§2.6 随机变量函数的分布

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正文部分

§2.6 随机变量函数的分布

1. 设连续随机变量 $X$ 的密度函数为 $p_X(x)$，$Y=g(X)$。

（1）若 $y=g(x)$ 严格单调，其反函数 $h(y)$ 有连续导函数，则 $Y=g(X)$ 的密度函数为

$$p_Y(y)=\{\begin{array}{ll}{p}_X[h(y)]|h^{\prime }(y)|,& a<y<b,\\ 0,& \text{其他},\end{array}$$

其中

$$a=\min \{g(-\infty ),g(\infty )\},b=\max \{g(-\infty ),g(\infty )\}.$$

（2）若 $y=g(x)$ 在不相重叠的区间 $I_1,I_2,\dots$ 上逐段严格单调，其反函数 $h_1(y),h_2(y),\dots$ 有连续导函数，则 $Y=g(X)$ 的密度函数为

$$p_Y(y)=\sum _i{p}_X(h_i(y))|h_i^{\prime }(y)|.$$

1. 正态变量的线性变换仍为正态变量。若随机变量 $X$ 服从正态分布 $N(\mu ,{\sigma }^2)$，则当 $a\ne 0$ 时，有

$$Y=aX+b\sim N(a\mu +b,a^2{\sigma }^2).$$

1. 对数正态分布

（1）若随机变量 $X$ 的密度函数为

$$p(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{\sqrt{2\pi }x\sigma }\exp \left\{-\frac{(\ln x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}\right\},& x>0,\\ 0,& x\le 0,\end{array}$$

则称 $X$ 服从对数正态分布，记为

$$X\sim LN(\mu ,{\sigma }^2).$$

\FigureTwoSeventeen

（2）若 $X\sim LN(\mu ,{\sigma }^2)$，则

$$E(X)=e^{\mu +{\sigma }^2/2},\mathrm{Var}(X)=(e^{{\sigma }^2}-1)e^{2\mu +{\sigma }^2}.$$

（3）若 $X\sim LN(\mu ,{\sigma }^2)$，则

$$Y=\ln X\sim N(\mu ,{\sigma }^2).$$

1. 若随机变量 $X\sim Ga(\alpha ,\lambda )$，则当 $k>0$ 时，有

$$Y=kX\sim Ga\left(\alpha ,\frac{\lambda }{k}\right).$$

1. 若随机变量 $X$ 的分布函数 $F_X(x)$ 为严格单调增的连续函数，其反函数 $F_X^{-1}(y)$ 存在，则

$$Y=F_X(X)\sim U(0,1).$$

习题与解答 2.6

习题 2.6-1

已知离散随机变量 $X$ 的分布列为

$$\begin{array}{cccccc}X& -2& -1& 0& 1& 3\\ P& \frac{1}{5}& \frac{1}{6}& \frac{1}{5}& \frac{1}{15}& \frac{11}{30}\end{array}$$

试求 $Y=X^2$ 与 $Z=|X|$ 的分布列。

解 由 $Y=X^2$ 可得

$$\begin{array}{ccccc}Y& 0& 1& 4& 9\\ P& \frac{1}{5}& \frac{7}{30}& \frac{1}{5}& \frac{11}{30}\end{array}$$

其中

$$P(Y=1)=P(X=-1)+P(X=1)=\frac{1}{6}+\frac{1}{15}=\frac{7}{30}.$$

由 $Z=|X|$ 可得

$$\begin{array}{ccccc}Z& 0& 1& 2& 3\\ P& \frac{1}{5}& \frac{7}{30}& \frac{1}{5}& \frac{11}{30}\end{array}$$

其中

$$P(Z=1)=P(X=-1)+P(X=1)=\frac{1}{6}+\frac{1}{15}=\frac{7}{30}.$$

习题 2.6-2

已知随机变量 $X$ 的密度函数为

$$p(x)=\frac{2}{\pi }\cdot \frac{1}{e^x+e^{-x}},-\infty <x<\infty ,$$

试求随机变量 $Y=g(X)$ 的概率分布，其中

$$g(x)=\{\begin{array}{ll}-1,& x<0,\\ 1,& x\ge 0.\end{array}$$

解 因为 $p(x)$ 为偶函数，所以可得

$$P(X<0)=P(X\ge 0)=\mathrm{0.5.}$$

由此得

$$P(Y=-1)=P(X<0)=0.5,P(Y=1)=P(X\ge 0)=\mathrm{0.5.}$$

所以 $Y$ 的分布列为

$$\begin{array}{ccc}Y& -1& 1\\ P& 0.5& 0.5\end{array}$$

习题 2.6-3

设随机变量 $X$ 服从区间 $(-1,2)$ 上的均匀分布，记

$$Y=\{\begin{array}{ll}1,& X\ge 0,\\ -1,& X<0.\end{array}$$

试求 $Y$ 的分布列。

解 因为

$$P(Y=-1)=P(X<0)=\frac{1}{3},P(Y=1)=P(X\ge 0)=\frac{2}{3},$$

所以 $Y$ 的分布列为

$$\begin{array}{ccc}Y& -1& 1\\ P& \frac{1}{3}& \frac{2}{3}\end{array}$$

习题 2.6-4

设随机变量 $X\sim U(0,1)$，试求 $1-X$ 的分布。

解 $X$ 的密度函数为

$$p_X(x)=\{\begin{array}{ll}1,& 0<x<1,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$$

因为 $y=g(x)=1-x$ 在 $(0,1)$ 上为严格单调减函数，其反函数为 $x=h(y)=1-y$，且

$$h^{\prime }(y)=-1,$$

所以 $Y=1-X$ 的密度函数为

$$p_Y(y)=\{\begin{array}{ll}{p}_X(1-y)|-1|,& 0<y<1,\\ 0,& \text{其他},\end{array}=\{\begin{array}{ll}1,& 0<y<1,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$$

这表明：当 $X\sim U(0,1)$ 时，$1-X$ 与 $X$ 同分布。

习题 2.6-5

设随机变量 $X$ 服从 $(-\pi /2,\pi /2)$ 上的均匀分布，求随机变量 $Y=\cos X$ 的密度函数 $p_Y(y)$。

解 $X$ 的密度函数为

$$p_X(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{\pi },& -\frac{\pi }{2}<x<\frac{\pi }{2},\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$$

由于 $X$ 在 $(-\pi /2,\pi /2)$ 内取值，所以 $Y=\cos X$ 的可能取值区间为 $(0,1)$。在 $Y$ 的可能取值区间外，$p_Y(y)=0$。

当 $0<y<1$ 时，使 $\{Y\le y\}$ 的 $x$ 取值范围为两个互不相交的区间

$${\Delta }_1=\left(-\frac{\pi }{2},-\arccos y\right),{\Delta }_2=\left(\arccos y,\frac{\pi }{2}\right).$$

故

$$F_Y(y)=P(Y\le y)={\int }_{-\pi /2}^{-\arccos y}\frac{1}{\pi }dx+{\int }_{\arccos y}^{\pi /2}\frac{1}{\pi }dx.$$

在上式两端对 $y$ 求导，得

$$p_Y(y)=\frac{1}{\pi \sqrt{1-y^2}}+\frac{1}{\pi \sqrt{1-y^2}}=\frac{2}{\pi \sqrt{1-y^2}},0<y<1.$$

\FigureTwoEighteen

即

$$p_Y(y)=\{\begin{array}{ll}\frac{2}{\pi \sqrt{1-y^2}},& 0<y<1,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$$

习题 2.6-6

设圆的直径服从区间 $(0,1)$ 上的均匀分布，求圆的面积的密度函数。

解 设圆的直径为 $X$，则圆的面积

$$Y=\frac{\pi X^2}{4},$$

而 $X$ 的密度函数为

$$p_X(x)=\{\begin{array}{ll}1,& 0<x<1,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$$

因为 $y=g(x)=\pi x^2/4$ 在区间 $(0,1)$ 上为严格单调增函数，其反函数为

$$x=h(y)=\sqrt{\frac{4y}{\pi }},$$

且

$$h^{\prime }(y)=\frac{1}{\sqrt{\pi y}},$$

所以圆面积 $Y=\pi X^2/4$ 的密度函数为

$$p_Y(y)=\{\begin{array}{ll}{p}_X\left(\sqrt{\frac{4y}{\pi }}\right)\left|\frac{1}{\sqrt{\pi y}}\right|,& 0<y<\frac{\pi }{4},\\ 0,& \text{其他},\end{array}=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{\sqrt{\pi y}},& 0<y<\frac{\pi }{4},\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$$

习题 2.6-7

设随机变量 $X$ 服从区间 $(1,2)$ 上的均匀分布，试求 $Y=e^{2X}$ 的密度函数。

解 $X$ 的密度函数为

$$p_X(x)=\{\begin{array}{ll}1,& 1<x<2,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$$

由于 $X$ 在 $(1,2)$ 内取值，所以 $Y=e^{2X}$ 的可能取值区间为 $(e^2,e^4)$；且 $y=g(x)=e^{2x}$ 在区间 $(1,2)$ 上为严格单调增函数，其反函数为

$$x=h(y)=\frac{\ln y}{2},$$

且

$$h^{\prime }(y)=\frac{1}{2y}.$$

所以 $Y=e^{2X}$ 的密度函数为

$$p_Y(y)=\{\begin{array}{ll}{p}_X\left(\frac{\ln y}{2}\right)\left|\frac{1}{2y}\right|,& e^2<y<e^4,\\ 0,& \text{其他},\end{array}=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{2y},& e^2<y<e^4,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$$

习题 2.6-8

设随机变量 $X$ 服从区间 $(0,2)$ 上的均匀分布。

1. 求 $Y=X^2$ 的密度函数；
2. 求 $P(Y<2)$。

解 $X$ 的密度函数为

$$p_X(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{2},& 0<x<2,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$$

\text{（1）} $Y=X^2$ 的可能取值区间为 $(0,4)$。因为 $y=g(x)=x^2$ 在区间 $(0,2)$ 上为严格单调增函数，其反函数为

$$x=h(y)=\sqrt{y},$$

且

$$h^{\prime }(y)=\frac{1}{2\sqrt{y}},$$

所以 $Y=X^2$ 的密度函数为

$$p_Y(y)=\{\begin{array}{ll}{p}_X(\sqrt{y})\left|\frac{1}{2\sqrt{y}}\right|,& 0<y<4,\\ 0,& \text{其他},\end{array}=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{4\sqrt{y}},& 0<y<4,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$$

\text{（2）}

$$P(Y<2)={\int }_0^2\frac{1}{4\sqrt{y}}dy={\frac{1}{2}\sqrt{y}|}_0^2=\frac{\sqrt{2}}{2}.$$

习题 2.6-9

设随机变量 $X$ 服从区间 $(-1,1)$ 上的均匀分布，求：

1. $P\left(|X|>\frac{1}{2}\right)$；
2. $Y=|X|$ 的密度函数。

解 \text{（1）}

$$\begin{array}{rl}P\left(|X|>\frac{1}{2}\right)& =P\left(X>\frac{1}{2}\right)+P\left(X<-\frac{1}{2}\right)\\ & ={\int }_{1/2}^1\frac{1}{2}dx+{\int }_{-1}^{-1/2}\frac{1}{2}dx\\ & =\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\\ & =\mathrm{0.5.}\end{array}$$

\text{（2）} 设 $F_Y(y)=P(|X|\le y)$。当 $y<0$ 时，$F_Y(y)=0$；当 $y\ge 1$ 时，$F_Y(y)=1$；当 $0\le y<1$ 时，

$$F_Y(y)=P(-y\le X\le y)={\int }_{-y}^y\frac{1}{2}dx=y.$$

所以得

$$p_Y(y)=\{\begin{array}{ll}1,& 0<y<1,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$$

习题 2.6-10

设随机变量 $X$ 服从 $(0,1)$ 上的均匀分布，试求以下 $Y$ 的密度函数：

1. $Y=-2\ln X$；
2. $Y=3X+1$；
3. $Y=e^X$；
4. $Y=|\ln X|$。

解 $X$ 的密度函数为

$$p_X(x)=\{\begin{array}{ll}1,& 0<x<1,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$$

\text{（1）} 因为 $Y$ 的可能取值区间为 $(0,\infty )$，且 $y=g(x)=-2\ln x$ 在区间 $(0,1)$ 上为严格单调减函数，其反函数为

$$x=h(y)=e^{-0.5y},$$

且

$$h^{\prime }(y)=-0.5e^{-0.5y},$$

所以 $Y=-2\ln X$ 的密度函数为

$$p_Y(y)=\{\begin{array}{ll}{p}_X(e^{-0.5y})|-0.5e^{-0.5y}|,& y>0,\\ 0,& y\le 0,\end{array}=\{\begin{array}{ll}0.5e^{-0.5y},& y>0,\\ 0,& y\le 0.\end{array}$$

\text{（2）} 因为 $Y$ 的可能取值区间为 $(1,4)$，且 $y=g(x)=3x+1$ 在区间 $(0,1)$ 上为严格单调增函数，其反函数为

$$x=h(y)=\frac{y-1}{3},$$

且

$$h^{\prime }(y)=\frac{1}{3},$$

所以 $Y=3X+1$ 的密度函数为

$$p_Y(y)=\{\begin{array}{ll}{p}_X\left(\frac{y-1}{3}\right)\left|\frac{1}{3}\right|,& 1<y<4,\\ 0,& \text{其他},\end{array}=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{3},& 1<y<4,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$$

\text{（3）} 因为 $Y$ 的可能取值区间为 $(1,e)$，且 $y=g(x)=e^x$ 在区间 $(0,1)$ 上为严格单调增函数，其反函数为

$$x=h(y)=\ln y,$$

且

$$h^{\prime }(y)=\frac{1}{y},$$

所以 $Y=e^X$ 的密度函数为

$$p_Y(y)=\{\begin{array}{ll}{p}_X(\ln y)\left|\frac{1}{y}\right|,& 1<y<e,\\ 0,& \text{其他},\end{array}=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{y},& 1<y<e,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$$

\text{（4）} 因为 $Y$ 的可能取值区间为 $(0,\infty )$，且 $y=|\ln x|$ 在区间 $(0,1)$ 上为严格单调减函数，其反函数为

$$x=h(y)=e^{-y},$$

且

$$h^{\prime }(y)=-e^{-y},$$

所以 $Y=|\ln X|$ 的密度函数为

$$p_Y(y)=\{\begin{array}{ll}{p}_X(e^{-y})|-e^{-y}|,& y>0,\\ 0,& y\le 0,\end{array}=\{\begin{array}{ll}{e}^{-y},& y>0,\\ 0,& y\le 0.\end{array}$$

习题 2.6-11

设随机变量 $X$ 的密度函数为

$$p_X(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{3}{2}{x}^2,& -1<x<1,\\ 0,& \text{其他},\end{array}$$

试求下列随机变量的分布：

1. $Y_1=3X$；
2. $Y_2=3-X$；
3. $Y_3=X^2$。

解 \text{（1）} 因为 $Y_1$ 的可能取值区间为 $(-3,3)$，且 $y=g(x)=3x$ 在区间 $(-1,1)$ 上为严格单调增函数，其反函数为

$$x=h(y)=\frac{y}{3},$$

且

$$h^{\prime }(y)=\frac{1}{3},$$

所以 $Y_1=3X$ 的密度函数为

$$p_{Y_1}(y)=\{\begin{array}{ll}{p}_X(y/3)\left|\frac{1}{3}\right|,& -3<y<3,\\ 0,& \text{其他},\end{array}=\{\begin{array}{ll}\frac{y^2}{18},& -3<y<3,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$$

\text{（2）} 因为 $Y_2$ 的可能取值区间为 $(2,4)$，且 $y=g(x)=3-x$ 在区间 $(-1,1)$ 上为严格单调减函数，其反函数为

$$x=h(y)=3-y,$$

且

$$h^{\prime }(y)=-1,$$

所以 $Y_2=3-X$ 的密度函数为

$$p_{Y_2}(y)=\{\begin{array}{ll}{p}_X(3-y)|-1|,& 2<y<4,\\ 0,& \text{其他},\end{array}=\{\begin{array}{ll}\frac{3}{2}(3-y{)}^2,& 2<y<4,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$$

\text{（3）} 因为 $Y_3$ 的可能取值区间为 $(0,1)$，所以在区间 $(0,1)$ 外，$Y_3$ 的密度函数为 $0$。而当 $0<y<1$ 时，$Y_3$ 的分布函数为

$$F_{Y_3}(y)=P(Y_3\le y)=P(X^2\le y)=P(-\sqrt{y}\le X\le \sqrt{y})=F_X(\sqrt{y})-F_X(-\sqrt{y}).$$

上式两边关于 $y$ 求导，得

$$p_{Y_3}(y)=p_X(\sqrt{y})\frac{1}{2\sqrt{y}}+p_X(-\sqrt{y})\frac{1}{2\sqrt{y}}=\frac{3}{2}\sqrt{y}.$$

即

$$p_{Y_3}(y)=\{\begin{array}{ll}\frac{3}{2}\sqrt{y},& 0<y<1,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$$

这是贝塔分布 $Be(3/2,1)$。

习题 2.6-12

设 $X\sim N(0,{\sigma }^2)$，求 $Y=X^2$ 的分布。

解 因为 $Y=X^2$ 的可能取值区间为 $(0,\infty )$，所以当 $y\le 0$ 时，$Y$ 的密度函数为 $0$。而当 $y>0$ 时，$Y$ 的分布函数为

$$F_Y(y)=P(X^2\le y)=P(-\sqrt{y}\le X\le \sqrt{y})=F_X(\sqrt{y})-F_X(-\sqrt{y}).$$

对上式两边关于 $y$ 求导，得

$$p_Y(y)=p_X(\sqrt{y})\frac{1}{2\sqrt{y}}+p_X(-\sqrt{y})\frac{1}{2\sqrt{y}}=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma \sqrt{y}}\exp \left\{-\frac{y}{2{\sigma }^2}\right\}.$$

即

$$p_Y(y)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{\sqrt{2\pi }{y}^{1/2}\sigma }\exp \left\{-\frac{y}{2{\sigma }^2}\right\},& y>0,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$$

这是伽马分布

$$Ga\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2{\sigma }^2}\right).$$

习题 2.6-13

设 $X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$，求 $Y=e^X$ 的数学期望与方差。

解 因为 $Y=e^X$ 的可能取值范围为 $(0,\infty )$，且 $y=g(x)=e^x$ 为严格单调增函数，其反函数为

$$x=h(y)=\ln y,$$

及

$$h^{\prime }(y)=\frac{1}{y},$$

所以 $Y$ 的密度函数为

$$p_Y(y)=\{\begin{array}{ll}{p}_X(\ln y)\left|\frac{1}{y}\right|,& y>0,\\ 0,& \text{其他},\end{array}=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{\sqrt{2\pi }y\sigma }\exp \left\{-\frac{(\ln y-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}\right\},& y>0,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$$

这是对数正态分布 $LN(\mu ,{\sigma }^2)$。为求其数学期望，采用线性变换

$$t=\frac{x-\mu }{\sigma }$$

可得

$$\begin{array}{rl}E(Y)& =\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^x{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}dx\\ & =\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{\sigma t+\mu }{e}^{-t^2/2}\sigma dt\\ & =e^{\mu }\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-(t^2/2-\sigma t)}dt\\ & =e^{\mu +{\sigma }^2/2}{\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-(t-\sigma {)}^2/2}dt\\ & =e^{\mu +{\sigma }^2/2}.\end{array}$$

上式最后一个等式成立是因为积分中的被积函数是 $N(\sigma ,1)$ 的密度函数之故。为求 $Y$ 的方差，先求 $E(Y^2)$。施行相同的线性变换，可得

$$\begin{array}{rl}E(Y^2)& =\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{2x}{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}dx\\ & =\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{2\sigma t+2\mu }{e}^{-t^2/2}\sigma dt\\ & =e^{2\mu }\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-(t^2/2-2\sigma t)}dt\\ & =e^{2\mu +2{\sigma }^2}{\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-(t-2\sigma {)}^2/2}dt\\ & =e^{2\mu +2{\sigma }^2}.\end{array}$$

上式最后一个等式成立是因为积分中的被积函数是 $N(2\sigma ,1)$ 的密度函数之故。由此得

$$\mathrm{Var}(Y)=E(Y^2)-[E(Y){]}^2=e^{2\mu +2{\sigma }^2}-[e^{\mu +{\sigma }^2/2}{]}^2=e^{2\mu +{\sigma }^2}(e^{{\sigma }^2}-1).$$

习题 2.6-14

设随机变量 $X$ 服从标准正态分布 $N(0,1)$，试求以下 $Y$ 的密度函数：

1. $Y=|X|$；
2. $Y=2X^2+1$。

解 \text{（1）} $Y=|X|$ 的可能取值范围为 $(0,\infty )$，所以当 $y\le 0$ 时，$Y$ 的密度函数为 $0$；当 $y>0$ 时，$Y$ 的分布函数为

$$F_Y(y)=P(|X|\le y)=P(-y\le X\le y)=F_X(y)-F_X(-y).$$

对上式两端关于 $y$ 求导得

$$p_Y(y)=p_X(y)+p_X(-y)=\sqrt{\frac{2}{\pi }}{e}^{-y^2/2}.$$

所以 $Y$ 的密度函数为

$$p_Y(y)=\{\begin{array}{ll}\sqrt{\frac{2}{\pi }}{e}^{-y^2/2},& y>0,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$$

这个分布被称为半正态分布。

\text{（2）} $Y=2X^2+1$ 的可能取值范围为 $(1,\infty )$，所以当 $y\le 1$ 时，$Y$ 的密度函数为 $0$；当 $y>1$ 时，$Y$ 的分布函数为

$$F_Y(y)=P(2X^2+1\le y)=P\left(-\sqrt{\frac{y-1}{2}}\le X\le \sqrt{\frac{y-1}{2}}\right)=F_X\left(\sqrt{\frac{y-1}{2}}\right)-F_X\left(-\sqrt{\frac{y-1}{2}}\right).$$

对上式两端关于 $y$ 求导得

$$\begin{array}{rl}{p}_Y(y)& =p_X\left(\sqrt{\frac{y-1}{2}}\right)\frac{1}{4\sqrt{(y-1)/2}}+p_X\left(-\sqrt{\frac{y-1}{2}}\right)\frac{1}{4\sqrt{(y-1)/2}}\\ & =\frac{1}{2\sqrt{\pi (y-1)}}{e}^{-(y-1)/4}.\end{array}$$

所以 $Y$ 的密度函数为

$$p_Y(y)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{2\sqrt{\pi (y-1)}}{e}^{-(y-1)/4},& y>1,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$$

习题 2.6-15

设随机变量 $X$ 的密度函数为

$$p(x)=\{\begin{array}{ll}{e}^{-x},& x>0,\\ 0,& x\le 0.\end{array}$$

试求以下 $Y$ 的密度函数：

1. $Y=2X+1$；
2. $Y=e^X$；
3. $Y=X^2$。

解 \text{（1）} 因为 $Y=2X+1$ 的可能取值范围是 $(1,\infty )$，且 $y=g(x)=2x+1$ 是严格单调增函数，其反函数为

$$x=h(y)=\frac{y-1}{2},$$

及

$$h^{\prime }(y)=\frac{1}{2},$$

所以 $Y$ 的密度函数为

$$p_Y(y)=\{\begin{array}{ll}{p}_X\left(\frac{y-1}{2}\right)\left|\frac{1}{2}\right|,& y>1,\\ 0,& \text{其他},\end{array}=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{2}{e}^{-(y-1)/2},& y>1,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$$

\text{（2）} 因为 $Y=e^X$ 的可能取值范围是 $(1,\infty )$，且 $y=g(x)=e^x$ 是严格单调增函数，其反函数为

$$x=h(y)=\ln y,$$

及

$$h^{\prime }(y)=\frac{1}{y},$$

所以 $Y$ 的密度函数为

$$p_Y(y)=\{\begin{array}{ll}{p}_X(\ln y)\left|\frac{1}{y}\right|,& y>1,\\ 0,& \text{其他},\end{array}=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{y^2},& y>1,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$$

\text{（3）} 因为 $Y=X^2$ 的可能取值范围是 $(0,\infty )$，且 $y=g(x)=x^2$ 在 $(0,\infty )$ 上是严格单调增函数，其反函数为

$$x=h(y)=\sqrt{y},$$

及

$$h^{\prime }(y)=\frac{1}{2\sqrt{y}},$$

所以 $Y$ 的密度函数为

$$p_Y(y)=\{\begin{array}{ll}{p}_X(\sqrt{y})\left|\frac{1}{2\sqrt{y}}\right|,& y>0,\\ 0,& \text{其他},\end{array}=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{2\sqrt{y}}{e}^{-\sqrt{y}},& y>0,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$$

这是韦布尔分布的特例。一般韦布尔分布（记为 $W(m,\eta )$）的密度函数为

$$p(y)=\{\begin{array}{ll}\frac{m}{\eta }{\left(\frac{y}{\eta }\right)}^{m-1}\exp \left\{-{\left(\frac{y}{\eta }\right)}^m\right\},& y>0,\\ 0,& y\le 0.\end{array}$$

本题结论就是 $m=1/2,\eta =1$ 时的韦布尔分布 $W(1/2,1)$。

习题 2.6-16

设随机变量 $X$ 服从参数为 $2$ 的指数分布，试证：$Y_1=e^{-2X}$ 和 $Y_2=1-e^{-2X}$ 都服从区间 $(0,1)$ 上的均匀分布。

解 因为 $X$ 的密度函数为

$$p_X(x)=\{\begin{array}{ll}2e^{-2x},& x>0,\\ 0,& \text{其他},\end{array}$$

又因为 $Y_1$ 的可能取值范围是 $(0,1)$，且 $y_1=e^{-2x}$ 是严格单调减函数，其反函数为

$$x=h(y_1)=-0.5\ln y_1,$$

及

$$h^{\prime }(y_1)=-\frac{0.5}{y_1},$$

所以 $Y_1$ 的密度函数为

$$p_{Y_1}(y_1)=\{\begin{array}{ll}{p}_X(-0.5\ln y_1)\left|-\frac{0.5}{y_1}\right|,& 0<y_1<1,\\ 0,& \text{其他},\end{array}=\{\begin{array}{ll}1,& 0<y_1<1,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$$

即 $Y_1\sim U(0,1)$。又由前面第 $4$ 题知，

$$Y_2=1-e^{-2X}=1-Y_1$$

也服从区间 $(0,1)$ 上的均匀分布。结论得证。

习题 2.6-17

设随机变量 $X\sim LN(\mu ,{\sigma }^2)$，试证：$Y=\ln X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$。

解 因为 $X$ 的密度函数为

$$p_X(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{\sqrt{2\pi }x\sigma }\exp \left\{-\frac{(\ln x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}\right\},& x>0,\\ 0,& x\le 0,\end{array}$$

又因为 $Y=\ln X$ 的可能取值范围为 $(-\infty ,\infty )$，且 $y=g(x)=\ln x$ 是区间 $(0,\infty )$ 上的严格单调增函数，其反函数为

$$x=h(y)=e^y,$$

及

$$h^{\prime }(y)=e^y,$$

所以 $Y$ 的密度函数为

$$p_Y(y)=p_X(e^y)|e^y|=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma e^y}\exp \left\{-\frac{(\ln e^y-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}\right\}{e}^y=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }\exp \left\{-\frac{(y-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}\right\},$$

其中 $-\infty <y<\infty$。 这正是 $N(\mu ,{\sigma }^2)$ 的密度函数。

习题 2.6-18

设随机变量 $Y\sim LN(5,0.12^2)$，试求 $P(Y<188.7)$。

解

$$P(Y<188.7)=P(\ln Y<\ln 188.7)=\Phi \left(\frac{5.24-5}{0.12}\right)=\Phi (2)=\mathrm{0.9772.}$$