§1.1 随机事件及其运算

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§1.1 随机事件及其运算

1. 随机现象 在一定的条件下，并不总是出现相同结果的现象。概率论研究随机现象的模型——概率分布及其性质；数理统计研究随机现象数据的收集、处理和推断。

2. 样本空间 随机现象的一切可能基本结果组成的集合，记为

$$\Omega =\{\omega \},$$

其中 $\omega$ 表示基本结果，又称为样本点。

3. 随机事件 随机现象的某些样本点组成的集合。常用大写字母 $A,B,C$ 等表示，$\Omega$ 表示必然事件，$\varnothing$ 表示不可能事件。

4. 随机变量 用来表示随机现象结果的变量，常用大写字母 $X,Y,Z$ 等表示。

5. 事件的表示有多种

1. 用集合表示，这是最基本形式；
2. 用准确的语言表示；
3. 用等号或不等号把随机变量与某些实数联结起来表示。

6. 事件间的关系

1. 包含关系 如果属于 $A$ 的样本点必属于 $B$，即事件 $A$ 发生必然导致事件 $B$ 发生，则称 $A$ 被包含在 $B$ 中，记为 $A\subset B$；
2. 相等关系 如果 $A\subset B$ 且 $B\subset A$，则称 $A$ 与 $B$ 相等，记为 $A=B$；
3. 互不相容 如果 $A\cap B=\varnothing$，即 $A$ 与 $B$ 不可能同时发生，则称 $A$ 与 $B$ 互不相容。

7. 事件运算

1. 事件 $A$ 与 $B$ 的并 事件 $A$ 与 $B$ 中至少有一个发生，记为 $A\cup B$；
2. 事件 $A$ 与 $B$ 的交 事件 $A$ 与 $B$ 同时发生，记为 $A\cap B$ 或 $AB$；
3. 事件 $A$ 对 $B$ 的差 事件 $A$ 发生而 $B$ 不发生，记为 $A-B$；
4. 对立事件 事件 $A$ 的对立事件，即“A 不发生”，记为 $\overline{A}$。

8. 事件的运算性质

1. 并与交满足结合律和交换律；
2. 交对并、并对交满足分配律

$$(A\cup B)\cap C=AC\cup BC,$$ $$(A\cap B)\cup C=(A\cup C)\cap (B\cup C);$$

1. 德摩根公式（对偶法则）

$$\begin{array}{rlrl}\overline{A\cup B}& =\overline{A}\cap \overline{B},& \overline{A\cap B}& =\overline{A}\cup \overline{B},\\ \overline{\bigcup _{i=1}^n{A}_i}& =\bigcap _{i=1}^n\overline{A_i},& \overline{\bigcap _{i=1}^n{A}_i}& =\bigcup _{i=1}^n\overline{A_i},\\ \overline{\bigcup _{i=1}^{\infty }{A}_i}& =\bigcap _{i=1}^{\infty }\overline{A_i},& \overline{\bigcap _{i=1}^{\infty }{A}_i}& =\bigcup _{i=1}^{\infty }\overline{A_i}.\end{array}$$

9. 事件域 含有必然事件 $\Omega$，并关于对立运算和可列并运算都封闭的事件类 $\mathcal{F}$ 称为事件域，又称为 $\sigma$ 代数。具体说，事件域 $\mathcal{F}$ 满足：

1. $\Omega \in \mathcal{F}$；
2. 若 $A\in \mathcal{F}$，则对立事件 $\overline{A}\in \mathcal{F}$；
3. 若 $A_n\in \mathcal{F}$，$n=1,2,\cdots$，则可列并 $\bigcup _{n=1}^{\infty }{A}_n\in \mathcal{F}$。

10. 两个常用的事件域

1. 离散样本空间 $\Omega$（有限集或可列集）内的一切子集组成的事件域；
2. 连续样本空间 $\Omega$（如 $\mathbb{R},{\mathbb{R}}^2$ 等）内的一切博雷尔集（如区间或矩形）逐步扩展而成的事件域。

习题与解答 1.1

习题 1.1-1

写出下列随机试验的样本空间：

1. 抛三枚硬币；
2. 掷三颗骰子；
3. 连续抛一枚硬币，直至出现正面为止；
4. 口袋中有黑、白、红球各一个，先从中取出一个，放回后再取出一个；
5. 口袋中有黑、白、红球各一个，先从中取出一个，不放回后再取出一个。

解 （1）

$$\Omega =\{(0,0,0),(0,0,1),(0,1,0),(1,0,0),(0,1,1),(1,0,1),(1,1,0),(1,1,1)\},$$

共有 $2^3=8$ 个样本点，其中 $0$ 表示反面，$1$ 表示正面。（3）中的 $0$ 与 $1$ 也是此意。

（2）

$$\Omega =\{(x,y,z):x,y,z=1,2,3,4,5,6\},$$

共有 $6^3=216$ 个样本点。

（3）

$$\Omega =\{(1),(0,1),(0,0,1),(0,0,0,1),\cdots \},$$

共有可列个样本点。

（4）

$$\Omega =\{\text{黑黑},\text{黑白},\text{黑红},\text{白黑},\text{白白},\text{白红},\text{红黑},\text{红白},\text{红红}\}.$$

（5）

$$\Omega =\{\text{黑白},\text{黑红},\text{白黑},\text{白红},\text{红黑},\text{红白}\}.$$

习题 1.1-2

先抛一枚硬币，若出现正面（记为 $Z$），则再掷一颗骰子，试验停止；若出现反面（记为 $F$），则再抛一次硬币，试验停止。那么该试验的样本空间 $\Omega$ 是什么？

解

$$\Omega =\{Z1,Z2,Z3,Z4,Z5,Z6,FZ,FF\}.$$

习题 1.1-3

设 $A,B,C$ 为三事件，试表示下列事件：

1. $A,B,C$ 都发生或都不发生；
2. $A,B,C$ 中不多于一个发生；
3. $A,B,C$ 中不多于两个发生；
4. $A,B,C$ 中至少有两个发生。

解 （1）

$$ABC\cup \overline{A}\overline{B}\overline{C}.$$

（2）

$$\overline{A}\overline{B}\overline{C}\cup A\overline{B}\overline{C}\cup \overline{A}B\overline{C}\cup \overline{A}\overline{B}C.$$

（3）

$$\Omega -ABC=\overline{ABC}=\overline{A}\cup \overline{B}\cup \overline{C}.$$

（4）

$$AB\cup AC\cup BC.$$

习题 1.1-4

指出下列事件等式成立的条件：

1. $A\cup B=A$；
2. $AB=A$；
3. $A-B=A$。

解 （1）

$$A\supset B.$$

（2）

$$A\subset B.$$

（3）

$$AB=\varnothing .$$

习题 1.1-5

设 $X$ 为随机变量，其样本空间为 $\Omega =\{0\le X\le 2\}$，记事件 $A=\{0.5<X\le 1\}$，$B=\{0.25\le X<1.5\}$，写出下列各事件：

$$\text{（1） }\overline{A}B;\text{（2） }\overline{A}\cup B;\text{（3） }\overline{AB};\text{（4） }\overline{A\cup B}.$$

解 $\Omega ,A,B$ 的图示如图 1.1：

图 1.1

（1）

$$\begin{array}{rl}\overline{A}B& =(\{0\le X\le 0.5\}\cup \{1<X\le 2\})\cap \{0.25\le X<1.5\}\\ & =\{0.25\le X\le 0.5\}\cup \{1<X<1.5\}.\end{array}$$

（2）

$$\overline{A}\cup B=\{0\le X\le 2\}=\Omega .$$

（3）由于 $A\subset B$，所以 $AB=A$，故

$$\overline{AB}=\overline{A}=\{0\le X\le 0.5\}\cup \{1<X\le 2\}.$$

（4）由于 $A\subset B$，所以 $A\cup B=B$，故

$$\overline{A\cup B}=\overline{B}=\{0\le X<0.25\}\cup \{1.5\le X\le 2\}.$$

习题 1.1-6

检查三件产品，只区分每件产品是合格品（记为 $0$）与不合格品（记为 $1$），设 $X$ 为三件产品中的不合格品数，指出下列事件所含的样本点：

$$A=\text{“}X=1\text{”},B=\text{“}X>2\text{”},C=\text{“}X=0\text{”},D=\text{“}X=4\text{”}.$$

解

$$A=\text{“}X=1\text{”}=\{100,010,001\},B=\text{“}X>2\text{”}=\{111\},$$ $$C=\text{“}X=0\text{”}=\{000\},D=\text{“}X=4\text{”}=\varnothing .$$

习题 1.1-7

试问下列命题是否成立？

1. $A-(B-C)=(A-B)-C$；
2. 若 $AB=\varnothing$ 且 $C\subset A$，则 $BC=\varnothing$；
3. $(A\cup B)-B=A$；
4. $(A-B)\cup B=A$。

解 （2）成立，理由是：互不相容的两个集合的子集当然也互不相容。

（1）（3）（4）不成立。为了说明理由，我们利用减法的一个性质：

$$A-B=A\overline{B}$$

来简化事件。

（1）不成立是因为由（1）的右端可得

$$(A-B)-C=A\overline{B}\overline{C}=A\overline{(B\cup C)}=A-(B\cup C)\ne A-(B-C).$$

（3）不成立是因为由（3）的左端可得

$$(A\cup B)-B=(A\cup B)\overline{B}=A\overline{B}\ne A.$$

（4）不成立的理由是

$$(A-B)\cup B=A\overline{B}\cup B=(A\cup B)\cap (\overline{B}\cup B)=A\cup B\ne A.$$

习题 1.1-8

若事件 $ABC=\varnothing$，是否一定有 $AB=\varnothing$？

解 不一定，因为 $ABC=\varnothing$ 发生有多种情况，如

1. $A,B,C$ 中两两不相容（见图 1.2(a)）；
2. $A,B,C$ 中有两个相容，但与第三个都不相容（见图 1.2(b)）；
3. $A$ 与 $B$ 相容，$A$ 与 $C$ 相容，但 $B$ 与 $C$ 不相容（见图 1.2(c)）；
4. $A,B,C$ 中两两相容，但其交不含任一样本点（见图 1.2(d)）。

图 1.2

习题 1.1-9

请叙述下列事件的对立事件：

1. $A=$“掷两枚硬币，皆为正面”；
2. $B=$“射击三次，皆命中目标”；
3. $C=$“加工四个零件，至少有一个合格品”。

解 （1）

$$\overline{A}=\text{“掷两枚硬币，至少有一反面”}.$$

（2）

$$\overline{B}=\text{“射击三次，至少有一次不命中目标”}.$$

（3）

$$\overline{C}=\text{“加工四个零件，全为不合格品”}.$$

习题 1.1-10

证明下列事件的运算公式：

1. $A=AB\cup A\overline{B}$；
2. $A\cup B=A\cup \overline{A}B$。

解 证 （1）右边

$$\text{右边}=A(B\cup \overline{B})=A\Omega =A=\text{左边}.$$

（2）利用（1）有

$$B=BA\cup B\overline{A},$$

所以

$$A\cup B=A\cup BA\cup B\overline{A}=(A\cup BA)\cup \overline{A}B=A\cup \overline{A}B.$$

习题 1.1-11

设 $\mathcal{F}$ 为一事件域，若 $A_n\in \mathcal{F}$，$n=1,2,\cdots$，试证：

1. $\varnothing \in \mathcal{F}$；
2. 有限并 $\bigcup _{i=1}^n{A}_i\in \mathcal{F}$，$n\ge 1$；
3. 有限交 $\bigcap _{i=1}^n{A}_i\in \mathcal{F}$，$n\ge 1$；
4. 可列交 $\bigcap _{i=1}^{\infty }{A}_i\in \mathcal{F}$；
5. 差运算 $A_1-A_2\in \mathcal{F}$。

解 证 （1）因为 $\mathcal{F}$ 为一事件域，所以 $\Omega \in \mathcal{F}$，故其对立事件 $\overline{\Omega }=\varnothing \in \mathcal{F}$。

（2）构造一个事件序列 $\{B_i\}$，其中

$$B_i=\{\begin{array}{ll}{A}_i,& i=1,2,\cdots ,n,\\ \varnothing ,& i=n+1,n+2,\cdots ,\end{array}$$

由此得

$$\bigcup _{i=1}^n{A}_i=\bigcup _{i=1}^{\infty }{B}_i\in \mathcal{F}.$$

（3）因为 $A_i\in \mathcal{F}$，所以 $\overline{A_i}\in \mathcal{F}$。由

$$\overline{\bigcap _{i=1}^n{A}_i}=\bigcup _{i=1}^n\overline{A_i}\in \mathcal{F},$$

得

$$\bigcap _{i=1}^n{A}_i\in \mathcal{F}.$$

（4）因为 $A_i\in \mathcal{F}$，所以 $\overline{A_i}\in \mathcal{F}$。由

$$\overline{\bigcap _{i=1}^{\infty }{A}_i}=\bigcup _{i=1}^{\infty }\overline{A_i}\in \mathcal{F},$$

得

$$\bigcap _{i=1}^{\infty }{A}_i\in \mathcal{F}.$$

（5）因为 $A_2\in \mathcal{F}$，所以 $\overline{A_2}\in \mathcal{F}$。由（3）（有限交）得

$$A_1-A_2=A_1\cap \overline{A_2}\in \mathcal{F}.$$