§1.4 条件概率

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§1.4 条件概率

设事件 $A$ 的概率为 $P(A)$，若有新的信息（概括为另一事件 $B$）发生，可能会对事件 $A$ 发生的概率产生影响，这就要研究条件概率 $P(A\mid B)$。

1. 条件概率 设 $A,B$ 是样本空间 $\Omega$ 中的两事件，若 $P(B)>0$，则称

$$P(A\mid B)=\frac{P(AB)}{P(B)}$$

为“在事件 $B$ 发生下事件 $A$ 发生的条件概率”，简称条件概率。它满足概率的三条公理。

2. 乘法公式

**（1）**若 $P(B)>0$，则

$$P(AB)=P(B)P(A\mid B).$$

**（2）**若 $P(A_1{A}_2\cdots A_{n-1})>0$，则

$$P(A_1{A}_2\cdots A_n)=P(A_1)P(A_2\mid A_1)P(A_3\mid A_1{A}_2)\cdots P(A_n\mid A_1{A}_2\cdots A_{n-1}).$$

3. 全概率公式 设 $B_1,B_2,\cdots ,B_n$ 互不相容，且

$$\bigcup _{i=1}^n{B}_i=\Omega ,$$

如果 $P(B_i)>0,i=1,2,\cdots ,n$，则对任一事件 $A$ 有

$$P(A)=\sum _{i=1}^{n}P(B_i)P(A\mid B_i).$$

全概率公式提供了计算复杂事件概率的一条有效途径。

4. 贝叶斯公式 设 $B_1,B_2,\cdots ,B_n$ 互不相容，且

$$\bigcup _{i=1}^n{B}_i=\Omega ,$$

如果 $P(A)>0,P(B_i)>0,i=1,2,\cdots ,n$，则

$$P(B_i\mid A)=\frac{P(B_i)P(A\mid B_i)}{{\sum }_{j=1}^{n}P(B_j)P(A\mid B_j)},i=1,2,\cdots ,n.$$

在贝叶斯公式中，诸 $P(B_i)$ 称为 $B_i$ 的先验（试验以前）概率，而诸 $P(B_i\mid A)$ 称为 $B_i$ 的后验（试验以后）概率，它表示在“事件 $A$ 发生”这个新信息后，对 $B_i$ 的概率作出的修正。

习题与解答 1.4

习题 1.4-1

某班级学生的考试成绩数学不及格的占 $8\%$，语文不及格的占 $5\%$，这两门都不及格的占 $2\%$。

1. 已知一学生数学不及格，他语文也不及格的概率是多少？
2. 已知一学生语文不及格，他数学也不及格的概率是多少？

解 记事件 $A$ 为“数学不及格”，$B$ 为“语文不及格”，由题设知

$$P(A)=0.08,P(B)=0.05,P(AB)=\mathrm{0.02.}$$

由此得

$$P(B\mid A)=\frac{P(AB)}{P(A)}=\frac{0.02}{0.08}=0.25,$$ $$P(A\mid B)=\frac{P(AB)}{P(B)}=\frac{0.02}{0.05}=\mathrm{0.4.}$$

习题 1.4-2

设一批产品中一、二、三等品各占 $60\%,35\%,5\%$。从中任意取出一件，结果不是三等品，求取到的是一等品的概率。

解 记事件 $A$ 为“取出一件不是三等品”，$B$ 为“取出一件一等品”，因为

$$A=\text{“取出的是一等品或二等品”}\supset B,$$

所以 $AB=B$，于是所求概率为

$$P(B\mid A)=\frac{P(AB)}{P(A)}=\frac{P(B)}{P(A)}=\frac{0.6}{0.95}=\frac{12}{19}.$$

习题 1.4-3

掷两颗骰子，以 $A$ 记事件“两颗点数之和为 $10$”，以 $B$ 记事件“第一颗点数小于第二颗点数”，试求条件概率 $P(A\mid B)$ 和 $P(B\mid A)$。

解 掷两颗骰子的样本空间为

$$\Omega =\left\{\begin{array}{llllll}(1,1),& (1,2),& (1,3),& (1,4),& (1,5),& (1,6),\\ (2,1),& (2,2),& (2,3),& (2,4),& (2,5),& (2,6),\\ (3,1),& (3,2),& (3,3),& (3,4),& (3,5),& (3,6),\\ (4,1),& (4,2),& (4,3),& (4,4),& (4,5),& (4,6),\\ (5,1),& (5,2),& (5,3),& (5,4),& (5,5),& (5,6),\\ (6,1),& (6,2),& (6,3),& (6,4),& (6,5),& (6,6)\end{array}\right\}.$$

因为

$$A=\{(4,6),(5,5),(6,4)\},$$ $$B=\{(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)\},$$

所以

$$AB=\{(4,6)\},$$

由此得

$$P(A)=\frac{3}{36},P(B)=\frac{15}{36},P(AB)=\frac{1}{36}.$$

于是所求概率为

$$P(A\mid B)=\frac{P(AB)}{P(B)}=\frac{1/36}{15/36}=\frac{1}{15},P(B\mid A)=\frac{P(AB)}{P(A)}=\frac{1/36}{3/36}=\frac{1}{3}.$$

习题 1.4-4

设某种动物由出生生活到 $10$ 岁的概率为 $0.8$，而活到 $15$ 岁的概率为 $0.5$。问现年为 $10$ 岁的这种动物能活到 $15$ 岁的概率是多少？

解 记 $T$ 为此种动物的寿命，由题意知

$$P(T>10)=0.8,P(T>15)=\mathrm{0.5.}$$

又因为

$$\{T>15\}\subset \{T>10\},$$

所以

$$P(T>15\mid T>10)=\frac{P(T>15,T>10)}{P(T>10)}=\frac{P(T>15)}{P(T>10)}=\frac{0.5}{0.8}=\mathrm{0.625.}$$

习题 1.4-5

设 $10$ 件产品中有 $3$ 件不合格品，从中任取两件，已知其中一件是不合格品，求另一件也是不合格品的概率。

解 记事件 $A_i$ 为“第 $i$ 次取出不合格品”，$i=1,2$，$D$ 为“有一件是不合格品”，$E$ 为“另一件也是不合格品”。因为 $D$ 意味着：第一件是不合格品而第二件是合格品，或第一件是合格品而第二件是不合格品，或两件都是不合格品。而 $ED$ 意味着：两件都是不合格品。即

$$D=A_1\overline{A_2}\cup \overline{A_1}{A}_2\cup A_1{A}_2,ED=A_1{A}_2.$$

因为

$$P(D)=P(A_1\overline{A_2})+P(\overline{A_1}{A}_2)+P(A_1{A}_2)=\frac{3\times 7}{10\times 9}+\frac{7\times 3}{10\times 9}+\frac{3\times 2}{10\times 9}=\frac{8}{15},$$ $$P(ED)=\frac{3\times 2}{10\times 9}=\frac{1}{15},$$

所以根据题意得

$$P(E\mid D)=\frac{P(ED)}{P(D)}=\frac{1/15}{8/15}=\frac{1}{8}=\mathrm{0.125.}$$

习题 1.4-6

设 $n$ 件产品中有 $m$ 件不合格品，从中任取两件，已知两件中有一件是合格品，求另一件也是合格品的概率。

解 记事件 $A$ 为“有一件是合格品”，$B$ 为“另一件也是合格品”。因为

$$\begin{array}{rl}P(A)& =P(\text{取出一件合格品、一件不合格品})+P(\text{取出两件都是合格品})\\ & =\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{1}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-m}{1}\right)}{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2}\right)}+\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-m}{2}\right)}{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2}\right)}\\ & =\frac{2m(n-m)+(n-m)(n-m-1)}{n(n-1)}\\ & =\frac{(n-m)(n+m-1)}{n(n-1)},\end{array}$$

而

$$P(AB)=P(\text{取出两件都是合格品})=\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-m}{2}\right)}{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2}\right)}=\frac{(n-m)(n-m-1)}{n(n-1)}.$$

于是所求概率为

$$P(B\mid A)=\frac{P(AB)}{P(A)}=\frac{\frac{(n-m)(n-m-1)}{n(n-1)}}{\frac{(n-m)(n+m-1)}{n(n-1)}}=\frac{n-m-1}{n+m-1}.$$

习题 1.4-7

掷一颗骰子两次，以 $x,y$ 分别表示先后掷出的点数，记

$$A=\{x+y<10\},B=\{x>y\},$$

求 $P(B\mid A),P(A\mid B)$。

解 仿第 $3$ 题得

$$P(A)=\frac{30}{36},P(B)=\frac{15}{36},P(AB)=\frac{13}{36},$$

所以

$$P(B\mid A)=\frac{P(AB)}{P(A)}=\frac{13}{30},P(A\mid B)=\frac{P(AB)}{P(B)}=\frac{13}{15}.$$

习题 1.4-8

已知 $P(A)=1/3,P(B\mid A)=1/4,P(A\mid B)=1/6$，求 $P(A\cup B)$。

解 由乘法公式知

$$P(AB)=P(A)P(B\mid A)=\frac{1}{3}\times \frac{1}{4}=\frac{1}{12},P(B)=\frac{P(AB)}{P(A\mid B)}=\frac{1/12}{1/6}=\frac{1}{2},$$

所以

$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)=\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-\frac{1}{12}=\frac{3}{4}.$$

习题 1.4-9

已知 $P(\overline{A})=0.3,P(B)=0.4,P(A\overline{B})=0.5$，求 $P(B\mid A\cup \overline{B})$。

解 由条件概率的定义知

$$P(B\mid A\cup \overline{B})=\frac{P(AB)}{P(A\cup \overline{B})},$$

其中

$$P(A\cup \overline{B})=P(A)+P(\overline{B})-P(A\overline{B})=0.7+0.6-0.5=\mathrm{0.8.}$$

再由

$$P(A\overline{B})=P(A)-P(AB),$$

可得

$$P(AB)=P(A)-P(A\overline{B})=0.7-0.5=\mathrm{0.2.}$$

代回原式，可得

$$P(B\mid A\cup \overline{B})=\frac{P(AB)}{P(A\cup \overline{B})}=\frac{0.2}{0.8}=\mathrm{0.25.}$$

习题 1.4-10

设 $A,B$ 为两事件，$P(A)=P(B)=1/3,P(A\mid B)=1/6$，求 $P(\overline{A}\mid \overline{B})$。

解 由条件概率的性质知

$$P(\overline{A}\mid \overline{B})=1-P(A\mid \overline{B})=1-\frac{P(A\overline{B})}{P(\overline{B})},$$

其中

$$P(\overline{B})=\frac{2}{3},$$

而

$$P(A\overline{B})=P(A)-P(AB)=\frac{1}{3}-\frac{1}{3}\times \frac{1}{6}=\frac{5}{18}.$$

代回原式，可得

$$P(\overline{A}\mid \overline{B})=1-\frac{5/18}{2/3}=\frac{7}{12}.$$

习题 1.4-11

口袋中有 $1$ 个白球、$1$ 个黑球。从中任取 $1$ 个，若取出白球，则试验停止；若取出黑球，则把取出的黑球放回的同时，再加入 $1$ 个黑球，如此下去，直到取出的是白球为止，试求下列事件的概率：

1. 取到第 $n$ 次，试验没有结束；
2. 取到第 $n$ 次，试验恰好结束。

解 记事件 $A_i$ 为“第 $i$ 次取到黑球”，$i=1,2,\cdots$。

**（1）**所求概率为 $P(A_1{A}_2\cdots A_n)$，用乘法公式得

$$P(A_1{A}_2\cdots A_n)=\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}\cdots \frac{n}{n+1}=\frac{1}{n+1}.$$

**（2）**所求概率为 $P(A_1{A}_2\cdots A_{n-1}\overline{A_n})$，用乘法公式得

$$P(A_1{A}_2\cdots A_{n-1}\overline{A_n})=\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}\cdots \frac{n-1}{n}\cdot \frac{1}{n+1}=\frac{1}{n(n+1)}.$$

习题 1.4-12

一盒晶体管中有 $8$ 只合格品、$2$ 只不合格品。从中不放回地一只一只取出，试求第二次取出的是合格品的概率。

解 记事件 $A_i$ 为“第 $i$ 次取出合格品”，$i=1,2$。用全概率公式

$$P(A_2)=P(A_1)P(A_2\mid A_1)+P(\overline{A_1})P(A_2\mid \overline{A_1})=\frac{8}{10}\times \frac{7}{9}+\frac{2}{10}\times \frac{8}{9}=\frac{4}{5}.$$

习题 1.4-13

甲口袋有 $a$ 个白球、$b$ 个黑球，乙口袋有 $n$ 个白球、$m$ 个黑球。

1. 从甲口袋任取 $1$ 个球放入乙口袋，然后再从乙口袋任取 $1$ 个球。试求最后从乙口袋取出的是白球的概率；
2. 从甲口袋任取 $2$ 个球放入乙口袋，然后再从乙口袋任取 $1$ 个球。试求最后从乙口袋取出的是白球的概率。

解 记事件 $A$ 为“从乙口袋取出的球是白球”。

**（1）**对甲口袋取出的球是白球或黑球，使用全概率公式可得

$$P(A)=\frac{a}{a+b}\cdot \frac{n+1}{n+m+1}+\frac{b}{a+b}\cdot \frac{n}{n+m+1}.$$

**（2）**对甲口袋取出的两个球分三种情况：两个白球、一黑一白、两个黑球，使用全概率公式可得

$$P(A)=\frac{a(a-1)}{(a+b)(a+b-1)}\cdot \frac{n+2}{n+m+2}+\frac{2ab}{(a+b)(a+b-1)}\cdot \frac{n+1}{n+m+2}+\frac{b(b-1)}{(a+b)(a+b-1)}\cdot \frac{n}{n+m+2}.$$

习题 1.4-14

有 $n$ 个口袋，每个口袋中均有 $a$ 个白球、$b$ 个黑球。从第一个口袋中任取一球放入第二个口袋，再从第二个口袋中任取一球放入第三个口袋，如此下去，从第 $n-1$ 个口袋中任取一球放入第 $n$ 个口袋。最后从第 $n$ 个口袋中任取一球，求此时取到的是白球的概率。

解 记

$$A_i=\text{“从第 i 个口袋中取出的是白球”},P(A_i)=p_i,i=1,2,\cdots ,n.$$

因为

$$p_1=\frac{a}{a+b},$$

且由上题（1）知

$$p_2=\frac{a}{a+b}\times \frac{a+1}{a+b+1}+\frac{b}{a+b}\times \frac{a}{a+b+1}=\frac{a}{a+b}.$$

下用归纳法。设 $p_{k-1}=\frac{a}{a+b}$，则由全概率公式得

$$\begin{array}{rl}{p}_k& =P(A_k)=P(A_{k-1})P(A_k\mid A_{k-1})+P(\overline{A_{k-1}})P(A_k\mid \overline{A_{k-1}})\\ & =\frac{a}{a+b}\times \frac{a+1}{a+b+1}+\frac{b}{a+b}\times \frac{a}{a+b+1}\\ & =\frac{a}{a+b}.\end{array}$$

所以由归纳法知：

$$p_n=P(A_n)=\frac{a}{a+b}.$$

习题 1.4-15

钥匙掉了，掉在宿舍里、教室里、路上的概率分别是 $50\%$、$30\%$ 和 $20\%$，而掉在上述三处地方被找到的概率分别是 $0.8$、$0.3$ 和 $0.1$。试求找到钥匙的概率。

解 记事件 $A_1$ 为“钥匙掉在宿舍里”，$A_2$ 为“钥匙掉在教室里”，$A_3$ 为“钥匙掉在路上”，事件 $B$ 为“找到钥匙”。由全概率公式得

$$P(B)=P(A_1)P(B\mid A_1)+P(A_2)P(B\mid A_2)+P(A_3)P(B\mid A_3)=0.5\times 0.8+0.3\times 0.3+0.2\times 0.1=\mathrm{0.51.}$$

习题 1.4-16

两台车床加工同样的零件，第一台出现不合格品的概率是 $0.03$，第二台出现不合格品的概率是 $0.06$，加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件数比第二台加工的零件数多一倍。

1. 求任取一个零件是合格品的概率；
2. 如果取出的零件是不合格品，求它是由第二台车床加工的概率。

解 记事件 $A$ 为“取到第一台车床加工的零件”，则 $P(A)=2/3$，又记事件 $B$ 为“取到合格品”。

**（1）**用全概率公式

$$P(B)=P(A)P(B\mid A)+P(\bar{A})P(B\mid \bar{A})=\frac{2}{3}\times 0.97+\frac{1}{3}\times 0.94=\mathrm{0.96.}$$

**（2）**用贝叶斯公式

$$P(\bar{A}\mid \bar{B})=\frac{P(\bar{A})P(\bar{B}\mid \bar{A})}{P(\bar{B})}=\frac{\frac{1}{3}\times 0.06}{0.04}=\mathrm{0.5.}$$

习题 1.4-17

有两箱零件，第一箱装 $50$ 件，其中 $20$ 件是一等品。第二箱装 $30$ 件，其中 $18$ 件是一等品。现从两箱中随意挑出一箱，然后从该箱中先后任取两个零件，试求：

1. 第一次取出的零件是一等品的概率；
2. 在第一次取出的是一等品的条件下，第二次取出的零件仍然是一等品的概率。

解 记事件 $A_i$ 为“第 $i$ 次取出的是一等品”，$i=1,2$。又记事件 $B_i$ 为“取到第 $i$ 箱”，$i=1,2$。

**（1）**用全概率公式

$$P(A_1)=P(B_1)P(A_1\mid B_1)+P(B_2)P(A_1\mid B_2)=\frac{1}{2}\cdot \frac{20}{50}+\frac{1}{2}\cdot \frac{18}{30}=\mathrm{0.5.}$$

**（2）**因为

$$P(A_1{A}_2)=P(B_1)P(A_1{A}_2\mid B_1)+P(B_2)P(A_1{A}_2\mid B_2)=\frac{1}{2}\cdot \frac{20}{50}\cdot \frac{19}{49}+\frac{1}{2}\cdot \frac{18}{30}\cdot \frac{17}{29}=0.253413,$$

所以

$$P(A_2\mid A_1)=\frac{P(A_1{A}_2)}{P(A_1)}=\frac{0.253413}{0.5}=\mathrm{0.5068.}$$

习题 1.4-18

学生在做一道有 $4$ 个选项的单项选择题时，如果他不知道问题的正确答案，就作随机猜测。现从卷面上看题是答对了，试在以下情况下求学生确实知道正确答案的概率。

1. 学生知道正确答案和胡乱猜测的概率都是 $1/2$；
2. 学生知道正确答案的概率是 $0.2$。

解 记事件 $A$ 为“题目答对了”，事件 $B$ 为“知道正确答案”，则按题意有

$$P(A\mid B)=1,P(A\mid \bar{B})=\mathrm{0.25.}$$

**（1）**此时有 $P(B)=P(\bar{B})=0.5$，所以由贝叶斯公式得

$$P(B\mid A)=\frac{P(B)P(A\mid B)}{P(B)P(A\mid B)+P(\bar{B})P(A\mid \bar{B})}=\frac{0.5\times 1}{0.5\times 1+0.5\times 0.25}=\mathrm{0.8.}$$

**（2）**此时有 $P(B)=0.2$，$P(\bar{B})=0.8$，所以由贝叶斯公式得

$$P(B\mid A)=\frac{P(B)P(A\mid B)}{P(B)P(A\mid B)+P(\bar{B})P(A\mid \bar{B})}=\frac{0.2\times 1}{0.2\times 1+0.8\times 0.25}=\mathrm{0.5.}$$

**思考：**若将此题改成“有 $5$ 个备选项的单项选择题”，那么在（1）与（2）的情况下答案各是多少？

习题 1.4-19

已知男人中有 $5\%$ 是色盲患者，女人中有 $0.25\%$ 是色盲患者，今从男女比例为 $22:21$ 的人群中随机地挑选一人，发现恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？

解 记 $A$ 为事件“任选一人是色盲患者”，记 $B$ 为事件“任选一人是男性”。用贝叶斯公式

$$P(B\mid A)=\frac{P(B)P(A\mid B)}{P(A)}=\frac{\frac{22}{43}\times 0.05}{\frac{22}{43}\times 0.05+\frac{21}{43}\times 0.0025}=\mathrm{0.9544.}$$

习题 1.4-20

口袋中有一个球，不知它的颜色是黑的还是白的。现再往口袋中放入一个白球，然后从口袋中任意取出一个，发现取出的是白球，试问口袋中原来那个球是白球的可能性为多少？

解 记事件 $A$ 为“取出的是白球”，事件 $B$ 为“原来那个球是白球”。容易看出：

$$P(A\mid B)=1,P(A\mid \bar{B})=\mathrm{0.5.}$$

另外由于对袋中原来那个球的颜色一无所知，故设 $P(B)=P(\bar{B})=0.5$ 是合理的，由贝叶斯公式得

$$P(B\mid A)=\frac{P(B)P(A\mid B)}{P(B)P(A\mid B)+P(\bar{B})P(A\mid \bar{B})}=\frac{0.5\times 1}{0.5\times 1+0.5\times 0.5}=\frac{2}{3}.$$

习题 1.4-21

将 $n$ 根绳子的 $2n$ 个头任意两两相接，求恰好结成 $n$ 个圈的概率。

解 设事件 $A_n$ 为“恰好结成 $n$ 个圈”，记 $p_n=P(A_n)$，又记事件 $B$ 为“第 $1$ 根绳子的两个头相接成圈”，则由全概率公式得

$$P(A_n)=P(B)P(A_n\mid B)+P(\bar{B})P(A_n\mid \bar{B}).$$

容易看出

$$P(B)=\frac{1}{2n-1},P(A_n\mid \bar{B})=0,P(A_n\mid B)=P(A_{n-1})=p_{n-1},$$

所以得递推公式

$$p_n=\frac{1}{2n-1}{p}_{n-1},n=2,3,\cdots .$$

由此得

$$p_n=\frac{1}{(2n-1)!!}.$$

习题 1.4-22

$m$ 个人相互传球，球从甲手中开始传出，每次传球时，传球者等可能地把球传给其余 $m-1$ 人中的任何一个。求第 $n$ 次传球时仍由甲传出的概率。

解 设事件 $A_i$ 为“第 $i$ 次传球时由甲传出”，记 $p_i=P(A_i)$，$i=1,2,\cdots$。则 $p_1=1$，且

$$P(A_{i+1}\mid A_i)=0,P(A_{i+1}\mid {\bar{A}}_i)=\frac{1}{m-1}.$$

所以由全概率公式

$$P(A_n)=P(A_{n-1})P(A_n\mid A_{n-1})+P({\bar{A}}_{n-1})P(A_n\mid {\bar{A}}_{n-1})=p_{n-1}\times 0+(1-p_{n-1})\frac{1}{m-1},$$

得递推公式

$$p_n=\frac{1}{m-1}(1-p_{n-1}),n\ge 2.$$

将 $p_1=1$ 代入以上递推公式可得

$$p_n=\frac{1}{m}\left\{1-{\left(\frac{-1}{m-1}\right)}^{n-2}\right\},n=2,3,\cdots .$$

特别，当 $n\to \infty$ 时，有 $p_n\to 1/m$。譬如 $m=5$，则

$$\begin{array}{rl}{p}_1& =1,p_2=0,p_3=0.25,p_4=0.1875,p_5=0.203125,\\ p_6& =0.199219,p_7=0.200195,p_8=0.199951,p_9=0.200012,p_{10}=0.199997,\end{array}$$

最后

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{p}_n=\frac{1}{5}=\mathrm{0.2.}$$

习题 1.4-23

甲、乙两人轮流掷一颗骰子，甲先掷。每当某人掷出 $1$ 点时，则交给对方掷，否则此人继续掷。试求第 $n$ 次由甲掷的概率。

解 设事件 $A_i$ 为“第 $i$ 次由甲掷骰子”，记 $p_i=P(A_i)$，$i=1,2,\cdots$。则有 $p_1=1$，

$$P(A_{i+1}\mid A_i)=\frac{5}{6},P(A_{i+1}\mid {\bar{A}}_i)=\frac{1}{6}.$$

所以由全概率公式

$$P(A_n)=P(A_{n-1})P(A_n\mid A_{n-1})+P({\bar{A}}_{n-1})P(A_n\mid {\bar{A}}_{n-1}),$$

得

$$p_n=\frac{5}{6}{p}_{n-1}+\frac{1}{6}(1-p_{n-1})=\frac{2}{3}{p}_{n-1}+\frac{1}{6},n\ge 2.$$

由此得递推公式

$$p_n-\frac{1}{2}=\frac{2}{3}\left(p_{n-1}-\frac{1}{2}\right),n\ge 2,$$

所以得

$$p_n-\frac{1}{2}={\left(\frac{2}{3}\right)}^{n-1}\left(p_1-\frac{1}{2}\right).$$

将 $p_1=1$ 代入上式可得

$$p_n=\frac{1}{2}\left[1+{\left(\frac{2}{3}\right)}^{n-1}\right],n=2,3,\cdots .$$

由此可见，$\underset{n\to \infty }{\lim }{p}_n=1/2$。这表明：骰子一直由甲掷的机会只有 $1/2$。

习题 1.4-24

甲口袋有 $1$ 个黑球、$2$ 个白球，乙口袋有 $3$ 个白球。每次从两口袋中各任取一球，交换后放入另一口袋。求交换 $n$ 次后，黑球仍在甲口袋中的概率。

解 设事件 $A_i$ 为“第 $i$ 次交换后黑球仍在甲口袋中”，记 $p_i=P(A_i)$，$i=0,1,2,\cdots$。则有 $p_0=1$，且

$$P(A_{i+1}\mid A_i)=\frac{2}{3},P(A_{i+1}\mid {\bar{A}}_i)=\frac{1}{3}.$$

所以由全概率公式得

$$p_n=\frac{2}{3}{p}_{n-1}+\frac{1}{3}(1-p_{n-1})=\frac{1}{3}{p}_{n-1}+\frac{1}{3},n\ge 1.$$

得递推公式

$$p_n-\frac{1}{2}=\frac{1}{3}\left(p_{n-1}-\frac{1}{2}\right),n\ge 1.$$

将 $p_0=1$ 代入上式可得

$$p_n-\frac{1}{2}={\left(\frac{1}{3}\right)}^n\left(\frac{1}{2}\right),$$

由此得

$$p_n=\frac{1}{2}\left[1+{\left(\frac{1}{3}\right)}^n\right],n=1,2,\cdots .$$

习题 1.4-25

假设只考虑天气的两种情况：有雨或无雨。若已知今天的天气情况，明天天气保持不变的概率为 $p$，变的概率为 $1-p$。设第一天无雨，试求第 $n$ 天也无雨的概率。

解 设事件 $A_i$ 为“第 $i$ 天无雨”，记 $p_i=P(A_i)$，$i=1,2,\cdots$。则有 $p_1=1$，且

$$P(A_{i+1}\mid A_i)=p,P(A_{i+1}\mid {\bar{A}}_i)=1-p.$$

所以由全概率公式得

$$p_n=p{p}_{n-1}+(1-p)(1-p_{n-1})=(2p-1)p_{n-1}+1-p,n\ge 2.$$

得递推公式

$$p_n-\frac{1}{2}=(2p-1)\left(p_{n-1}-\frac{1}{2}\right),n\ge 2.$$

所以

$$p_n-\frac{1}{2}=(2p-1{)}^{n-1}\left(p_1-\frac{1}{2}\right).$$

将 $p_1=1$ 代入上式可得

$$p_n=\frac{1}{2}\left[1+(2p-1{)}^{n-1}\right],n=2,3,\cdots .$$

习题 1.4-26

设罐中有 $b$ 个黑球、$r$ 个红球，每次随机取出一个球，取出后将原球放回，再加入 $c$（$c>0$）个同色的球。试证：第 $k$ 次取到黑球的概率为 $b/(b+r)$，$k=1,2,\cdots$。

解 记事件 $A_i(b,r)$ 为“罐中有 $b$ 个黑球、$r$ 个红球时，第 $i$ 次取到的是黑球”，记

$$p_i(b,r)=P(A_i(b,r)),i=1,2,\cdots .$$

显然有

$$p_1(b,r)=\frac{b}{b+r}.$$

下面用归纳法证明。设

$$p_{k-1}(b,r)=\frac{b}{b+r},$$

则由全概率公式得

$$\begin{array}{rl}{p}_k(b,r)& =P(A_k(b,r))\\ & =P(A_1(b,r))P(A_k(b,r)\mid A_1(b,r))+P\left(\overline{A_1(b,r)}\right)P(A_k(b,r)\mid \overline{A_1(b,r)}).\end{array}$$

我们把 $k$ 次取球分为两段：第 $1$ 次取球与后 $k-1$ 次取球。当第 $1$ 次取到黑球时，罐中增加 $c$ 个黑球，这时从原罐中第 $k$ 次取到黑球等价于从新罐（含 $b+c$ 个黑球、$r$ 个红球）中第 $k-1$ 次取到黑球，故有

$$P(A_k(b,r)\mid A_1(b,r))=P(A_{k-1}(b+c,r))=\frac{b+c}{b+r+c}.$$

类似有

$$P(A_k(b,r)\mid \overline{A_1(b,r)})=P(A_{k-1}(b,r+c))=\frac{b}{b+r+c}.$$

所以代入上式得

$$p_k(b,r)=\frac{b}{b+r}\times \frac{b+c}{b+r+c}+\frac{r}{b+r}\times \frac{b}{b+r+c}=\frac{b}{b+r}.$$

由归纳法知结论成立。

习题 1.4-27

口袋中有 $a$ 个白球、$b$ 个黑球和 $n$ 个红球，现从中一个一个不放回地取球。试证白球比黑球出现得早的概率为 $a/(a+b)$，与 $n$ 无关。

解 记事件 $A$ 为“第一次取出白球”，$B$ 为“第一次取出黑球”，$C$ 为“第一次取出红球”。又设 $E_n$ 为“有 $n$ 个红球时，白球比黑球出现得早”，记

$$p_n=P(E_n).$$

以下对 $n$ 用归纳法：

**（1）**当 $n=0$ 时，则“白球比黑球出现得早”意味着“第一次取出白球”，所以有

$$p_0=\frac{a}{a+b}.$$

**（2）**设

$$p_{n-1}=P(E_{n-1})=\frac{a}{a+b},$$

则

$$p_n=P(A)P(E_n\mid A)+P(B)P(E_n\mid B)+P(C)P(E_n\mid C),$$

其中

$$P(E_n\mid A)=1,P(E_n\mid B)=0,P(E_n\mid C)=P(E_{n-1})=p_{n-1}.$$

代入可得

$$\begin{array}{rl}{p}_n& =\frac{a}{a+b+n}\times 1+P(B)\times 0+\frac{n}{a+b+n}{p}_{n-1}\\ & =\frac{a}{a+b+n}+\frac{n}{a+b+n}\cdot \frac{a}{a+b}=\frac{a(a+b)+an}{(a+b)(a+b+n)}=\frac{a}{a+b}.\end{array}$$

由归纳法知结论成立。

习题 1.4-28

设 $P(A)>0$，证明：

$$P(B\mid A)\ge 1-\frac{P(\bar{B})}{P(A)}.$$

解 因为

$$P(AB)=P(A)+P(B)-P(A\cup B)\ge P(A)+P(B)-1=P(A)-P(\bar{B}),$$

所以

$$P(B\mid A)=\frac{P(AB)}{P(A)}\ge \frac{P(A)-P(\bar{B})}{P(A)}=1-\frac{P(\bar{B})}{P(A)}.$$

习题 1.4-29

若事件 $A$ 与 $B$ 互不相容，且 $P(\bar{B})\ne 0$，证明：

$$P(A\mid \bar{B})=\frac{P(A)}{1-P(B)}.$$

解

$$P(A\mid \bar{B})=\frac{P(A\bar{B})}{P(\bar{B})}=\frac{P(A)-P(AB)}{1-P(B)}=\frac{P(A)}{1-P(B)}.$$

习题 1.4-30

设 $A,B$ 为任意两个事件，且 $A\subset B$，$P(B)>0$，则 $P(A)\le P(A\mid B)$。

解 因为 $A\subset B$，所以 $AB=A$，从而

$$P(A\mid B)=\frac{P(AB)}{P(B)}=\frac{P(A)}{P(B)}\ge P(A).$$

**思考：**若条件 $A\subset B$ 不成立，则上述结论不一定成立，你能举出反例吗？

习题 1.4-31

若 $P(A\mid B)>P(A\mid \bar{B})$，证明：$P(B\mid A)>P(B\mid \bar{A})$。

解 由

$$P(A\mid B)>P(A\mid \bar{B}),$$

得

$$P(A\mid B)=\frac{P(AB)}{P(B)}>P(A\mid \bar{B})=\frac{P(A)-P(AB)}{1-P(B)}.$$

所以得

$$P(AB)-P(B)P(AB)>P(A)P(B)-P(B)P(AB),$$

即

$$P(AB)>P(A)P(B).$$

所以

$$P(AB)-P(A)P(AB)>P(A)P(B)-P(A)P(AB),$$

即

$$P(AB)P(\bar{A})>P(A)P(B\bar{A}).$$

由此得

$$\frac{P(AB)}{P(A)}>\frac{P(B\bar{A})}{P(\bar{A})},$$

即

$$P(B\mid A)>P(B\mid \bar{A}).$$

习题 1.4-32

设 $P(A)=p$，$P(B)=1-\epsilon$，证明：

$$\frac{p-\epsilon }{1-\epsilon }\le P(A\mid B)\le \frac{p}{1-\epsilon }.$$

解 一方面

$$P(A\mid B)=\frac{P(AB)}{P(B)}\le \frac{P(A)}{P(B)}=\frac{p}{1-\epsilon }.$$

另一方面

$$P(A\mid B)=\frac{P(AB)}{P(B)}=\frac{P(A)+P(B)-P(A\cup B)}{P(B)}\ge \frac{P(A)+P(B)-1}{P(B)}=\frac{p-\epsilon }{1-\epsilon }.$$

习题 1.4-33

若 $P(A\mid B)=1$，证明：$P(\bar{B}\mid \bar{A})=1$。

解 因为

$$1=P(A\mid B)=\frac{P(AB)}{P(B)},$$

所以得 $P(AB)=P(B)$。由此得

$$\begin{array}{rl}P(\bar{B}\mid \bar{A})& =\frac{P(\bar{B}\bar{A})}{P(\bar{A})}=\frac{1-P(A\cup B)}{P(\bar{A})}\\ & =\frac{1-P(A)-P(B)+P(AB)}{P(\bar{A})}=\frac{1-P(A)}{P(\bar{A})}=1.\end{array}$$

结论得证。