§2.2 随机变量的数学期望

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§2.2 随机变量的数学期望

1. 数学期望 设随机变量 $X$ 的分布用分布列 $p(x_i)$ 或用密度函数 $p(x)$ 表示，若

$$\{\begin{array}{ll}{\sum }_i|x_i|p(x_i)<\infty ,& \text{当 X 为离散随机变量},\\ {\int }_{-\infty }^{\infty }|x|p(x)dx<\infty ,& \text{当 X 为连续随机变量},\end{array}$$

则称

$$E(X)=\{\begin{array}{ll}{\sum }_i{x}_{i}p(x_i),& \text{当 X 为离散随机变量},\\ {\int }_{-\infty }^{\infty }xp(x)dx,& \text{当 X 为连续随机变量},\end{array}$$

为 $X$ 的数学期望，简称期望或均值，且称 $X$ 的数学期望存在.否则称数学期望不存在.数学期望是由分布决定的，它是分布的位置特征.若两个随机变量同分布，则其数学期望（存在的话）是相等的.

假如把概率看作质量，分布看作某物体的质量分布，那么数学期望就是该物体的重心位置.

2. 数学期望的性质 以下所涉及的数学期望均假定其存在.

1. 随机变量 $X$ 的某一函数 $g(X)$ 的数学期望为

$$E[g(X)]=\{\begin{array}{ll}{\sum }_{i}g(x_i)p(x_i),& \text{在离散场合},\\ {\int }_{-\infty }^{\infty }g(x)p(x)dx,& \text{在连续场合};\end{array}$$

1. 若 $c$ 是常数，则 $E(c)=c$；
2. 对任意常数 $a$，有 $E(aX)=aE(X)$；
3. 对任意的两个函数 $g_1(x)$ 和 $g_2(x)$，有

$$E[g_1(X)\pm g_2(X)]=E[g_1(X)]\pm E[g_2(X)].$$

习题与解答 2.2

习题 2.2-1

设离散型随机变量 $X$ 的分布列为

$X$	$-2$	$0$	$2$
$P$	$0.4$	$0.3$	$0.3$

试求 $E(X)$ 和 $E(3X+5)$.

解

$$E(X)=(-2)\times 0.4+0\times 0.3+2\times 0.3=-0.2,$$ $$\begin{array}{rl}E(3X+5)& =[3\times (-2)+5]\times 0.4+(3\times 0+5)\times 0.3+(3\times 2+5)\times 0.3\\ & =\mathrm{4.4.}\end{array}$$

习题 2.2-2

某商店根据历年销售资料得知：一位顾客在商店中消费的金额 $X$（百元）的分布列为

$X$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
$P$	$0.10$	$0.33$	$0.31$	$0.13$	$0.09$	$0.04$

试求顾客在商店的平均消费金额.

解

$$E(X)=1\times 0.33+2\times 0.31+3\times 0.13+4\times 0.09+5\times 0.04=\mathrm{1.9.}$$

习题 2.2-3

某地区一个月内发生重大交通事故数 $X$ 服从如下分布：

$X$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
$P$	$0.301$	$0.362$	$0.216$	$0.087$	$0.026$	$0.006$	$0.002$

试求该地区发生重大交通事故的月平均数.

解

$$\begin{array}{rl}E(X)& =1\times 0.362+2\times 0.216+3\times 0.087+4\times 0.026+5\times 0.006+6\times 0.002\\ & =\mathrm{1.201.}\end{array}$$

习题 2.2-4

一海运货船的甲板上放着 $20$ 个装有化学原料的圆桶，现已知其中有 $5$ 桶被海水污染了.若从中随机抽取 $8$ 桶，记 $X$ 为 $8$ 桶中被污染的桶数，试求 $X$ 的分布列，并求 $E(X)$.

解 因为 $X$ 的可能取值为 $0,1,2,\dots ,5$，且

$$P(X=k)=\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{k}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{15}{8-k}\right)}{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{20}{8}\right)},k=0,1,2,\dots ,5.$$

将计算结果列表为

$X$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
$P$	$0.0511$	$0.2554$	$0.3973$	$0.2384$	$0.0542$	$0.0036$

由此得

$$E(X)=1\times 0.2554+2\times 0.3973+3\times 0.2384+4\times 0.0542+5\times 0.0036=2.$$

习题 2.2-5

用天平来称某物品的质量（砝码仅允许放在一个盘中），现有三组砝码（单位：g）：（甲）$1,2,2,5,10$；（乙）$1,2,3,4,10$；（丙）$1,1,2,5,10$，称重时只能使用一组砝码.问：当物品的质量为 $1\text{ g},2\text{ g},\dots ,10\text{ g}$ 的概率是相同的，用哪一组砝码称重所用的平均砝码数最少？

解 分别用 $X,Y,Z$ 表示用甲、乙、丙三组砝码称重时所用的砝码数.

（1） 用甲组砝码称重时，$1$ 个砝码可称 $4$ 种物品（$1\text{ g},2\text{ g},5\text{ g},10\text{ g}$）；$2$ 个砝码可称 $4$ 种物品（$3\text{ g},4\text{ g},6\text{ g},7\text{ g}$）；$3$ 个砝码可称 $2$ 种物品（$8\text{ g},9\text{ g}$）.所以 $X$ 的分布列为

$X$	$1$	$2$	$3$
$P$	$\frac{4}{10}$	$\frac{4}{10}$	$\frac{2}{10}$

因此平均所用砝码数为

$$E(X)=1\times \frac{4}{10}+2\times \frac{4}{10}+3\times \frac{2}{10}=\mathrm{1.8.}$$

（2） 用乙组砝码称重时，$1$ 个砝码可称 $5$ 种物品（$1\text{ g},2\text{ g},3\text{ g},4\text{ g},10\text{ g}$）；$2$ 个砝码可称 $3$ 种物品（$5\text{ g},6\text{ g},7\text{ g}$）；$3$ 个砝码可称 $2$ 种物品（$8\text{ g},9\text{ g}$）.所以 $Y$ 的分布列为

$Y$	$1$	$2$	$3$
$P$	$\frac{5}{10}$	$\frac{3}{10}$	$\frac{2}{10}$

因此平均所用砝码数为

$$E(Y)=1\times \frac{5}{10}+2\times \frac{3}{10}+3\times \frac{2}{10}=\mathrm{1.7.}$$

（3） 用丙组砝码称重时，$1$ 个砝码可称 $4$ 种物品（$1\text{ g},2\text{ g},5\text{ g},10\text{ g}$）；$2$ 个砝码可称 $3$ 种物品（$3\text{ g},6\text{ g},7\text{ g}$）；$3$ 个砝码可称 $2$ 种物品（$4\text{ g},8\text{ g}$）；$4$ 个砝码可称 $1$ 种物品（$9\text{ g}$）.所以 $Z$ 的分布列为

$Z$	$1$	$2$	$3$	$4$
$P$	$\frac{4}{10}$	$\frac{3}{10}$	$\frac{2}{10}$	$\frac{1}{10}$

因此平均所用砝码数为

$$E(Z)=1\times \frac{4}{10}+2\times \frac{3}{10}+3\times \frac{2}{10}+4\times \frac{1}{10}=\mathrm{2.0.}$$

所以用乙组砝码称重时，所用的平均砝码数最少.

习题 2.2-6

假设有十只同种电器元件，其中有两只不合格品.装配仪器时，从这批元件中任取一只，如是不合格品，则扔掉重新任取一只；如仍是不合格品，则扔掉再取一只，试求在取到合格品之前，已取出的不合格品数的数学期望.

解 记 $A_i$ 为“第 $i$ 次取出的是合格品”，$i=1,2,3$.随机变量 $X$ 为“取到合格品之前，已取出的不合格品数”.则

$$\begin{array}{rl}P(X=0)& =P(A_1)=\frac{8}{10},\\ P(X=1)& =P({\overline{A}}_1{A}_2)=\frac{2}{10}\times \frac{8}{9}=\frac{8}{45},\\ P(X=2)& =P({\overline{A}}_1{\overline{A}}_2{A}_3)=\frac{2}{10}\times \frac{1}{9}\times \frac{8}{8}=\frac{1}{45}.\end{array}$$

上述三个概率组成一个分布列，其数学期望为

$$E(X)=1\times \frac{8}{45}+2\times \frac{1}{45}=\frac{2}{9}.$$

习题 2.2-7

对一批产品进行检查，如查到第 $a$ 件全为合格品，就认为这批产品合格；若在前 $a$ 件中发现不合格品即停止检查，且认为这批产品不合格.设产品的数量很大，可以认为每次查到不合格品的概率都是 $p$.问每批产品平均要查多少件？

解 设每批要查 $X$ 件，记 $q=1-p$，则 $X$ 的分布列为

$X$	$1$	$2$	$3$	$\cdots$	$a$
$P$	$p$	$qp$	$q^{2}p$	$\cdots$	$q^{a-1}p+q^a$

所以

$$\begin{array}{rl}E(X)& =\sum _{k=1}^{a}k{q}^{k-1}p+a{q}^a\\ & =p{\left(\sum _{k=1}^a{q}^k\right)}^{\prime }+a{q}^a\\ & =p{\left(\frac{q-q^{a+1}}{1-q}\right)}^{\prime }+a{q}^a\\ & =p\frac{[1-(a+1)q^a](1-q)+(q-q^{a+1})}{(1-q{)}^2}+a{q}^a\\ & =\frac{1-q^a}{p}.\end{array}$$

习题 2.2-8

某人参加“答题秀”，一共有问题 $1$ 和问题 $2$ 两个问题.他可以自行决定回答这两个问题的顺序.如果他先回答问题 $i$（$i=1,2$），那么只有回答正确，他才被允许回答另一题.如果他有 $60\%$ 的把握答对问题 $1$，而答对问题 $1$ 将获得 $200$ 元奖励；有 $80\%$ 的把握答对问题 $2$，而答对问题 $2$ 将获得 $100$ 元奖励.问他应该先回答哪个问题，才能使获得奖励的期望值最大？

解 记 $X$ 为回答顺序为 $1,2$ 时所获得的奖励，则 $X$ 的分布列为

$X$	$0$	$200$	$300$
$P$	$0.4$	$0.6\times 0.2$	$0.6\times 0.8$

由此得

$$E(X)=168\text{ 元}.$$

又记 $Y$ 为回答顺序为 $2,1$ 时所获得的奖励，则 $Y$ 的分布列为

$Y$	$0$	$100$	$300$
$P$	$0.2$	$0.8\times 0.4$	$0.8\times 0.6$

由此得

$$E(Y)=176\text{ 元}.$$

因此应该先回答问题 $2$，可以使获得的奖励的期望值最大.

习题 2.2-9

某人想用 $10000$ 元投资于某股票，该股票当前的价格是 $2$ 元/股.假设一年后该股票可能地为 $1$ 元/股和 $4$ 元/股.而理财顾问给他的建议是：若期望一年后所拥有的股票市值达到最大，则现在就购买；若期望一年后所拥有的股票数量达到最大，则一年以后购买.试问理财顾问的建议是否正确？为什么？

解 若现在就购买 $2$ 元/股，则 $10000$ 元可购买 $5000$ 股.记 $X$ 为一年后所拥有的股票市值，$X$ 的分布列为

$X$	$5000\times 1$	$5000\times 4$
$P$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$

所以

$$E(X)=12500\text{ 元},$$

比一年后购买（市值为 $10000$ 元）大.

若一年后购买，记 $Y$ 为一年后所购股票数，则 $10000$ 元等可能地购买 $10000/1=10000$ 股或 $10000/4=2500$ 股，所以 $Y$ 的分布列为

$Y$	$10000$	$2500$
$P$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$

由此得

$$E(Y)=5000+1250=6250\text{（股）},$$

比现在就购买（$5000$ 股）多.

因此，理财顾问的建议是正确的.

习题 2.2-10

保险公司的某险种规定：若某个事件 $A$ 在一年内发生了，则保险公司应付给投保户金额 $a$ 元，而事件 $A$ 在一年内发生的概率为 $p$.若保险公司向投保户收取的保费为每年 $ka$ 元，则 $k$ 为多少，才能使保险公司当年期望收益达到 $a$ 的 $10\%$？

解 记 $X$ 为保险公司的收益，则 $X$ 的分布列为

$X$	$(k-1)a$	$ka$
$P$	$p$	$1-p$

所以保险公司的期望收益为

$$E(X)=(k-1)ap+ka(1-p)=ka-ap.$$

由 $E(X)\ge 0.1a$，即从

$$ka-ap\ge 0.1a$$

中解得

$$k\ge 0.1+p.$$

所以取

$$k=0.1+p$$

即可满足要求.

习题 2.2-11

某厂推土机发生故障后的维修时间 $T$ 是一个随机变量（单位：h），其密度函数为

$$p(t)=\{\begin{array}{ll}0.02e^{-0.02t},& t>0,\\ 0,& t\le 0.\end{array}$$

试求平均维修时间.

解

$$E(T)={\int }_0^{\infty }0.02t{e}^{-0.02t}dt=-t{e}^{-0.02t}{|}_0^{\infty }+{\int }_0^{\infty }{e}^{-0.02t}dt=-\frac{1}{0.02}{e}^{-0.02t}{|}_0^{\infty }=50.$$

故其平均维修时间为 $50\text{ h}$.

习题 2.2-12

某新产品在未来市场上的占有率 $X$ 是在区间 $(0,1)$ 上取值的随机变量，它的密度函数为

$$p(x)=\{\begin{array}{ll}4(1-x{)}^3,& 0<x<1,\\ 0,& \text{其他},\end{array}$$

试求平均市场占有率.

解 这里平均市场占有率就是 $E(X)$.

$$\begin{array}{rl}E(X)& ={\int }_0^{1}4x(1-x{)}^{3}dx={\int }_0^1(4x-12x^2+12x^3-4x^4)dx\\ & =2-4+3-\frac{4}{5}=\frac{1}{5}.\end{array}$$

习题 2.2-13

设随机变量 $X$ 的密度函数如下，试求 $E(2X+5)$.

$$p(x)=\{\begin{array}{ll}{e}^{-x},& x>0,\\ 0,& x\le 0.\end{array}$$

解 因为

$$E(X)={\int }_0^{\infty }x{e}^{-x}dx=1,$$

所以

$$E(2X+5)=7.$$

习题 2.2-14

设随机变量 $X$ 的分布函数如下，试求 $E(X)$.

$$F(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{e^x}{2},& x<0,\\ \frac{1}{2},& 0\le x<1,\\ 1-\frac{1}{2}{e}^{-\frac{1}{2}(x-1)},& x\ge 1.\end{array}$$

解 $X$ 的密度函数（如图 2.7）为

$$p(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{2}{e}^x,& x<0,\\ 0,& 0\le x<1,\\ \frac{1}{4}{e}^{-\frac{1}{2}(x-1)},& x\ge 1.\end{array}$$

所以

$$E(X)={\int }_{-\infty }^0\frac{1}{2}x{e}^{x}dx+{\int }_1^{\infty }\frac{1}{4}x{e}^{-\frac{1}{2}(x-1)}dx=-\frac{1}{2}+\frac{3}{2}=1.$$

\FigureTwoSeven

习题 2.2-15

设随机变量 $X$ 的密度函数为

$$p(x)=\{\begin{array}{ll}a+b{x}^2,& 0\le x\le 1,\\ 0,& \text{其他},\end{array}$$

如果 $E(X)=2/3$, 求 $a$ 和 $b$.

解 由

$${\int }_0^1(a+b{x}^2)dx=1$$

得

$$a+\frac{1}{3}b=1.\text{\hspace{1em}(1)}$$

又由

$$\frac{2}{3}=E(X)={\int }_0^{1}x(a+b{x}^2)dx$$

得

$$\frac{1}{2}a+\frac{1}{4}b=\frac{2}{3}.\text{\hspace{1em}(2)}$$

联立（1）（2）两式，解得

$$a=\frac{1}{3},b=2.$$

习题 2.2-16

某工程队完成某项工程的时间 $X$（单位：月）是一个随机变量，它的分布列为

$X$	$10$	$11$	$12$	$13$
$P$	$0.4$	$0.3$	$0.2$	$0.1$

1. 试求该工程队完成此项工程的平均月数；
2. 设该工程队所获利润（单位：万元）为 $Y=50(13-X)$，试求工程队的平均利润；
3. 若该工程队调整安排，完成该项工程的时间 $X_1$（单位：月）的分布列为

$X_1$	$10$	$11$	$12$
$P$	$0.5$	$0.4$	$0.1$

则其平均利润可增加多少？

解 （1）

$$E(X)=10\times 0.4+11\times 0.3+12\times 0.2+13\times 0.1=11,$$

该工程队完成此项工程平均需 $11$ 个月.

（2）

$$E(Y)=E[50(13-X)]=650-50E(X)=650-550=100,$$

该工程队所获平均利润为 $100$ 万元.

（3） 调整安排后，

$$E(X_1)=10\times 0.5+11\times 0.4+12\times 0.1=10.6,$$

所以平均利润为

$$E(Y_1)=E[50(13-X_1)]=650-50\times 10.6=120,$$

由此得平均利润可增加

$$120-100=20\text{（万元）}.$$

习题 2.2-17

设随机变量 $X$ 的概率密度函数为

$$p(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{2}\cos \frac{x}{2},& 0\le x\le \pi ,\\ 0,& \text{其他},\end{array}$$

对 $X$ 独立重复观察 $4$ 次，$Y$ 表示观察值大于 $\frac{\pi }{3}$ 的次数，求 $Y^2$ 的数学期望.

解 因为事件“观察值大于 $\pi /3$”可用 $\{X>\pi /3\}$ 表示，从而

$$p=P\left(X>\frac{\pi }{3}\right)={\int }_{\pi /3}^{\pi }\frac{1}{2}\cos \frac{x}{2}dx=\sin \frac{x}{2}{|}_{\pi /3}^{\pi }=1-\sin \frac{\pi }{6}=1-0.5=\mathrm{0.5.}$$

而 $Y$ 的分布列为

$$P(Y=k)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{k}\right)0.5^{k}0.5^{4-k},k=0,1,2,3,4.$$

所以

$$E(Y^2)=\sum _{k=0}^4{k}^2\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{k}\right)0.5^4=80\times 0.5^4=5.$$

习题 2.2-18

设随机变量 $X$ 的密度函数为

$$p(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{3}{8}{x}^2,& 0<x<2,\\ 0,& \text{其他},\end{array}$$

试求 $\frac{1}{X^2}$ 的数学期望.

解

$$E\left(\frac{1}{X^2}\right)={\int }_0^2\frac{1}{x^2}\cdot \frac{3}{8}{x}^{2}dx=\frac{3}{4}.$$

习题 2.2-19

设 $X$ 为仅取非负整数的离散随机变量，若其数学期望存在，证明：

1. $E(X)=\sum _{k=1}^{\infty }P(X\ge k)$；
2. $\sum _{k=0}^{\infty }kP(X>k)=\frac{1}{2}[E(X^2)-E(X)]$.

解 （1） 由于

$$E(X)=\sum _{k=1}^{\infty }kP(X=k)$$

存在，所以该级数绝对收敛，从而有

$$\begin{array}{rl}E(X)& =\sum _{k=1}^{\infty }kP(X=k)=\sum _{k=1}^{\infty }\left[\sum _{i=1}^{k}P(X=k)\right]\\ & =\sum _{i=1}^{\infty }\left[\sum _{k=i}^{\infty }P(X=k)\right]=\sum _{i=1}^{\infty }P(X\ge i).\end{array}$$

（2）

$$\begin{array}{rl}\sum _{k=0}^{\infty }kP(X>k)& =\sum _{k=0}^{\infty }k\sum _{i=k+1}^{\infty }P(X=i)=\sum _{i=1}^{\infty }\sum _{k=0}^{i-1}kP(X=i)\\ & =\sum _{i=1}^{\infty }P(X=i)\frac{(i-1)i}{2}\\ & =\frac{1}{2}\sum _{i=1}^{\infty }{i}^{2}P(X=i)-\frac{1}{2}\sum _{i=1}^{\infty }iP(X=i)\\ & =\frac{1}{2}E(X^2)-\frac{1}{2}E(X).\end{array}$$

习题 2.2-20

设连续随机变量 $X$ 的分布函数为 $F(x)$，且数学期望存在，证明：

$$E(X)={\int }_0^{\infty }[1-F(x)]dx-{\int }_{-\infty }^{0}F(x)dx.$$

解

$$E(X)={\int }_{-\infty }^{\infty }xp(x)dx={\int }_{-\infty }^{0}xp(x)dx+{\int }_0^{\infty }xp(x)dx.$$

将第一个积分改写为二次积分，然后改变积分次序，得

$$\begin{array}{rl}{\int }_{-\infty }^{0}xp(x)dx& =-{\int }_{-\infty }^0\left({\int }_x^{0}dy\right)p(x)dx\\ & =-{\int }_{-\infty }^0{\int }_{-\infty }^{y}p(x)dxdy\\ & =-{\int }_{-\infty }^{0}F(y)dy.\end{array}$$

第二个积分亦可改写为二次积分，然后改变积分次序，可得

$$\begin{array}{rl}{\int }_0^{\infty }xp(x)dx& ={\int }_0^{\infty }\left({\int }_0^{x}dy\right)p(x)dx\\ & ={\int }_0^{\infty }\left({\int }_y^{\infty }p(x)dx\right)dy\\ & ={\int }_0^{\infty }[1-F(y)]dy.\end{array}$$

这两个积分之和恰是所要求证的等式.

习题 2.2-21

设 $X$ 为非负连续随机变量，若 $E(X^n)$ 存在，试证明：

1. $E(X)={\int }_0^{\infty }P(X>x)dx$；
2. $E(X^n)={\int }_0^{\infty }n{x}^{n-1}P(X>x)dx$.

解 （1） 因为 $X$ 为非负连续随机变量，所以当 $x<0$ 时，有 $F(x)=0$.利用第 20 题提供的公式得

$$E(X)={\int }_0^{\infty }[1-F(x)]dx={\int }_0^{\infty }P(X>x)dx.$$

（2） 因为 $X$ 为非负连续随机变量，所以 $X^n$ 也是非负连续随机变量，因此利用（1）可得

$$E(X^n)={\int }_0^{\infty }P(X^n>y)dy.$$

令 $y=x^n$，则

$$E(X^n)={\int }_0^{\infty }P(X^n>x^n)n{x}^{n-1}dx={\int }_0^{\infty }P(X>x)n{x}^{n-1}dx.$$

补充习题及解答

补充习题 22

甲、乙两人进行象棋比赛，每局甲胜的概率为 $p$，乙胜的概率为 $q=1-p$.比赛进行到有一人连胜两局为止，求平均比赛局数.

解 设 $X$ 为决定胜负所需的局数，$X$ 可取 $2,3,\dots$ 等正整数.事件 $\{X\ge k\}$ 表示“到第 $k-1$ 局时没有一人连胜两局，总是两人轮流胜”，所以

$$P(X\ge 1)=1,$$ $$P(X\ge 2k)=p^k{q}^{k-1}+p^{k-1}{q}^k=(pq{)}^{k-1},k=1,2,\dots ,$$ $$P(X\ge 2k+1)=2p^k{q}^k,k=1,2,\dots .$$

利用第 19 题提供的公式，可得

$$\begin{array}{rl}E(X)& =\sum _{k=1}^{\infty }P(X\ge k)\\ & =1+\sum _{k=1}^{\infty }(pq{)}^{k-1}+2\sum _{k=1}^{\infty }(pq{)}^k\\ & =1+\frac{1}{1-pq}+\frac{2pq}{1-pq}=\frac{2+pq}{1-pq}.\end{array}$$

又因为对任意的 $p(0<p<1)$，总有 $p(1-p)\le \frac{1}{4}$，故由 $E(X)$ 是 $pq$ 的严格单调增函数可得

$$E(X)\le \frac{2+1/4}{1-1/4}=3.$$

这表明：这种象棋比赛决定最终胜负的平均局数不超过 $3$ 局，它在两选手势均力敌（$p=\frac{1}{2}$）时达到上界.

补充习题 23

设随机变量 $X$ 的分布函数为

$$F(x)=\{\begin{array}{ll}0,& x<-1,\\ \frac{1}{2}+\frac{1}{\pi }\arcsin x,& -1\le x<1,\\ 1,& x\ge 1.\end{array}$$

试求 $E(X)$.

解 利用第 20 题提供的公式，可得

$$E(X)={\int }_0^{\infty }[1-F(x)]dx-{\int }_{-\infty }^{0}F(x)dx$$ $$\begin{array}{rl}& ={\int }_0^1\left(1-\frac{1}{2}-\frac{1}{\pi }\arcsin x\right)dx-{\int }_{-1}^0\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{\pi }\arcsin x\right)dx\\ & ={\left[\frac{x}{2}-\frac{x}{\pi }\arcsin x-\frac{\sqrt{1-x^2}}{\pi }\right]}_0^1-{\left[\frac{x}{2}+\frac{x}{\pi }\arcsin x+\frac{\sqrt{1-x^2}}{\pi }\right]}_{-1}^0\\ & =\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{\pi }\cdot \frac{\pi }{2}+\frac{1}{\pi }\right)-\left(\frac{1}{\pi }+\frac{1}{2}-\frac{1}{\pi }\cdot \frac{\pi }{2}\right)=0.\end{array}$$