§2.5 常用连续分布

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正文部分

§2.5 常用连续分布

1. 正态分布

（1）若随机变量 $X$ 的密度函数和分布函数（如图 2.10）分别为

$$p(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}},-\infty <x<\infty ,$$ $$F(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{\int }_{-\infty }^x{e}^{-\frac{(t-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}dt,-\infty <x<\infty ,$$

则称 $X$ 服从正态分布，记作 $X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$，其中参数 $-\infty <\mu <\infty ,\sigma >0$。

\FigureTwoTen

（2）背景：一个变量若是由大量微小的、独立的随机因素的叠加结果，则此变量一定是正态变量（服从正态分布的变量）。测量误差就是由量具偏差、测量环境的影响、测量技术的影响、测量人员的心理影响等随机因素叠加而成的，所以测量误差常认为服从正态分布。

（3）关于参数 $\mu$

1. $\mu$ 是正态分布的数学期望，即 $E(X)=\mu$，称 $\mu$ 为正态分布的位置参数。
2. $\mu$ 是正态分布的对称中心，在 $\mu$ 的左侧和 $p(x)$ 下的面积为 $0.5$；在 $\mu$ 的右侧和 $p(x)$ 下的面积也为 $0.5$，所以 $\mu$ 也是正态分布的中位数（见后面 §2.7）。
3. 若 $X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$，则 $X$ 在离 $\mu$ 愈近取值的可能性愈大，离 $\mu$ 愈远取值的可能性愈小。

关于参数 $\sigma$

1. ${\sigma }^2$ 是正态分布的方差，即 $\mathrm{Var}(X)={\sigma }^2$。
2. $\sigma$ 是正态分布的标准差，$\sigma$ 愈小，正态分布愈集中；$\sigma$ 愈大，正态分布愈分散。$\sigma$ 又称为正态分布的尺度参数。
3. 若随机变量 $X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$，则其密度函数 $p(x)$ 在 $\mu \pm \sigma$ 处有两个拐点。

（4）称 $\mu =0,\sigma =1$ 时的正态分布 $N(0,1)$ 为标准正态分布。记 $U$ 为标准正态变量，$\phi (u)$ 和 $\Phi (u)$ 为标准正态分布的密度函数和分布函数。$\phi (u)$ 和 $\Phi (u)$ 满足：

$$\phi (-u)=\phi (u);$$ $$\Phi (-u)=1-\Phi (u),$$

对 $u>0$，$\Phi (u)$ 的值有表可查。

（5）标准化变换：若随机变量 $X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$，则

$$U=\frac{X-\mu }{\sigma }\sim N(0,1),$$

其中 $U=(X-\mu )/\sigma$ 称为 $X$ 的标准化变换。

（6）若随机变量 $X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$，则对任意实数 $a$ 与 $b$，有

$$P(X\le b)=\Phi \left(\frac{b-\mu }{\sigma }\right),$$ $$P(a<X)=1-\Phi \left(\frac{a-\mu }{\sigma }\right),$$ $$P(a<X\le b)=\Phi \left(\frac{b-\mu }{\sigma }\right)-\Phi \left(\frac{a-\mu }{\sigma }\right).$$

可见，涉及正态变量的概率计算，一般是化为标准正态变量再查表获得。

（7）正态分布的 $3\sigma$ 原则：设随机变量 $X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$，则

$$P(|X-\mu |<k\sigma )=\Phi (k)-\Phi (-k)=\{\begin{array}{ll}0.6826,& k=1,\\ 0.9545,& k=2,\\ 0.9973,& k=3.\end{array}$$

2. 均匀分布

（1）若随机变量 $X$ 的密度函数和分布函数（如图 2.11）分别为

$$p(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{b-a},& a<x<b,\\ 0,& \text{其他},\end{array}F(x)=\{\begin{array}{ll}0,& x<a,\\ \frac{x-a}{b-a},& a\le x<b,\\ 1,& x\ge b,\end{array}$$

则称 $X$ 服从区间 $(a,b)$ 上的均匀分布，记作 $X\sim U(a,b)$。

（2）背景：向区间 $(a,b)$ 随机投点，落点坐标 $X$ 一定服从均匀分布 $U(a,b)$。这里“随机投点”是指：点落在任意相等长度的小区间上的可能性是相等的。

（3）均匀分布 $U(a,b)$ 的数学期望和方差分别是

$$E(X)=\frac{a+b}{2},\mathrm{Var}(X)=\frac{(b-a{)}^2}{12}.$$

\FigureTwoEleven

（4）称区间 $(0,1)$ 上的均匀分布 $U(0,1)$ 为标准均匀分布，它是导出其他分布随机数的桥梁。

3. 指数分布

（1）若随机变量 $X$ 的密度函数（如图 2.12）和分布函数分别为

$$p(x)=\{\begin{array}{ll}\lambda e^{-\lambda x},& x\ge 0,\\ 0,& x<0,\end{array}F(x)=\{\begin{array}{ll}1-e^{-\lambda x},& x\ge 0,\\ 0,& x<0,\end{array}$$

则称 $X$ 服从指数分布，记作 $X\sim Exp(\lambda )$，其中参数 $\lambda >0$。

\FigureTwoTwelve

（2）背景：若一个元器件（或一台设备，或一个系统）遇到外来冲击时即告失效，则首次冲击来到的时间 $X$（寿命）服从指数分布。很多产品的寿命可以认为服从或近似服从指数分布。

（3）指数分布 $Exp(\lambda )$ 的数学期望和方差分别为

$$E(X)=\frac{1}{\lambda },\mathrm{Var}(X)=\frac{1}{{\lambda }^2}.$$

（4）指数分布的无记忆性：若随机变量 $X\sim Exp(\lambda )$，则对任意 $s>0,t>0$，有

$$P(X>s+t\mid X>s)=P(X>t).$$

4. 伽马分布

（1）伽马函数 称

$$\Gamma (\alpha )={\int }_0^{\infty }{x}^{\alpha -1}{e}^{-x}dx$$

为伽马函数，其中参数 $\alpha >0$。伽马函数具有如下性质：

1. $\Gamma (1)=1$；
2. $\Gamma (1/2)=\sqrt{\pi }$；
3. $\Gamma (\alpha +1)=\alpha \Gamma (\alpha )$；
4. $\Gamma (n+1)=n\Gamma (n)=n!$（$n$ 为自然数）。

（2）伽马分布 若随机变量 $X$ 的密度函数（如图 2.13）为

$$p(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{{\lambda }^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}{x}^{\alpha -1}{e}^{-\lambda x},& x\ge 0,\\ 0,& x<0,\end{array}$$

则称 $X$ 服从伽马分布，记作 $X\sim Ga(\alpha ,\lambda )$，其中 $\alpha >0$ 为形状参数，$\lambda >0$ 为尺度参数。

\FigureTwoThirteen

（3）背景：若一个元器件（或一台设备，或一个系统）能抵挡一些外来冲击，但遇到第 $k$ 次冲击时即告失效，则第 $k$ 次冲击来到的时间 $X$（寿命）服从形状参数为 $k$ 的伽马分布 $Ga(k,\lambda )$。

（4）伽马分布 $Ga(\alpha ,\lambda )$ 的数学期望和方差分别为

$$E(X)=\frac{\alpha }{\lambda },\mathrm{Var}(X)=\frac{\alpha }{{\lambda }^2}.$$

（5）伽马分布的两个特例：

1. $\alpha =1$ 时的伽马分布就是指数分布，即 $Ga(1,\lambda )=Exp(\lambda )$。
2. 称 $\alpha =n/2,\lambda =1/2$ 时的伽马分布为自由度为 $n$ 的 ${\chi }^2$（卡方）分布，记为 ${\chi }^2(n)$，其密度函数为

$$p(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{2^{n/2}\Gamma \left(\frac{n}{2}\right)}{e}^{-x/2}{x}^{n/2-1},& x\ge 0,\\ 0,& x<0.\end{array}$$

其 ${\chi }^2(n)$ 分布的期望和方差分别为

$$E(X)=n,\mathrm{Var}(X)=2n.$$

（6）若形状参数为整数 $k$，则伽马变量可以表示成 $k$ 个独立同分布的指数变量之和，即若 $X\sim Ga(k,\lambda )$，则

$$X=X_1+X_2+\cdots +X_k,$$

其中 $X_1,X_2,\cdots ,X_k$ 是相互独立且都服从指数分布 $Exp(\lambda )$ 的随机变量，见图 2.14，其中“$\times$”表示冲击来到的时间。

\FigureTwoFourteen

5. 贝塔分布

（1）贝塔函数 称

$$B(a,b)={\int }_0^1{x}^{a-1}(1-x{)}^{b-1}dx$$

为贝塔函数，其中参数 $a>0,b>0$。贝塔函数具有如下性质：

1. $B(a,b)=B(b,a)$；
2. $B(a,b)=\frac{\Gamma (a)\Gamma (b)}{\Gamma (a+b)}$。

（2）贝塔分布 若随机变量 $X$ 的密度函数（如图 2.15）为

$$p(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{\Gamma (a+b)}{\Gamma (a)\Gamma (b)}{x}^{a-1}(1-x{)}^{b-1},& 0<x<1,\\ 0,& \text{其他},\end{array}$$

则称 $X$ 服从贝塔分布，记作 $X\sim Be(a,b)$，其中 $a>0,b>0$ 都是形状参数。

\FigureTwoFifteen

（3）背景：很多比率，如产品的不合格率、机器的维修率、某商品的市场占有率、射击的命中率等都是在区间 $(0,1)$ 上取值的随机变量，贝塔分布 $Be(a,b)$ 可供描述这些随机变量之用，而在应用中，可调节 $a$ 与 $b$ 以适应实际中的要求。

（4）贝塔分布 $Be(a,b)$ 的数学期望和方差分别为

$$E(X)=\frac{a}{a+b},\mathrm{Var}(X)=\frac{ab}{(a+b{)}^2(a+b+1)}.$$

（5）$a=b=1$ 时的贝塔分布就是区间 $(0,1)$ 上的均匀分布，即 $Be(1,1)=U(0,1)$。

6. 常用连续分布表

\small \renewcommand{\arraystretch}{1.45}

名称与记号	密度函数 $p(x)$	期望	方差
正态分布
$N(\mu ,{\sigma }^2)$	$\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }\exp \left\{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}\right\},-\infty <x<\infty$	$\mu$	${\sigma }^2$
均匀分布
$U(a,b)$	$\frac{1}{b-a},a<x<b$	$\frac{a+b}{2}$	$\frac{(b-a{)}^2}{12}$
指数分布
$Exp(\lambda )$	$\lambda e^{-\lambda x},x\ge 0$	$\frac{1}{\lambda }$	$\frac{1}{{\lambda }^2}$
伽马分布
$Ga(\alpha ,\lambda )$	$\frac{{\lambda }^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}{x}^{\alpha -1}{e}^{-\lambda x},x\ge 0$	$\frac{\alpha }{\lambda }$	$\frac{\alpha }{{\lambda }^2}$
${\chi }^2(n)$ 分布	$\frac{x^{n/2-1}{e}^{-x/2}}{\Gamma (n/2)2^{n/2}},x\ge 0$	$n$	$2n$
贝塔分布
$Be(a,b)$	$\frac{\Gamma (a+b)}{\Gamma (a)\Gamma (b)}{x}^{a-1}(1-x{)}^{b-1},0<x<1$	$\frac{a}{a+b}$	$\frac{ab}{(a+b{)}^2(a+b+1)}$
对数正态分布
$LN(\mu ,{\sigma }^2)$	$\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma x}\exp \left\{-\frac{(\ln x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}\right\},x>0$	$e^{\mu +{\sigma }^2/2}$	$e^{2\mu +{\sigma }^2}(e^{{\sigma }^2}-1)$
柯西分布
$Cau(\mu ,\lambda )$	$\frac{1}{\pi }\frac{\lambda }{{\lambda }^2+(x-\mu {)}^2},-\infty <x<\infty$	不存在	不存在

\small续表

\small \renewcommand{\arraystretch}{1.45}

名称与记号	密度函数 $p(x)$	期望	方差
韦布尔分布
$W(m,\eta )$	$p(x)=F^{\prime }(x),F(x)=1-\exp \left\{-{\left(\frac{x}{\eta }\right)}^m\right\}$；或 $p(x)=\frac{m}{\eta }{\left(\frac{x}{\eta }\right)}^{m-1}\exp \left\{-{\left(\frac{x}{\eta }\right)}^m\right\},x>0$	$\eta \Gamma \left(1+\frac{1}{m}\right)$	${\eta }^2\left[\Gamma \left(1+\frac{2}{m}\right)-{\Gamma }^2\left(1+\frac{1}{m}\right)\right]$

7. 要记住常用分布的数学期望与方差，还要弄清它们与分布中参数的关系，因为不少分布可由其数学期望与方差确定。而一个分布就是一个概率模型。

习题与解答 2.5

习题 2.5-1

设随机变量 $X$ 服从区间 $(2,5)$ 上的均匀分布，求对 $X$ 进行 $3$ 次独立观测中，至少有 $2$ 次的观测值大于 $3$ 的概率。

解 在一次观测中，观测值大于 $3$ 的概率为

$$p=P(X>3)={\int }_3^5\frac{1}{3}dx=\frac{2}{3}.$$

设 $Y$ 为此种观测 $(X>3)$ 的次数，则 $Y\sim b(3,2/3)$，由此得

$$P(Y\ge 2)=1-P(Y=0)-P(Y=1)=1-{\left(\frac{1}{3}\right)}^3-3\times \frac{2}{3}\times {\left(\frac{1}{3}\right)}^2=\frac{20}{27}.$$

习题 2.5-2

在 $(0,1)$ 上任取一点记为 $X$，试求

$$P\left(X^2-\frac{3}{4}X+\frac{1}{8}\ge 0\right).$$

解 由 $x^2-\frac{3x}{4}+\frac{1}{8}=0$ 解得 $x_1=0.25,x_2=0.5$。因为 $X\sim U(0,1)$，又因为二次函数 $y=x^2-\frac{3x}{4}+\frac{1}{8}$ 是开口向上的，故有

$$\left\{X^2-\frac{3}{4}X+\frac{1}{8}\ge 0\right\}=\{0\le X\le 0.25\}\cup \{0.5\le X\le 1\},$$

所以

$$P\left(X^2-\frac{3}{4}X+\frac{1}{8}\ge 0\right)={\int }_0^{0.25}dx+{\int }_{0.5}^{1}dx=\mathrm{0.75.}$$

习题 2.5-3

设 $K$ 服从 $(1,6)$ 上的均匀分布，求方程 $x^2+Kx+1=0$ 有实根的概率。

解 方程 $x^2+Kx+1=0$ 有实根的充要条件是

$$K^2-4\ge 0⟺\{K\le -2\}\cup \{K\ge 2\}.$$

而 $K\sim U(1,6)$，因此所求概率为

$$P(K\le -2)+P(K\ge 2)=0+{\int }_2^6\frac{1}{5}dx=\frac{4}{5}.$$

习题 2.5-4

若随机变量 $K\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$，而方程 $x^2+4x+K=0$ 无实根的概率为 $0.5$，试求 $\mu$。

解 方程 $x^2+4x+K=0$ 无实根等价于

$$16-4K<0,$$

所以由题意知

$$0.5=P(16-4K<0)=P(K>4)=1-\Phi \left(\frac{4-\mu }{\sigma }\right).$$

由此得知

$$\mu =4.$$

习题 2.5-5

设流经一个 $2\Omega$ 电阻上的电流强度 $I$ 是一个随机变量，它均匀分布在 $9\mathrm{A}$ 至 $11\mathrm{A}$ 之间。试求此电阻上消耗的平均功率，其中功率 $W=2I^2$。

解 因为 $I\sim U(9,11)$，所以平均功率为

$$E(W)=E(2I^2)={\int }_9^{11}2x^2\cdot \frac{1}{2}dx={\frac{1}{3}{x}^3|}_9^{11}=\frac{602}{3}.$$

习题 2.5-6

某种圆盘的直径在区间 $(a,b)$ 上服从均匀分布，试求此种圆盘的平均面积。

解 记 $X$ 为圆盘的直径，则圆盘的面积为 $Y=\pi X^2/4$，所以平均面积为

$$E(Y)=\frac{\pi }{4}E(X^2)=\frac{\pi }{4}\left[\frac{(b-a{)}^2}{12}+{\left(\frac{a+b}{2}\right)}^2\right]=\frac{\pi }{12}(a^2+b^2+ab).$$

习题 2.5-7

设某种商品每周的需求量 $X$ 服从区间 $(10,30)$ 上均匀分布，而商店进货数为区间 $(10,30)$ 中的某一整数。商店每销售 $1$ 单位商品可获利 $500$ 元；若供大于求则降价处理，每处理 $1$ 单位商品亏损 $100$ 元；若供不应求，则可从外部调剂供应，此时每 $1$ 单位商品仅获利 $300$ 元。为使商店所获利润期望值不小于 $9280$ 元，试确定最少进货量。

解 设进货量为 $a$，则利润为

$$g(X)=\{\begin{array}{ll}500X-100(a-X),& 10\le X\le a,\\ 500a+300(X-a),& a<X\le 30,\end{array}=\{\begin{array}{ll}600X-100a,& 10\le X\le a,\\ 300X+200a,& a<X\le 30.\end{array}$$

所以平均利润为

$$\begin{array}{rl}E(g(X))& ={\int }_{10}^{30}g(x)\cdot \frac{1}{20}dx\\ & =\frac{1}{20}{\int }_{10}^a(600x-100a)dx+\frac{1}{20}{\int }_a^{30}(300x+200a)dx\\ & =-7.5a^2+350a+5250.\end{array}$$

按照题意要求有

$$-7.5a^2+350a+5250\ge 9280,$$

即

$$-7.5a^2+350a-4030\ge 0,$$

解得

$$20\frac{2}{3}\le a\le 26,$$

因此最少进货为 $21$ 单位。

习题 2.5-8

统计调查表明，英格兰在 $1875$ 年至 $1951$ 年期间在矿山发生 $10$ 人或 $10$ 人以上死亡的两次事故之间的时间 $T$（以日计）服从均值为 $241$ 的指数分布。试求 $P(50<T<100)$。

解

$$P(50<T<100)=F(100)-F(50)=e^{-50/241}-e^{-100/241}=\mathrm{0.1523.}$$

习题 2.5-9

若一次电话通话时间 $X$（以 $\min$ 计）服从参数为 $0.25$ 的指数分布，试求一次通话的平均时间。

解 因为 $X\sim Exp(\lambda )$，其中 $\lambda =0.25$，所以

$$E(X)=\frac{1}{\lambda }=\frac{1}{0.25}=4\min .$$

习题 2.5-10

某种设备的使用寿命 $X$（以年计）服从指数分布，其平均寿命为 $4$ 年。制造此种设备的厂家规定，若设备在使用一年之内损坏，则可以予以调换。如果设备制造厂每售出一台设备可赢利 $100$ 元，而调换一台设备制造厂需花费 $300$ 元。试求每台设备的平均利润。

解 令

$$Y=\{\begin{array}{ll}0,& \text{设备在使用一年之内不损坏},\\ 1,& \text{设备在使用一年之内损坏},\end{array}$$

即 $Y$ 是一台设备在使用一年之内损坏的台数，显然 $Y\sim b(1,p)$，其中

$$\begin{array}{rl}p& =P(\text{设备在使用一年之内损坏})=P(X\le 1)\\ & ={\int }_0^1\frac{1}{4}{e}^{-x/4}dx\\ & =1-e^{-0.25}=\mathrm{0.2212.}\end{array}$$

因为每台设备的利润为 $Z=100-300Y$，所以每台设备的平均利润为

$$E(Z)=100-300E(Y)=100-300\times 0.2212=33.64\text{（元）}.$$

习题 2.5-11

设顾客在某银行的窗口等待服务的时间 $X$（以 $\min$ 计）服从指数分布，其密度函数为

$$p(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{5}{e}^{-x/5},& x>0,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$$

某顾客在窗口等待服务，若超过 $10\min$ 他就离开。他一年要到银行 $5$ 次，以 $Y$ 表示一年内他未等到服务而离开窗口的次数，试求 $P(Y\ge 1)$。

解 因为 $Y\sim b(5,p)$，其中

$$p=P(X>10)=e^{-2},$$

所以得

$$P(Y\ge 1)=1-P(Y=0)=1-(1-p{)}^5=1-(1-e^{-2}{)}^5=\mathrm{0.5167.}$$

习题 2.5-12

某仪器装了 $3$ 个独立工作的同型号电子元件，其寿命 $X$（以 $\mathrm{h}$ 计）都服从同一指数分布，密度函数为

$$p(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{600}{e}^{-x/600},& x>0,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$$

试求：此仪器在最初使用的 $200\mathrm{h}$ 内，至少有一个此种电子元件损坏的概率。

解 设 $Y$ 为仪器在最初使用的 $200\mathrm{h}$ 内损坏的元件个数，则 $Y\sim b(3,p)$，其中

$$p={\int }_0^{200}\frac{1}{600}{e}^{-x/600}dx=1-e^{-1/3},$$

所以至少有一个电子元件损坏的概率为

$$\begin{array}{rl}P(Y\ge 1)& =1-P(Y=0)=1-(1-p{)}^3\\ & =1-[1-(1-e^{-1/3}){]}^3\\ & =1-e^{-1}=\mathrm{0.6321.}\end{array}$$

习题 2.5-13

设随机变量 $X$ 的密度函数为

$$p(x)=\{\begin{array}{ll}\lambda e^{-\lambda x},& x>0,\\ 0,& x\le 0\end{array}(\lambda >0).$$

试求 $k$，使得 $P(X>k)=0.5$。

解 因为

$$0.5=P(X>k)={\int }_k^{\infty }\lambda e^{-\lambda x}dx=e^{-\lambda k},$$

由此解得

$$k=\frac{\ln 2}{\lambda }.$$

习题 2.5-14

设随机变量 $X$ 的密度函数为

$$p(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{3},& 0\le x\le 1,\\ \frac{2}{9},& 3\le x\le 6,\\ 0,& \text{其他},\end{array}$$

若 $P(X\ge k)=2/3$，试求 $k$ 的取值范围。

解 由题设条件

$$\frac{2}{3}=P(X\ge k)=1-P(X<k),$$

知 $F(k)=1/3$。又由 $p(x)$ 得分布函数如下

$$F(x)=\{\begin{array}{ll}0,& x<0,\\ \frac{x}{3},& 0\le x<1,\\ \frac{1}{3},& 1\le x<3,\\ \frac{2}{9}x-\frac{1}{3},& 3\le x<6,\\ 1,& x\ge 6.\end{array}$$

\FigureTwoSixteen

由此得

$$1\le k\le 3.$$

习题 2.5-15

写出以下正态分布的均值和标准差：

$$p_1(x)=\frac{1}{\sqrt{\pi }}{e}^{-(x^2+4x+4)},p_2(x)=\sqrt{\frac{2}{\pi }}{e}^{-2x^2},p_3(x)=\frac{1}{\sqrt{\pi }}{e}^{-x^2}.$$

解 对 $p_1(x)$ 有

$$p_1(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }(1/\sqrt{2})}\exp \left\{-\frac{(x+2{)}^2}{2(1/\sqrt{2}{)}^2}\right\},$$

所以 $p_1(x)$ 的均值 ${\mu }_1=-2$，标准差 ${\sigma }_1=1/\sqrt{2}$。

对 $p_2(x)$ 有

$$p_2(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }(1/2)}\exp \left\{-\frac{(x-0{)}^2}{2(1/2{)}^2}\right\},$$

所以 $p_2(x)$ 的均值 ${\mu }_2=0$，标准差 ${\sigma }_2=1/2$。

对 $p_3(x)$ 有

$$p_3(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }(1/\sqrt{2})}\exp \left\{-\frac{(x-0{)}^2}{2(1/\sqrt{2}{)}^2}\right\},$$

所以 $p_3(x)$ 的均值 ${\mu }_3=0$，标准差 ${\sigma }_3=1/\sqrt{2}$。

习题 2.5-16

某地区 $18$ 岁女青年的血压 $X$（收缩压，以 $\mathrm{mmHg}$ 计）服从 $N(110,12^2)$。试求该地区 $18$ 岁女青年的血压在 $100$ 至 $120$ 的可能性有多大？

解

$$\begin{array}{rl}P(100<X<120)& =\Phi \left(\frac{120-110}{12}\right)-\Phi \left(\frac{100-110}{12}\right)\\ & =\Phi \left(\frac{5}{6}\right)-\Phi \left(-\frac{5}{6}\right)\\ & =2\Phi \left(\frac{5}{6}\right)-1\\ & =\mathrm{0.5950.}\end{array}$$

其中 $\Phi (5/6)=\Phi (0.833)=0.7975$ 是用内插法得到的。

习题 2.5-17

某地区成年男子的体重 $X$（以 $\mathrm{kg}$ 计）服从正态分布 $N(\mu ,{\sigma }^2)$。若已知 $P(X\le 70)=0.5,P(X\le 60)=0.25$。

1. 求 $\mu$ 与 $\sigma$ 各为多少？
2. 若在这个地区随机地选出 $5$ 名成年男子，问其中至少有两人体重超过 $65\mathrm{kg}$ 的概率是多少？

解 （1）由

$$0.5=P(X\le 70)=\Phi \left(\frac{70-\mu }{\sigma }\right),$$

知

$$\frac{70-\mu }{\sigma }=0,$$

由此解得 $\mu =70$。又由

$$0.25=P(X\le 60)=\Phi \left(\frac{60-70}{\sigma }\right)=\Phi \left(-\frac{10}{\sigma }\right)=1-\Phi \left(\frac{10}{\sigma }\right),$$

即

$$0.75=\Phi \left(\frac{10}{\sigma }\right).$$

查表知 $10/\sigma =0.675$，由此解得

$$\sigma =\mathrm{14.81.}$$

（2）记 $Y$ 为选出的 $5$ 名成年男子中体重超过 $65\mathrm{kg}$ 的人数，则 $Y\sim b(5,p)$，其中

$$p=P(X>65)=\Phi \left(\frac{70-65}{14.81}\right)=\Phi (0.3376)=0.6324,$$

所以“$5$ 名中至少有两人体重超过 $65\mathrm{kg}$”的概率为

$$P(Y\ge 2)=1-0.3676^5-5\times 0.3676^4\times 0.6324=\mathrm{0.94.}$$

习题 2.5-18

由某机器生产的螺栓的长度（以 $\mathrm{cm}$ 计）服从正态分布 $N(10.05,0.06^2)$，若规定长度在范围 $(10.05\pm 0.12)\mathrm{cm}$ 内为合格品，求螺栓不合格的概率。

解 记螺栓的长度为 $X$，则

$$\begin{array}{rl}P(\text{螺栓不合格})& =1-P(10.05-0.12\le X\le 10.05+0.12)\\ & =2-2\Phi (0.12/0.06)\\ & =2-2\times 0.9772\\ & =\mathrm{0.0456.}\end{array}$$

习题 2.5-19

某地抽样调查结果表明，考生的外语成绩（以百分制计）近似地服从 $\mu =72$ 的正态分布，已知 $96$ 分以上的人数占总数的 $2.3\%$，试求考生的成绩大于等于 $60$ 分的概率。

解 记 $X$ 为考生的外语成绩，由题设条件知 $X\sim N(72,{\sigma }^2)$，其中 $\sigma$ 未知，但由题设条件知

$$0.023=P(X>96)=1-\Phi \left(\frac{96-72}{\sigma }\right),$$

即

$$\Phi \left(\frac{24}{\sigma }\right)=\mathrm{0.977.}$$

因此查表知 $24/\sigma =2$，由此解得 $\sigma =12$。从而得

$$X\sim N(72,12^2),$$

由此所求概率为

$$P(X\ge 60)=\Phi (1)=\mathrm{0.8413.}$$

习题 2.5-20

设随机变量 $X\sim N(3,2^2)$，

1. 求 $P(2<X\le 5)$；
2. 求 $P(|X|>2)$；
3. 确定 $c$ 使得 $P(X>c)=P(X<c)$。

解 （1）

$$P(2<X\le 5)=\Phi (1)-\Phi (-0.5)=\Phi (1)-1+\Phi (0.5)=\mathrm{0.5328.}$$

（2）

$$\begin{array}{rl}P(|X|>2)& =P(X>2)+P(X<-2)\\ & =1-\Phi (-0.5)+\Phi (-2.5)\\ & =\Phi (0.5)+1-\Phi (2.5)=\mathrm{0.6977.}\end{array}$$

因为

$$1=P(X>c)+P(X<c),$$

所以由题设条件 $P(X>c)=P(X<c)$ 得

$$P(X<c)=0.5,$$

进而有

$$\frac{c-3}{2}=0,$$

由此得 $c=3$。

习题 2.5-21

设随机变量 $X\sim N(4,3^2)$。

1. 求 $P(-2<X\le 10)$；
2. 求 $P(X>3)$；
3. 设 $d$ 满足 $P(X>d)\ge 0.9$，问 $d$ 至多为多少？

解

$$\begin{array}{rl}\text{（1）}P(-2<X\le 10)& =\Phi (2)-\Phi (-2)\\ & =2\Phi (2)-1\\ & =2\times 0.9772-1\\ & =\mathrm{0.9544.}\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}\text{（2）}P(X>3)& =1-\Phi \left(-\frac{1}{3}\right)\\ & =\Phi \left(\frac{1}{3}\right)\\ & =\mathrm{0.6304.}\end{array}$$

由

$$0.9\le P(X>d)=\Phi \left(\frac{4-d}{3}\right)$$

查表得

$$\frac{4-d}{3}\ge 1.282,$$

由此解得 $d\le 0.154$，故 $d$ 至多取 $0.154$。

习题 2.5-22

测量到某一目标的距离时，发生的随机误差 $X$（以 m 计）具有密度函数

$$p(x)=\frac{1}{40\sqrt{2\pi }}\exp \left\{-\frac{(x-20{)}^2}{2\cdot 40^2}\right\},-\infty <x<\infty .$$

求在三次测量中，至少有一次误差的绝对值不超过 $30$ m 的概率。

解 记 $Y$ 为三次测量中误差的绝对值不超过 $30$ m 的次数，则 $Y\sim b(3,p)$，其中 $p$ 为“一次测量中误差的绝对值不超过 $30$ m”的概率。由 $X\sim N(20,40^2)$，可知

$$\begin{array}{rl}p& =P(-30\le X\le 30)\\ & =\Phi \left(\frac{10}{40}\right)-\Phi \left(-\frac{50}{40}\right)\\ & =\Phi (0.25)-1+\Phi (1.25)\\ & =\mathrm{0.4931.}\end{array}$$

所以“三次测量中至少有一次误差的绝对值不超过 $30$ m”的概率为

$$\begin{array}{rl}P(Y\ge 1)& =1-P(Y=0)\\ & =1-(1-p{)}^3\\ & =1-0.5069^3\\ & =\mathrm{0.8698.}\end{array}$$

习题 2.5-23

从甲地飞往乙地的航班，每天上午 $10:10$ 起飞，飞行时间 $X$ 服从均值是 $4$ h、标准差是 $20$ min 的正态分布。

1. 该机在下午 $2:30$ 以后到达乙地的概率是多少？
2. 该机在下午 $2:20$ 以前到达乙地的概率是多少？
3. 该机在下午 $1:50$ 至 $2:30$ 之间到达乙地的概率是多少？

解 设时间单位为 min，则

$$X\sim N(240,20^2).$$ $$\begin{array}{rl}\text{（1）}P(X\ge 260)& =1-\Phi \left(\frac{260-240}{20}\right)\\ & =1-\Phi (1)\\ & =1-0.8413\\ & =\mathrm{0.1587.}\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}\text{（2）}P(X\le 250)& =\Phi \left(\frac{250-240}{20}\right)\\ & =\Phi (0.5)\\ & =\mathrm{0.6915.}\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}\text{（3）}P(220\le X\le 260)& =2\Phi (1)-1\\ & =2\times 0.8413-1\\ & =\mathrm{0.6826.}\end{array}$$

习题 2.5-24

在某场招聘人员的考试中，共有 $10000$ 人报考。假设考试成绩服从正态分布，且已知 $90$ 分以上有 $359$ 人，$60$ 分以下有 $1151$ 人。现按考试成绩从高分到低分依次录用 $2500$ 人，试问被录用者中最低分为多少？

解 记 $X$ 为考试成绩，则 $X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$。由频率估计概率知

$$0.0359=P(X>90)=1-\Phi \left(\frac{90-\mu }{\sigma }\right),0.1151=P(X<60)=\Phi \left(\frac{60-\mu }{\sigma }\right).$$

上面两式可改写为

$$0.9641=\Phi \left(\frac{90-\mu }{\sigma }\right),0.8849=\Phi \left(\frac{\mu -60}{\sigma }\right).$$

再查表得

$$\frac{90-\mu }{\sigma }=1.8,\frac{\mu -60}{\sigma }=\mathrm{1.2.}$$

由此解得

$$\mu =72,\sigma =10.$$

设被录用者中最低分为 $k$，则

$$0.25=P(X\ge k)=1-\Phi \left(\frac{k-72}{10}\right),0.75=\Phi \left(\frac{k-72}{10}\right).$$

查表得

$$\frac{k-72}{10}\ge 0.675,$$

从中解得

$$k\ge \mathrm{78.75.}$$

因此取被录用者中最低分为 $78.75$ 分即可。

**注：**当 $p<0.5$ 时，满足等式 $\Phi (x)=p$ 的 $x$ 在标准正态分布函数表上不易查得，故改写此式为 $\Phi (-x)=1-p>0.5$，即可查得 $-x$。

习题 2.5-25

设随机变量 $X$ 服从正态分布 $N(60,3^2)$，试求实数 $a,b,c,d$，使得 $X$ 落在如下五个区间中的概率之比为 $7:24:38:24:7$：

$$(-\infty ,a],(a,b],(b,c],(c,d],(d,\infty ).$$

解 由题设条件知

$$P(X\le a)=0.07,P(X\le b)=0.31,P(X\le c)=0.69,P(X\le d)=\mathrm{0.93.}$$

所以

$$\begin{array}{rl}\text{（1）}\Phi \left(\frac{a-60}{3}\right)=0.07& ⟺\Phi \left(\frac{60-a}{3}\right)=0.93\\ & ⟹\frac{60-a}{3}=1.48,\end{array}$$

由此得 $a=55.56$。

$$\begin{array}{rl}\text{（2）}\Phi \left(\frac{b-60}{3}\right)=0.31& ⟺\Phi \left(\frac{60-b}{3}\right)=0.69\\ & ⟹\frac{60-b}{3}=0.495,\end{array}$$

由此得 $b=58.5$。

由 $P(X\le c)=0.69$，查表得

$$\frac{c-60}{3}=0.495,$$

由此得 $c=61.5$。

由 $P(X\le d)=0.93$，查表得

$$\frac{d-60}{3}=1.48,$$

由此得 $d=64.44$。

习题 2.5-26

设随机变量 $X$ 与 $Y$ 均服从正态分布，$X$ 服从正态分布 $N(\mu ,4^2)$，$Y$ 服从正态分布 $N(\mu ,5^2)$，试比较以下 $p_1$ 和 $p_2$ 的大小：

$$p_1=P(X\le \mu -4),p_2=P(Y\ge \mu +5).$$

解 因为

$$p_1=P(X\le \mu -4)=\Phi (-1)=1-\Phi (1),$$ $$p_2=P(Y\ge \mu +5)=1-\Phi (1),$$

所以 $p_1$ 与 $p_2$ 一样大。

习题 2.5-27

设随机变量 $X$ 服从正态分布 $N(0,{\sigma }^2)$，若 $P(|X|>k)=0.1$，试求 $P(X<k)$。

解 由题设条件知

$$\begin{array}{rl}0.9& =P(-k\le X\le k)\\ & =\Phi \left(\frac{k}{\sigma }\right)-\Phi \left(-\frac{k}{\sigma }\right)\\ & =2\Phi \left(\frac{k}{\sigma }\right)-1.\end{array}$$

由此得

$$\Phi \left(\frac{k}{\sigma }\right)=\mathrm{0.95.}$$

所以

$$P(X<k)=\Phi \left(\frac{k}{\sigma }\right)=\mathrm{0.95.}$$

习题 2.5-28

设随机变量 $X$ 服从正态分布 $N(\mu ,{\sigma }^2)$，试问：随着 $\sigma$ 的增大，概率 $P(|X-\mu |<\sigma )$ 是如何变化的？

解 因为

$$\begin{array}{rl}P(|X-\mu |<\sigma )& =P(-\sigma <X-\mu <\sigma )\\ & =\Phi (1)-\Phi (-1)\\ & =0.6826,\end{array}$$

所以随着 $\sigma$ 的增大，概率 $P(|X-\mu |<\sigma )$ 是不变的。

习题 2.5-29

设随机变量 $X$ 服从参数为 $\mu =160$ 和 $\sigma$ 的正态分布，若要求 $P(120<X\le 200)\ge 0.90$，允许 $\sigma$ 最大为多少？

解 由题设条件

$$0.90\le P(120<X\le 200)=2\Phi \left(\frac{40}{\sigma }\right)-1,$$

得

$$\Phi \left(\frac{40}{\sigma }\right)\ge \mathrm{0.95.}$$

从而查表得

$$\frac{40}{\sigma }\ge 1.645,$$

或

$$\sigma \le \mathrm{24.32.}$$

这表明 $\sigma$ 最大为 $24.32$。

习题 2.5-30

设随机变量 $X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$，求 $E(|X-\mu |)$。

解 利用变换

$$t=\frac{x-\mu }{\sigma }$$

及偶函数性质可得

$$\begin{array}{rl}E(|X-\mu |)& =\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{\int }_{-\infty }^{\infty }|x-\mu |\exp \left\{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}\right\}dx\\ & =\sigma \sqrt{\frac{2}{\pi }}{\int }_0^{\infty }\exp \left\{-\frac{t^2}{2}\right\}d\left(\frac{t^2}{2}\right)\\ & =\sigma \sqrt{\frac{2}{\pi }}.\end{array}$$

习题 2.5-31

设随机变量 $X\sim N(0,{\sigma }^2)$，证明

$$E(|X|)=\sigma \sqrt{\frac{2}{\pi }}.$$

解 在上题中令 $\mu =0$ 即可得结论。

习题 2.5-32

设随机变量 $X$ 服从伽马分布 $Ga(2,0.5)$，试求 $P(X<4)$。

解 伽马分布 $Ga(2,0.5)$ 的密度函数为

$$p(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{0.5^2}{\Gamma (2)}{x}^{2-1}{e}^{-0.5x},& x\ge 0,\\ 0,& x<0.\end{array}$$

由于 $\Gamma (2)=1$，因此所求概率为

$$P(X<4)=\frac{1}{4}{\int }_0^{4}x{e}^{-x/2}dx=\mathrm{0.5940.}$$

习题 2.5-33

某地区漏缴税款的比例 $X$ 服从参数 $a=2,b=9$ 的贝塔分布，试求此比例小于 $10\%$ 的概率及平均漏缴税款的比例。

解 贝塔分布 $Be(2,9)$ 的密度函数为

$$p(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{\Gamma (2+9)}{\Gamma (2)\Gamma (9)}{x}^{2-1}(1-x{)}^{9-1},& 0<x<1,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$$

因为 $\Gamma (2+9)=10!$，$\Gamma (2)=1$，$\Gamma (9)=8!$，所以

$$\frac{\Gamma (2+9)}{\Gamma (9)}=90,$$

因此

$$P(X<0.1)=90{\int }_0^{0.1}x(1-x{)}^{8}dx=\mathrm{0.2639.}$$

又

$$E(X)=\frac{a}{a+b}=\frac{2}{11}=\mathrm{0.1818.}$$

习题 2.5-34

某班级学生中数学成绩不及格的比率 $X$ 服从 $a=1,b=4$ 的贝塔分布，试求 $P(X>E(X))$。

解 贝塔分布 $Be(1,4)$ 的密度函数为

$$p(x)=\{\begin{array}{ll}4(1-x{)}^3,& 0<x<1,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$$

且由

$$E(X)=\frac{a}{a+b}=\frac{1}{5}=0.2,$$

知

$$P(X>E(X))={\int }_{0.2}^{1}4(1-x{)}^{3}dx=\mathrm{0.4096.}$$