1. 基底投影

投影的本质是将 “信息” 分解为我们已知的一些 “信息” ，去掉不重要的部分，只保留我们真正关心的部分，可以看作一种离散化的估计手段。

为了直观展现这个道理，我们首先从最熟悉的 Gram-Schmidt 正交化过程开始：

Gram-Schmidt 正交化

设 $V$ 是 $n$ 维内积空间，$x_1,\dots ,x_m$ 线性无关，其中 $m\le n$。令

$$\begin{array}{rl}{y}_1& =x_1,\\ y_2& =x_2-\frac{⟨x_2,y_1⟩}{\Vert y_1{\Vert }^2}{y}_1,\\ y_3& =x_3-\frac{⟨x_3,y_1⟩}{\Vert y_1{\Vert }^2}{y}_1-\frac{⟨x_3,y_2⟩}{\Vert y_2{\Vert }^2}{y}_2,\\ & \cdots \\ y_m& =x_m-\sum _{j=1}^{m-1}\frac{⟨x_m,y_j⟩}{\Vert y_j{\Vert }^2}{y}_j.\end{array}$$

则 $y_1,\dots ,y_m$ 两两正交，并且对任意 $k=1,\dots ,m$，都有

$$\mathrm{span}(y_1,\dots ,y_k)=\mathrm{span}(x_1,\dots ,x_k).$$

进一步令

$$e_i=\frac{y_i}{\Vert y_i\Vert },i=1,\dots ,m,$$

此时 $e_1,\dots ,e_n$ 是 $V$ 的一组单位正交基。

Gram-Schmidt正交化方法的本质就是，如果前 $m-1$ 个向量 $y_1,...,y_{m-1}$ 已经两两正交，那么只要将 $x_m$ 减去其在 $y_1,...,y_{m-1}$ 方向上的投影，那么得到的就是与 $y_1,...,y_{m-1}$ 都正交的新向量 $y_m$

这意味着如果有一组基底，我们可以将其改造为一组两两正交的单位基。那么为什么要选择两两正交的单位基呢？首先我们知道，任何一个向量 $\alpha \in V$, 都可以用 $V$ 的一组基底表示：

$$\alpha =c_1{\eta }_1+c_2{\eta }_2+...+c_n{\eta }_n$$

要确定这些系数 $c_i$ ，我们通常只能去解线性方程组，现在通过 Gram-Schmidt 正交化方法，假设我们将 $\{{\eta }_1,...,{\eta }_n\}$ 转换为了两两正交的单位基 $\{e_1,...,e_n\}$，此时

$$\alpha =c_1{e}_1+c_2{e}_2+...+c_n{e}_n$$

此时要求出 $c_i$，我们只需要两边与 $e_i$ 做内积，不难得到

$$c_i=⟨\alpha ,e_i⟩$$

也就是说我们通过 Gram-Schmidt 正交化的方法，避免了去解方程组，这也是矩阵的标准型与分解 > QR分解 的体现。这样的 $c_i$ 称为 $\alpha$ 的Fourier系数，从几何上来看，就是 $\alpha$ 在 $e_i$​ 方向上的投影系数。为了进一步理解这个系数的几何意义，我们来看下面的两个式子

Fourier系数

$X$ 为有限维内积空间，$e_1,...,e_n$ 为一组两两正交的单位基，$\forall x\in X$，可以表示为

$$x=\sum _{i=1}^n{c}_i{e}_i=\sum _{i=1}^n⟨x,e_i⟩e_i$$

不难证明 1. $\Vert x-{\sum }_{i=1}^m⟨x,e_i⟩e_i{\Vert }^2=\Vert x{\Vert }^2-{\sum }_{i=1}^m|⟨x,e_i⟩{|}^2\ge 0,m\le n$ 2. $\Vert x-{\sum }_{i=1}^m{d}_i{e}_i\Vert \ge \Vert x-{\sum }_{i=1}^m⟨x,e_i⟩e_i\Vert ,m\le n$

上面的第一个等式本质上是勾股定理: 左边是 $x$ 减去其在各个基底上的投影

上面的第二个不等式当 $d_i$ 为Fourier系数时等式才成立，这意味着当用一组基底的线性组合去逼近一个向量时，Fourier系数作为系数此时即为最佳逼近(此时就是各个基底上的投影，几何直观上来看是显然的）

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双线性型 $f(x,y)$在Gram-Schmidt 正交化下的基底，此时对应的Gram矩阵就是 $I_m$。下面我们来研究反对称双线性型的投影，为此需要下面的性质

反对称矩阵性质

$A$ 为反对称矩阵，$A$ 必合同于下列分块对角矩阵，即

$$C^{T}AC=\mathrm{diag}\{S,...,S,0,...,0\}$$ $$S=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right)$$

于是可以看出，反对称矩阵的秩一定为偶数

归纳法证明即可

下面例子的第一问和之前的类似，而第2问则是在辛空间上进行，投影的方式与内积空间有本质的不同

例1

设 $f(\alpha ,\beta )$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 上的对称或反对称双线性函数, $W$ 是 $V$ 的一个真子空间. 证明: $\xi \in V\setminus W$, 必有 $\eta \in W+L(\xi )$, 使 $\forall \alpha \in W$ 都有 $f(\eta ,\alpha )=0$.

证明: (1) 设 $f(\alpha ,\beta )$ 是 $V$ 上的对称双线性函数, 则 $f$ 限制在 $W$ 上也是对称双线性函数, 故存在 $W$ 的一个基 $e_1,e_2,\dots ,e_m$, 这里 $m=\dim W$, 使 $f$ 在该基下的度量矩阵为对角矩阵, 其对角元为 $f(e_i,e_i)$, $i=1,2,\dots ,m$. 若 $f$ 限制在 $W$ 上是非退化的, 则 $f(e_i,e_i)\ne 0,i=1,2,\dots ,m$. 取

$$\eta =\xi -\frac{f(\xi ,e_1)}{f(e_1,e_1)}{e}_1-\frac{f(\xi ,e_2)}{f(e_2,e_2)}{e}_2-\cdots -\frac{f(\xi ,e_m)}{f(e_m,e_m)}{e}_m,$$

显然有 $\eta \in W+L(\xi )$. 对于任一 $\alpha \in W$, 令 $\alpha ={\sum }_{i=1}^m{k}_i{e}_i$, 易知 $f(\eta ,\alpha )=0$. 若 $f$ 限制在 $W$ 上是退化的, 则经适当排序后必有 $f(e_m,e_m)=0$, 此时也有 $f(e_m,e_i)=0$，于是 $f(e_m,\alpha )=0$，故只需取 $\eta =e_m$ 即可.

(2) 若 $f(\alpha ,\beta )$ 是 $V$ 上的反对称双线性函数. 若 $f$ 限制在 $W$ 上是非退化的, 由上面反对称矩阵的性质，$m=2k$ 为偶数，并且存在 $W$ 的一组基(辛基底)$e_1,{\alpha }_1,e_2,{\alpha }_2,\dots ,e_k,{\alpha }_k$, 使得

$$\{\begin{array}{l}f(e_i,{\alpha }_i)=1\\ \\ f({\alpha }_i,e_i)=-1\\ \\ 其余为0\end{array}$$

于是 $f$ 在这组基下的度量矩阵为

$$\left(\begin{array}{ccccccc}0& 1& & & & & \\ -1& 0& & & & & \\ & & 0& 1& & & \\ & & -1& 0& & & \\ & & & & \ddots & & \\ & & & & & 0& 1\\ & & & & & -1& 0\end{array}\right)$$

取

$$\eta =\xi -\sum _{i=1}^k[f(\xi ,{\alpha }_i)e_i-f(\xi ,e_i){\alpha }_i]$$

此时由于 $f({\alpha }_i,e_i)=-f(e_i,{\alpha }_i)=1$ 容易验证，$f(\eta ,{\alpha }_i)=f(\eta ,e_i)=0$，于是 $f(\eta ,\alpha )=0$ 若 $f$ 限制在 $W$ 上是退化的, 则 $W$ 中存在 $\beta \ne 0$, 使 $\forall \alpha \in W$ 都有 $f(\beta ,\alpha )=0$, 取 $\eta =\beta$ 即可

(1) 实际上就是减去在各个方向上在Gram矩阵度量下的 f-正交投影，在内积空间中，一个单位正交基向量 $e_i$ 既是展开方向，也是测量方向 (2)关于 $\eta$ 的构造: 本质上是从向量 $\xi$ 中减去它在子空间 $W$ 上的辛投影，得到的结果 $\eta$ 必然与整个子空间 $W$ 辛正交。 与内积空间投影不同的是，在辛空间中，$\xi$ 在某个方向上 $e_i$ 的投影分量并不是由 $e_i$ 衡量，而是由它的配偶向量 ${\alpha }_i$ 衡量