu }_2,{\sigma }_1^2,{\sigma }_2^2,\rho ),$$

其中

$$E(X)={\mu }_1,E(Y)={\mu }_2,\mathrm{Var}(X)={\sigma }_1^2,\mathrm{Var}(Y)={\sigma }_2^2,-1\le \rho \le 1.$$

习题与解答 3.1

习题 3.1-1

$100$ 件产品中有 $50$ 件一等品、$30$ 件二等品、$20$ 件三等品。从中任取 $5$ 件，以 $X,Y$ 分别表示取出的 $5$ 件中一等品、二等品的件数，在以下情况下求 $(X,Y)$ 的联合分布列：

1. 不放回抽取；
2. 有放回抽取。

解 \text{（1）} 这是一个三维超几何分布，若取出的 $5$ 件中有 $i$ 件一等品、$j$ 件二等品，则有 $5-i-j$ 件三等品，所以当

$$i=0,1,\cdots ,5,j=0,1,\cdots ,5,i+j\le 5$$

时，有

$$P(X=i,Y=j)=\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{50}{i}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{30}{j}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{20}{5-i-j}\right)}{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{100}{5}\right)}.$$

用表格形式表示如下：

$$\begin{array}{cccccccc}X\backslash Y& 0& 1& 2& 3& 4& 5& \text{行和}\\ 0& 0.00021& 0.00193& 0.00659& 0.01024& 0.00728& 0.00189& 0.02814\\ 1& 0.00322& 0.02271& 0.05489& 0.05393& 0.01820& 0.00000& 0.15295\\ 2& 0.01855& 0.09274& 0.14156& 0.06606& 0.00000& 0.00000& 0.31891\\ 3& 0.04946& 0.15620& 0.11325& 0.00000& 0.00000& 0.00000& 0.31891\\ 4& 0.06118& 0.09177& 0.00000& 0.00000& 0.00000& 0.00000& 0.15295\\ 5& 0.02814& 0.00000& 0.00000& 0.00000& 0.00000& 0.00000& 0.02814\\ \text{列和}& 0.16076& 0.36535& 0.31629& 0.13023& 0.02548& 0.00189& 1.00000\end{array}$$

1. 行和就是 $X$ 的分布 $h(5,100,50)$（超几何分布）。
2. 列和就是 $Y$ 的分布 $h(5,100,30)$（超几何分布）。
3. $P(X\ge 2,Y\ge 1)=0.66158$。

\text{（2）} 这是一个三项分布，若取出的 $5$ 件中有 $i$ 件一等品、$j$ 件二等品，则有 $5-i-j$ 件三等品，所以当

$$i=0,1,\cdots ,5,j=0,1,\cdots ,5,i+j\le 5$$

时，有

$$P(X=i,Y=j)=\frac{5!}{i!j!(5-i-j)!}0.5^{i}0.3^{j}0.2^{5-i-j}.$$

用表格形式表示如下：

$$\begin{array}{cccccccc}X\backslash Y& 0& 1& 2& 3& 4& 5& \text{行和}\\ 0& 0.00032& 0.00240& 0.00720& 0.01080& 0.00810& 0.00243& 0.03125\\ 1& 0.00400& 0.02400& 0.05400& 0.05400& 0.02025& 0.00000& 0.15625\\ 2& 0.02000& 0.09000& 0.13500& 0.06750& 0.00000& 0.00000& 0.31250\\ 3& 0.05000& 0.15000& 0.11250& 0.00000& 0.00000& 0.00000& 0.31250\\ 4& 0.06250& 0.09375& 0.00000& 0.00000& 0.00000& 0.00000& 0.15625\\ 5& 0.03125& 0.00000& 0.00000& 0.00000& 0.00000& 0.00000& 0.03125\\ \text{列和}& 0.16807& 0.36015& 0.30870& 0.13230& 0.02835& 0.00243& 1.00000\end{array}$$

1. 行和就是 $X$ 的分布 $b(5,0.5)$。
2. 列和就是 $Y$ 的分布 $b(5,0.3)$。
3. $P(X\ge 2,Y\ge 1)=0.09+0.135+0.0675+0.15+0.1125+0.09375=0.64875$。

习题 3.1-2

盒子里装有 $3$ 个黑球、$2$ 个红球、$2$ 个白球，从中任取 $4$ 个，以 $X$ 表示取到黑球的个数，以 $Y$ 表示取到红球的个数，求 $P(X=Y)$。

解

$$\begin{array}{rl}P(X=Y)& =P(X=1,Y=1)+P(X=2,Y=2)\\ & =\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{1}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{1}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{2}\right)}{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{7}{4}\right)}+\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{2}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{2}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{0}\right)}{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{7}{4}\right)}\\ & =\frac{6}{35}+\frac{3}{35}=\frac{9}{35}=\mathrm{0.2571.}\end{array}$$

习题 3.1-3

口袋中有 $5$ 个白球、$8$ 个黑球，从中不放回地一个接一个取出 $3$ 个。若第 $i$ 次取出的是白球，则令 $X_i=1$，否则令 $X_i=0$，$i=1,2,3$。求

1. $(X_1,X_2,X_3)$ 的联合分布列；
2. $(X_1,X_2)$ 的联合分布列。

解 \text{（1）}

$$P(X_1=0,X_2=0,X_3=0)=\frac{8\times 7\times 6}{13\times 12\times 11}=0.1958,$$ $$P(X_1=0,X_2=0,X_3=1)=P(X_1=0,X_2=1,X_3=0)=P(X_1=1,X_2=0,X_3=0)=\frac{8\times 7\times 5}{13\times 12\times 11}=0.1632,$$ $$P(X_1=0,X_2=1,X_3=1)=P(X_1=1,X_2=0,X_3=1)=P(X_1=1,X_2=1,X_3=0)=\frac{5\times 4\times 8}{13\times 12\times 11}=0.0932,$$ $$P(X_1=1,X_2=1,X_3=1)=\frac{5\times 4\times 3}{13\times 12\times 11}=\mathrm{0.0350.}$$

将以上计算结果列表为

$$\begin{array}{cccc}{X}_1& X_2& X_3& P\\ 0& 0& 0& 0.1958\\ 0& 0& 1& 0.1632\\ 0& 1& 0& 0.1632\\ 0& 1& 1& 0.0932\\ 1& 0& 0& 0.1632\\ 1& 0& 1& 0.0932\\ 1& 1& 0& 0.0932\\ 1& 1& 1& 0.0350\end{array}$$

\text{（2）}

$$P(X_1=0,X_2=0)=\frac{8\times 7}{13\times 12}=\frac{14}{39},$$ $$P(X_1=0,X_2=1)=P(X_1=1,X_2=0)=\frac{8\times 5}{13\times 12}=\frac{10}{39},$$ $$P(X_1=1,X_2=1)=\frac{5\times 4}{13\times 12}=\frac{5}{39}.$$

将以上计算结果列表为

$$\begin{array}{ccc}{X}_1\backslash X_2& 0& 1\\ 0& \frac{14}{39}& \frac{10}{39}\\ 1& \frac{10}{39}& \frac{5}{39}\end{array}$$

习题 3.1-4

设随机变量 $X_i$，$i=1,2$ 的分布列如下，且满足 $P(X_1{X}_2=0)=1$，试求 $P(X_1=X_2)$。

$$\begin{array}{cccc}{X}_i& -1& 0& 1\\ P& 0.25& 0.5& 0.25\end{array}$$

解 记 $(X_1,X_2)$ 的联合分布列为

$$\begin{array}{cccc}{X}_1\backslash X_2& -1& 0& 1\\ -1& p_{11}& p_{12}& p_{13}\\ 0& p_{21}& p_{22}& p_{23}\\ 1& p_{31}& p_{32}& p_{33}\end{array}$$

由 $P(X_1{X}_2=0)=1$ 知

$$p_{12}+p_{21}+p_{22}+p_{23}+p_{32}=1,$$

所以

$$p_{11}=p_{13}=p_{31}=p_{33}=0,$$

即

$$\begin{array}{cccc}{X}_1\backslash X_2& -1& 0& 1\\ -1& 0& p_{12}& 0\\ 0& p_{21}& p_{22}& p_{23}\\ 1& 0& p_{32}& 0\end{array}$$

又因为

$$\begin{array}{rl}0.25=P(X_1=-1)& =P(X_1=-1,X_2=-1)+P(X_1=-1,X_2=0)+P(X_1=-1,X_2=1)\\ & =p_{11}+p_{12}+p_{13}=p_{12},\end{array}$$

同理由

$$P(X_1=1)=P(X_2=-1)=P(X_2=1)=0.25$$

可知

$$p_{32}=p_{21}=p_{23}=0.25,$$

即

$$\begin{array}{cccc}{X}_1\backslash X_2& -1& 0& 1\\ -1& 0& 0.25& 0\\ 0& 0.25& p_{22}& 0.25\\ 1& 0& 0.25& 0\end{array}$$

又由分布列的正规性得

$$p_{22}=0,$$

因此

$$P(X_1=X_2)=p_{11}+p_{22}+p_{33}=0.$$

习题 3.1-5

设随机变量 $(X,Y)$ 的联合密度函数为

$$p(x,y)=\{\begin{array}{ll}k(6-x-y),& 0<x<2,2<y<4,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$$

试求

1. 常数 $k$；
2. $P(X<1,Y<3)$；
3. $P(X<1.5)$；
4. $P(X+Y\le 4)$。

解 \text{（1）} 由

$$\begin{array}{rl}{\int }_0^2{\int }_2^{4}k(6-x-y)dydx& =k{\int }_0^2(6-2x)dx\\ & =8k=1,\end{array}$$

解得

$$k=\frac{1}{8}.$$

\text{（2）}

$$\begin{array}{rl}P(X<1,Y<3)& =\frac{1}{8}{\int }_0^1{\int }_2^3(6-x-y)dydx\\ & =\frac{1}{8}{\int }_0^1(3.5-x)dx=\frac{3}{8}.\end{array}$$

\text{（3）}

$$\begin{array}{rl}P(X<1.5)& =\frac{1}{8}{\int }_0^{1.5}{\int }_2^4(6-x-y)dydx\\ & =\frac{1}{8}{\int }_0^{1.5}(6-2x)dx=\frac{27}{32}.\end{array}$$

\text{（4）} $p(x,y)$ 的非零区域与 $\{x+y\le 4\}$ 的交集如图 $3.1$ 的阴影部分，

$$P(X+Y\le 4)=\frac{1}{8}{\int }_0^2{\int }_2^{4-x}(6-x-y)dydx=\frac{1}{8}{\int }_0^2(0.5x^2-4x+6)dx=\frac{2}{3}.$$

\FigureThreeOne

习题 3.1-6

设随机变量 $(X,Y)$ 的联合密度函数为

$$p(x,y)=\{\begin{array}{ll}k{e}^{-(3x+4y)},& x>0,y>0,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$$

试求

1. 常数 $k$；
2. $(X,Y)$ 的联合分布函数 $F(x,y)$；
3. $P(0<X\le 1,0<Y\le 2)$。

解 \text{（1）} 由

$$k{\int }_0^{\infty }{\int }_0^{\infty }{e}^{-(3x+4y)}dxdy=k\left({\int }_0^{\infty }{e}^{-3x}dx\right)\left({\int }_0^{\infty }{e}^{-4y}dy\right)=k\cdot \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{4}=\frac{k}{12}=1,$$

解得

$$k=12.$$

\text{（2）} 当 $x\le 0$ 或 $y\le 0$ 时，有

$$F(x,y)=0.$$

而当 $x>0,y>0$ 时，

$$\begin{array}{rl}F(x,y)& =12{\int }_0^x{\int }_0^y{e}^{-(3t_1+4t_2)}d{t}_{2}d{t}_1\\ & =12{\int }_0^x{e}^{-3t_1}d{t}_1{\int }_0^y{e}^{-4t_2}d{t}_2\\ & =(1-e^{-3x})(1-e^{-4y}).\end{array}$$

所以

$$F(x,y)=\{\begin{array}{ll}(1-e^{-3x})(1-e^{-4y}),& x>0,y>0,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$$

\text{（3）}

$$P(0<X\le 1,0<Y\le 2)=F(1,2)=1-e^{-3}-e^{-8}+e^{-11}=\mathrm{0.9499.}$$

习题 3.1-7

设二维随机变量 $(X,Y)$ 的联合密度函数为

$$p(x,y)=\{\begin{array}{ll}4xy,& 0<x<1,0<y<1,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$$

试求

1. $P(0<X<0.5,0.25<Y<1)$；
2. $P(X=Y)$；
3. $P(X<Y)$；
4. $(X,Y)$ 的联合分布函数。

解 \text{（1）}

$$\begin{array}{rl}P(0<X<0.5,0.25<Y<1)& =4{\int }_0^{0.5}xdx{\int }_{0.25}^{1}ydy\\ & =4\times \frac{1}{8}\times \frac{15}{32}=\frac{15}{64}.\end{array}$$

\text{（2）}

$$P(X=Y)=0.$$

\text{（3）}

$$\begin{array}{rl}P(X<Y)& =4{\int }_0^1{\int }_0^{y}xydxdy\\ & =4{\int }_0^1\frac{1}{2}{y}^{3}dy=4\times \frac{1}{8}=\mathrm{0.5.}\end{array}$$

\text{（4）} $(X,Y)$ 的联合分布函数 $F(x,y)$ 要分如下 $5$ 个区域表示：

$$F(x,y)=\{\begin{array}{ll}0,& x<0,\text{或}y<0,\\ x^2{y}^2,& 0\le x<1,0\le y<1,\\ x^2,& 0\le x<1,1\le y,\\ y^2,& 1\le x,0\le y<1,\\ 1,& x\ge 1,y\ge 1.\end{array}$$

习题 3.1-8

设二维随机变量 $(X,Y)$ 在边长为 $2$、中心为 $(0,0)$ 的正方形区域内服从均匀分布，试求 $P(X^2+Y^2\le 1)$。

解 记

$$D=\{(x,y):-1\le x,y\le 1\},G=\{(x,y):x^2+y^2\le 1\}.$$

因为 $(X,Y)$ 服从 $D$ 上的均匀分布，且 $D$ 的面积

$$S_D=4,$$

$G$ 的面积

$$S_G=\pi ,$$

所以所求概率为

$$P(X^2+Y^2\le 1)=\frac{S_G}{S_D}=\frac{\pi }{4}.$$

习题 3.1-9

设二维随机变量 $(X,Y)$ 的联合密度函数为

$$p(x,y)=\{\begin{array}{ll}k,& 0<x^2<y<x<1,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$$

试求常数 $k$，并求 $P(X>0.5)$ 和 $P(Y<0.5)$。

解 \text{（1）} $p(x,y)$ 的非零区域如图 $3.2(a)$ 阴影部分，由

$$k{\int }_0^1{\int }_{x^2}^{x}dydx=k{\int }_0^1(x-x^2)dx=\frac{k}{6}=1,$$

解得

$$k=6.$$

\text{（2）} $p(x,y)$ 的非零区域与 $\{x>0.5\}$ 的交集为图 $3.2(b)$ 阴影部分，所以

$$\begin{array}{rl}P(X>0.5)& =6{\int }_{0.5}^1{\int }_{x^2}^{x}dydx\\ & =6{\int }_{0.5}^1(x-x^2)dx=\frac{1}{2}.\end{array}$$

又因为 $p(x,y)$ 的非零区域与 $\{y<0.5\}$ 的交集为图 $3.2(c)$ 阴影部分，所以

$$\begin{array}{rl}P(Y<0.5)& =6{\int }_0^{0.5}{\int }_y^{\sqrt{y}}dxdy\\ & =6{\int }_0^{0.5}(\sqrt{y}-y)dy\\ & =\sqrt{2}-\frac{3}{4}=\mathrm{0.6642.}\end{array}$$

\FigureThreeTwo

习题 3.1-10

设二维随机变量 $(X,Y)$ 的联合密度函数为

$$p(x,y)=\{\begin{array}{ll}6(1-y),& 0<x<y<1,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$$

求

1. $P(X>0.5,Y>0.5)$；
2. $P(X<0.5)$；
3. $P(Y<0.5)$；
4. $P(X+Y<1)$。

解 \text{（1）} $p(x,y)$ 的非零区域与 $\{x>0.5,y>0.5\}$ 的交集为图 $3.3(a)$ 阴影部分，所以

$$\begin{array}{rl}P(X>0.5,Y>0.5)& =6{\int }_{0.5}^1{\int }_{0.5}^y(1-y)dxdy\\ & =6{\int }_{0.5}^1(-y^2+1.5y-0.5)dy=\frac{1}{8}.\end{array}$$

\text{（2）} $p(x,y)$ 的非零区域与 $\{x<0.5\}$ 的交集为图 $3.3(b)$ 阴影部分，所以

$$\begin{array}{rl}P(X<0.5)& =6{\int }_0^{0.5}{\int }_x^1(1-y)dydx\\ & =6{\int }_0^{0.5}\left(\frac{1}{2}{x}^2-x+\frac{1}{2}\right)dx=\frac{7}{8}.\end{array}$$

\text{（3）} 又因为 $p(x,y)$ 的非零区域与 $\{y<0.5\}$ 的交集为图 $3.3(c)$ 阴影部分，所以

$$\begin{array}{rl}P(Y<0.5)& =6{\int }_0^{0.5}{\int }_x^{0.5}(1-y)dydx\\ & =6{\int }_0^{0.5}\left(\frac{1}{2}{x}^2-x+\frac{3}{8}\right)dx=\frac{1}{2}.\end{array}$$

\text{（4）} $p(x,y)$ 的非零区域与 $\{x+y<1\}$ 的交集为图 $3.3(d)$ 阴影部分，所以

$$\begin{array}{rl}P(X+Y<1)& =6{\int }_0^{0.5}{\int }_x^{1-x}(1-y)dydx\\ & =6{\int }_0^{0.5}\left(\frac{1}{2}-x\right)dx=\frac{3}{4}.\end{array}$$

\FigureThreeThree

习题 3.1-11

设随机变量 $Y$ 服从参数为 $\lambda =1$ 的指数分布，定义随机变量 $X_k$ 如下：

$$X_k=\{\begin{array}{ll}0,& Y\le k,\\ 1,& Y>k,\end{array}k=1,2.$$

求 $X_1$ 和 $X_2$ 的联合分布列。

解 $(X_1,X_2)$ 的联合分布列共有如下 $4$ 种情况：

$$\begin{array}{rl}P(X_1=0,X_2=0)& =P(Y\le 1,Y\le 2)=P(Y\le 1)\\ & =1-e^{-1}=0.63212,\end{array}$$ $$P(X_1=0,X_2=1)=P(Y\le 1,Y>2)=0,$$ $$\begin{array}{rl}P(X_1=1,X_2=0)& =P(Y>1,Y\le 2)=P(1\le Y\le 2)\\ & =e^{-1}-e^{-2}=0.23254,\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}P(X_1=1,X_2=1)& =P(Y>1,Y>2)=P(Y>2)\\ & =1-P(Y\le 2)=e^{-2}=\mathrm{0.13534.}\end{array}$$

所以 $(X_1,X_2)$ 的联合分布列为

$$\begin{array}{ccc}{X}_1\backslash X_2& 0& 1\\ 0& 0.63212& 0.00000\\ 1& 0.23254& 0.13534\end{array}$$

习题 3.1-12

设二维随机变量 $(X,Y)$ 的联合密度函数为

$$p(x,y)=\{\begin{array}{ll}{x}^2+\frac{xy}{3},& 0<x<1,0<y<2,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$$

求 $P(X+Y\ge 1)$。

解 $p(x,y)$ 的非零区域与 $\{x+y\ge 1\}$ 的交集为图 $3.4$ 阴影部分，所以

$$\begin{array}{rl}P(X+Y\ge 1)& ={\int }_0^1{\int }_{1-x}^2\left(x^2+\frac{xy}{3}\right)dydx\\ & ={\int }_0^1\left(x^{2}y+\frac{x}{6}{y}^2\right){|}_{1-x}^{2}dx\\ & ={\int }_0^1\left(\frac{5}{6}{x}^3+\frac{4}{3}{x}^2+\frac{1}{2}x\right)dx\\ & =\left(\frac{5}{24}{x}^4+\frac{4}{9}{x}^3+\frac{1}{4}{x}^2\right){|}_0^1=\frac{65}{72}.\end{array}$$

\FigureThreeFour

习题 3.1-13

设二维随机变量 $(X,Y)$ 的联合密度函数为

$$p(x,y)=\{\begin{array}{ll}{e}^{-y},& 0<x<y,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$$

试求 $P(X+Y\le 1)$。

解 $p(x,y)$ 的非零区域与 $\{x+y\le 1\}$ 的交集为图 $3.5$ 阴影部分，所以

$$\begin{array}{rl}P(X+Y\le 1)& ={\int }_0^{0.5}{\int }_x^{1-x}{e}^{-y}dydx\\ & ={\int }_0^{0.5}\left(-e^{-y}\right){|}_x^{1-x}dx\\ & ={\int }_0^{0.5}\left(e^{-x}-e^{-(1-x)}\right)dx\\ & =1+e^{-1}-2e^{-0.5}=\mathrm{0.1548.}\end{array}$$

\FigureThreeFive

习题 3.1-14

设二维随机变量 $(X,Y)$ 的联合密度函数为

$$p(x,y)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{2},& 0<x<1,0<y<2,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$$

求 $X$ 与 $Y$ 中至少有一个小于 $0.5$ 的概率。

解 两事件 $\{X<0.5\}$ 与 $\{Y<0.5\}$ 中至少有一个发生的概率为

$$\begin{array}{rl}P(\{X<0.5\}\cup \{Y<0.5\})& =1-P(X\ge 0.5,Y\ge 0.5)\\ & =1-{\int }_{0.5}^1{\int }_{0.5}^2\frac{1}{2}dydx=\frac{5}{8}.\end{array}$$

习题 3.1-15

从 $(0,1)$ 中随机地取两个数，求其积不小于 $3/16$，且其和不大于 $1$ 的概率。

解 设取出的两个数分别为 $X$ 和 $Y$，则 $(X,Y)$ 的联合密度函数为

$$p(x,y)=\{\begin{array}{ll}1,& 0<x<1,0<y<1,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$$

因为 $p(x,y)$ 的非零区域与

$$\left\{xy\ge \frac{3}{16},x+y\le 1\right\}$$

的交集为图 $3.6$ 阴影部分，所以

$$\begin{array}{rl}P\left(XY\ge \frac{3}{16},X+Y\le 1\right)& ={\int }_{1/4}^{3/4}{\int }_{3/(16x)}^{1-x}dydx\\ & ={\int }_{1/4}^{3/4}\left(1-x-\frac{3}{16x}\right)dx\\ & =\left(x-\frac{1}{2}{x}^2-\frac{3}{16}\ln x\right){|}_{1/4}^{3/4}\\ & =\frac{1}{4}-\frac{3}{16}\ln 3=\mathrm{0.0440.}\end{array}$$

\FigureThreeSix

补充习题及解答

补充习题 16

设二维随机变量 $(X,Y)$ 的联合分布函数为 $F(x,y)$，试用 $F(x,y)$ 表示下列概率：

1. $P(a<X\le b,c<Y\le d)$；
2. $P(a\le X<b,c\le Y\le d)$；
3. $P(a\le X\le b,Y<c)$；
4. $P(X=a,Y>b)$；
5. $P(X<-\infty ,Y<\infty )$。

解

1. $P(a<X\le b,c<Y\le d)=F(b,d)-F(b,c)-F(a,d)+F(a,c).$

$$\begin{array}{rl}P(a\le X<b,c\le Y\le d)& =P(X<b,Y\le d)-P(X<b,Y<c)\\ & -P(X<a,Y\le d)+P(X<a,Y<c)\\ & =F(b-0,d)-F(b-0,c-0)-F(a-0,d)+F(a-0,c-0).\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}P(a\le X\le b,Y<c)& =P(X\le b,Y<c)-P(X<a,Y<c)\\ & =F(b,c-0)-F(a-0,c-0).\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}P(X=a,Y>b)& =P(X\le a,Y<\infty )-P(X\le a,Y\le b)\\ & -P(X<a,Y<\infty )+P(X<a,Y\le b)\\ & =F(a,\infty )-F(a,b)-F(a-0,\infty )+F(a-0,b).\end{array}$$

1. $P(X<-\infty ,Y<\infty )=0.$

补充习题 17

一个电子设备含有两个主要元件，分别以 $X$ 和 $Y$ 表示这两个主要元件的寿命（单位：h）。若设其联合分布函数为

$$F(x,y)=\{\begin{array}{ll}0,& x<0\text{或}y<0,\\ 1-e^{-0.01x}-e^{-0.01y}+e^{-0.01(x+y)},& x\ge 0\text{且}y\ge 0,\end{array}$$

试求这两个元件的寿命都超过 $120$ h 的概率。

解 所求概率为

$$\begin{array}{rl}P(X>120,Y>120)& =1-P(\{X\le 120\}\cup \{Y\le 120\})\\ & =1-P(X\le 120)-P(Y\le 120)+P(X\le 120,Y\le 120)\\ & =1-F(120,\infty )-F(\infty ,120)+F(120,120)\\ & =1-(1-e^{-1.2})-(1-e^{-1.2})+(1-2e^{-1.2}+e^{-2.4})\\ & =e^{-2.4}=\mathrm{0.0907.}\end{array}$$

这表明：两个主要元件的寿命都超过 $120$ h 的概率为 $0.0907$。