积分理论

1 非负函数的积分

我们分三段来讨论：

1° 测度有限集合上的非负有界函数情形

设 $E$ 是 $R^n$ 中的一可测集，如果 $E_1,E_2,\cdots ,E_m$ 是 $E$ 的互不相交的可测子集，

$$E=\bigcup _{i=1}^m{E}_i,$$

则我们就说，$E_1,E_2,\cdots ,E_m$ 构成 $E$ 的一个（可测）分划，或者说等式

$$E=\bigcup _{i=1}^m{E}_i$$

表示 $E$ 的一个分划。 设

$$D_1:E=\bigcup _{i=1}^{m_1}{E}_i^{(1)},D_2:E=\bigcup _{i=1}^{m_2}{E}_i^{(2)}$$

是 $E$ 的两个分划，则

$$E=\bigcup _{i=1}^{m_1}\bigcup _{j=1}^{m_2}\left(E_i^{(1)}\cap E_j^{(2)}\right)$$

显然也是 $E$ 的一个分划，我们称它是分划 $D_1$ 和 $D_2$ 的合并。 对于 $E$ 的两个分划 $D$ 和 $D^{\prime }$，如果 $D^{\prime }$ 是 $D$ 和 $E$ 的另一分划的合并，则我们就说分划 $D^{\prime }$ 比分划 $D$ 更细密。 现在我们设 $E$ 不仅是可测的，而且它的测度还是有限的，即

$$mE<+\infty .$$

又设 $f(x)$ 是 $E$ 上的非负有界函数，

$$0\le f(x)\le M<+\infty .$$

对于 $E$ 的分划

$$D:E=\bigcup _{i=1}^m{E}_i,$$

令

$$b_i=\underset{x\in E_i}{\inf }f(x),B_i=\underset{x\in E_i}{\sup }f(x),i=1,2,\cdots ,m.$$

作和

$$s_D=\sum _{i=1}^m{b}_{i}m{E}_i,S_D=\sum _{i=1}^m{B}_{i}m{E}_i.$$

分别称之为 $f(x)$ 关于分划 $D$ 的小和数与大和数。显然

$$0\le s_D\le S_D\le MmE.$$

另外，如果我们作 $E$ 上的简单函数

$${\underline{\psi }}_D(x)=\sum _{i=1}^m{b}_i{\phi }_{E_i}(x),$$ $${\overline{\psi }}_D(x)=\sum _{i=1}^m{B}_i{\phi }_{E_i}(x),$$

则在 $E$ 上

$${\underline{\psi }}_D(x)\le f(x)\le {\overline{\psi }}_D(x),$$

所以

$$G(E;{\underline{\psi }}_D)\subset G(E;f)\subset G(E;{\overline{\psi }}_D).$$

而且

$$s_D=mG(E;{\underline{\psi }}_D),S_D=mG(E;{\overline{\psi }}_D).$$

引理

如果 $E$ 的分划 $D^{\prime }$ 比 $D$ 更细密，则

$$s_D\le s_{D^{\prime }}\le S_{D^{\prime }}\le S_D.$$

证明 设

$$D=\bigcup _{i=1}^m{E}_i,$$

$D^{\prime }$ 是 $D$ 和分划

$$D^{\prime \prime }=\bigcup _{j=1}^l{E}_j^{\prime \prime }$$

合并而成的，即 $D^{\prime }$ 是

$$E=\bigcup _{i=1}^m\bigcup _{j=1}^l(E_i\cap E_j^{\prime \prime })=\bigcup _{i=1}^m\bigcup _{j=1}^l{E}_{ij}.$$

此处

$$E_{ij}=E_i\cap E_j^{\prime \prime }.$$

注意 $E_{ij}\subset E_i$，所以

$$b_i^{\prime }\stackrel{\mathrm{def}}{=}\underset{x\in E_{ij}}{\inf }f(x)\ge b_i\stackrel{\mathrm{def}}{=}\underset{x\in E_i}{\inf }f(x),$$ $$B_i^{\prime }\stackrel{\mathrm{def}}{=}\underset{x\in E_{ij}}{\sup }f(x)\le B_i\stackrel{\mathrm{def}}{=}\underset{x\in E_i}{\sup }f(x),$$

其中

$$i=1,2,\cdots ,m,j=1,2,\cdots ,l.$$

于是

$$s_{D^{\prime }}=\sum _{i=1}^m\sum _{j=1}^l{b}_{ij}m{E}_{ij}\ge \sum _{i=1}^m\sum _{j=1}^l{b}_{i}m{E}_{ij}$$ $$=\sum _{i=1}^m{b}_i\left(\sum _{j=1}^{l}m{E}_{ij}\right)=\sum _{i=1}^m{b}_{i}m{E}_i=s_D.$$

同理，

$$S_{D^{\prime }}=\sum _{i=1}^m\sum _{j=1}^l{B}_{ij}m{E}_{ij}\le \sum _{i=1}^m\sum _{j=1}^l{B}_{i}m{E}_{ij}$$ $$=\sum _{i=1}^m{B}_i\left(\sum _{j=1}^{l}m{E}_{ij}\right)=\sum _{i=1}^m{B}_{i}m{E}_i=S_D.$$

而

$$s_{D^{\prime }}\le S_{D^{\prime }}$$

是已知的，所以

$$s_D\le s_{D^{\prime }}\le S_{D^{\prime }}\le S_D.$$

证毕。

推论

对于 $E$ 的任意两个分划 $D_1$ 和 $D_2$，都有

$$s_{D_i}\le S_{D_j},i=1,2;j=1,2.$$

证明 合并 $D_1$ 和 $D_2$ 成为一新的分划 $D$，则

$$s_{D_i}\le s_D\le S_D\le S_{D_j},i=1,2;j=1,2.$$

定义： 对于测度有限的可测集 $E$ 及 $E$ 上的有界非负函数 $f(x)$，定义 $f(x)$ 在 $E$ 上的上积分为

$$\overline{{\int }_E}f(x)dx=\underset{D}{\inf }\{S_D\}.$$

下积分为

$$\underline{{\int }_E}f(x)dx=\underset{D}{\sup }\{s_D\}.$$

此处 $\inf$ 和 $\sup$ 是就 $E$ 的一切可能的分划取的。 由定义及前面的推论，即知

$$\underline{{\int }_E}f(x)dx\le \overline{{\int }_E}f(x)dx.$$

又如果 $f(x)$ 在 $E$ 上恒等于一常数 $c$，则

$$\underline{{\int }_E}f(x)dx=\overline{{\int }_E}f(x)dx=cmE.$$

定理 1

设 $mE<+\infty$，$f(x),g(x)$ 都是 $E$ 上的非负有界函数，则：

（1）当 $f(x)\le g(x)(x\in E)$ 时，

$$\underline{{\int }_E}f(x)dx\le \underline{{\int }_E}g(x)dx,\overline{{\int }_E}f(x)dx\le \overline{{\int }_E}g(x)dx.$$

（2）如果 $E_1,E_2$ 都是 $E$ 的可测子集，且

$$E_1\cap E_2=\varnothing ,E=E_1\cup E_2,$$

则

$$\overline{{\int }_E}f(x)dx=\overline{{\int }_{E_1}}f(x)dx+\overline{{\int }_{E_2}}f(x)dx,$$ $$\underline{{\int }_E}f(x)dx=\underline{{\int }_{E_1}}f(x)dx+\underline{{\int }_{E_2}}f(x)dx.$$

（3）

$$\overline{{\int }_E}[f(x)+g(x)]dx\le \overline{{\int }_E}f(x)dx+\overline{{\int }_E}g(x)dx,$$ $$\underline{{\int }_E}[f(x)+g(x)]dx\ge \underline{{\int }_E}f(x)dx+\underline{{\int }_E}g(x)dx.$$

证明 （1）是显然的。现在证明（2）。对于 $E_1$ 上的任一分划 $D_1$ 和 $E_2$ 上的任意分划 $D_2$，我们都可以把它们“拼接”成为 $E$ 的一个分划 $D$。这时

$$\overline{{\int }_E}f(x)dx\le S_D=S_{D_1}+S_{D_2}.$$

所以

$$\overline{{\int }_E}f(x)dx\le \overline{{\int }_{E_1}}f(x)dx+\overline{{\int }_{E_2}}f(x)dx.$$

另一方面，对于 $E$ 的任意分划

$$D:E=\bigcup _{i=1}^m{E}_i,$$

易见 $E_1\cap E_1,E_1\cap E_2,\cdots ,E_1\cap E_m;$ $E_2\cap E_1,E_2\cap E_2,\cdots ,E_2\cap E_m$ 构成 $E$ 上的一个比 $D$ 更细密的分划

$$D^{\ast }:E=\left(\bigcup _{i=1}^m{E}_i\cap E_1\right)\cup \left(\bigcup _{i=1}^m{E}_i\cap E_2\right).$$

注意

$$E_i=(E_i\cap E_1)\cup (E_i\cap E_2),$$

和

$$E_1=\bigcup _{i=1}^m(E_i\cap E_1),E_2=\bigcup _{i=1}^m(E_i\cap E_2),$$

分别是 $E_1$ 和 $E_2$ 的分划，我们记之为 $D_1^{\ast }$ 和 $D_2^{\ast }$，则由引理，

$$S_D\ge S_{D^{\ast }}=S_{D_1^{\ast }}+S_{D_2^{\ast }}\ge \overline{{\int }_{E_1}}f(x)dx+\overline{{\int }_{E_2}}f(x)dx,$$

因此又有

$$\overline{{\int }_E}f(x)dx\ge \overline{{\int }_{E_1}}f(x)dx+\overline{{\int }_{E_2}}f(x)dx.$$

于是

$$\overline{{\int }_E}f(x)dx=\overline{{\int }_{E_1}}f(x)dx+\overline{{\int }_{E_2}}f(x)dx.$$

关于下积分的等式的证明是类似的，留作习题。 最后证明（3）。设 $\epsilon >0$，由定义应有 $E$ 的两个分划 $D_1$ 和 $D_2$，使

$$S_{D_1}(f)<\overline{{\int }_E}f(x)dx+\frac{\epsilon }{2},S_{D_2}(g)<\overline{{\int }_E}g(x)dx+\frac{\epsilon }{2}.$$

此处 $S_{D_1}(f),S_{D_2}(g)$ 分别是 $f$ 关于 $D_1$ 和 $g$ 关于 $D_2$ 的大和数。合并 $D_1,D_2$ 而成 $E$ 的一个更细密的分划 $D$，则当 $S_D(f+g)$ 是 $f(x)+g(x)$ 关于 $D$ 的大和数时，

$$\overline{{\int }_E}[f(x)+g(x)]dx\le S_D(f+g)\le S_D(f)+S_D(g)$$ $$\le S_{D_1}(f)+S_{D_2}(g)<\overline{{\int }_E}f(x)dx+\overline{{\int }_E}g(x)dx+\epsilon .$$

由于 $\epsilon >0$ 任意，这说明

$$\overline{{\int }_E}[f(x)+g(x)]dx\le \overline{{\int }_E}f(x)dx+\overline{{\int }_E}g(x)dx.$$

关于下积分的不等式可类似地证明。

定理 2

如果 $E$ 是 ${\mathbb{R}}^n$ 中测度有限的可测集，$f(x)$ 是 $E$ 上的非负有界函数，则

$$\underline{{\int }_E}f(x)dx=\overline{{\int }_E}f(x)dx$$

的充要条件是 $f(x)$ 为 $E$ 上的可测函数。

证明 充分性 设

$$0\le f(x)<M(x\in E).$$

对任意 $\epsilon >0$，取正整数 $k$，使

$$\frac{M}{k}<\frac{\epsilon }{1+mE}.$$

由于 $f(x)$ 可测，所以令

$$E_i=\left\{x;(i-1)\frac{M}{k}\le f(x)<i\frac{M}{k}\right\},i=1,2,\cdots ,k,$$

则

$$E=\bigcup _{i=1}^k{E}_i$$

是 $E$ 的一个分划 $D$，显然

$$0\le S_D-s_D=\sum _{i=1}^k(B_i-b_i)m{E}_i$$ $$\le \sum _{i=1}^k\frac{M}{k}m{E}_i=\frac{M}{k}mE<\epsilon .$$

因此

$$\overline{{\int }_E}f(x)dx-\underline{{\int }_E}f(x)dx<\epsilon .$$

由于 $\epsilon >0$ 任意，所以

$$\overline{{\int }_E}f(x)dx=\underline{{\int }_E}f(x)dx.$$

必要性 既然

$$\underset{D}{\sup }\{s_D\}=\underline{{\int }_E}f(x)dx=\overline{{\int }_E}f(x)dx=\underset{D}{\inf }\{S_D\},$$

对任意正整数 $n$，都应有 $E$ 的分划 $D_n^{\prime },D_n^{\prime \prime }$，使

$$S_{D_n^{\prime }}-s_{D_n^{\prime \prime }}<\frac{1}{n}.$$

根据引理，我们对合并 $D_n^{\prime },D_n^{\prime \prime }$ 而得的分划 $D_n$ 也有

$$S_{D_n}-s_{D_n}<\frac{1}{n}.$$

由于必要时我们还可以合并 $D_1,\cdots ,D_n$ 而作为新的 $D_n$，我们还可假定上述这一串分划是一个比一个更细密的。设

$$D_n:E=\bigcup _{i=1}^{m_n}{E}_i^{(n)},n=1,2,3,\cdots .$$

考虑与之相应的简单函数列

$${\psi }_n(x)=\sum _{i=1}^{m_n}{b}_i^{(n)}{\phi }_{E_i^{(n)}}(x)$$

和

$${\varphi }_n(x)=\sum _{i=1}^{m_n}{B}_i^{(n)}{\phi }_{E_i^{(n)}}(x),$$

其中

$$b_i^{(n)}=\underset{x\in E_i^{(n)}}{\inf }f(x),B_i^{(n)}=\underset{x\in E_i^{(n)}}{\sup }f(x),i=1,2,\cdots ,m_n,n=1,2,\cdots .$$

它们都是 $E$ 上的可测函数序列，并且在 $E$ 上有

$$0\le {\psi }_1(x)\le {\psi }_2(x)\le \cdots \le {\psi }_n(x)\le \cdots \le f(x)\le \cdots \le {\varphi }_n(x)\le \cdots \le {\varphi }_2(x)\le {\varphi }_1(x).$$

因而在 $E$ 上

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{\psi }_n(x),\underset{n\to \infty }{\lim }{\varphi }_n(x)$$

存在，令

$$\underline{f}(x)=\underset{n\to \infty }{\lim }{\psi }_n(x),\overline{f}(x)=\underset{n\to \infty }{\lim }{\varphi }_n(x),$$

则 $\underline{f}(x),\overline{f}(x)$ 都是 $E$ 上的非负可测函数，并且

$$\underline{f}(x)\le f(x)\le \overline{f}(x)(x\in E).$$

我们说这里的 $\underline{f}(x)$ 和 $\overline{f}(x)$ 其实是在 $E$ 上几乎处处相等的。因若不然，则有 $\epsilon >0$，使

$$mE(\epsilon )=m\{x;\overline{f}(x)-\underline{f}(x)\ge \epsilon \}=\delta >0.$$

于是在 $E(\epsilon )$ 上更应有

$${\varphi }_n(x)-{\psi }_n(x)\ge \epsilon .$$

从而

$$S_{D_n}-s_{D_n}=\sum _{i=1}^{m_n}\left(B_i^{(n)}-b_i^{(n)}\right)m{E}_i^{(n)}$$ $$\ge \sum _{i=1}^{m_n}\left(B_i^{(n)}-b_i^{(n)}\right)m\left(E(\epsilon )\cap E_i^{(n)}\right)$$ $$=\sum _{i=1}^{m_n}\left[{\varphi }_n(x)-{\psi }_n(x)\right]m\left(E(\epsilon )\cap E_i^{(n)}\right)$$ $$\ge \epsilon \sum _{i=1}^{m_n}m\left(E(\epsilon )\cap E_i^{(n)}\right)=\epsilon \delta >0.$$

与

$$S_{D_n}-s_{D_n}<\frac{1}{n}\to 0(n\to +\infty )$$

相冲突。可见 $\underline{f}(x)$ 和 $\overline{f}(x)$ 在 $E$ 上几乎处处相等，当然 $f(x)$ 也就和 $\underline{f}(x)$ 几乎处处相等，因而 $f(x)$ 在 $E$ 上可测。证完。

定理 2 告诉我们，当 $mE<+\infty$ 时，在 $E$ 上的非负有界函数 $f(x)$ 在 $E$ 上的上、下积分相等是和 $f(x)$ 在 $E$ 上可测相等价的。这时我们可把它的上、下积分的共同值称为 $f(x)$ 在 $E$ 上的积分，记为

$${\int }_{E}f(x)dx.$$

从定理 1 立即可知，如果 $f(x),g(x)$ 都是 $E$ 上的非负有界可测函数，则

$${\int }_E[f(x)+g(x)]dx={\int }_{E}f(x)dx+{\int }_{E}g(x)dx.$$

$2^{\circ }$ 测度有限集合上的非负函数情形

以上我们考虑的是 $mE<+\infty$，$f(x)$ 在 $E$ 上非负有界的情形。现在设 $f(x)$ 在 $E$ 上只是非负。对每一正整数 $m$，令

$$|f(x){|}_m=\min \{|f(x)|,m\},$$

则 $|f(x){|}_m$ 是 $E$ 上的非负有界函数，如果这些 $|f(x){|}_m$ 都在 $E$ 上有积分，这等价于 $f(x)$ 在 $E$ 上可测，令

$$I_m={\int }_E|f(x){|}_{m}dx,m=1,2,3,\cdots .$$

便得到一个单调上升的数列，因而 $\lim I_m$ 总是存在的，它可能是有限的也可能等于 $+\infty$。我们定义这个极限为 $f(x)$ 在 $E$ 上的积分，即定义

$${\int }_{E}f(x)dx=\underset{m\to \infty }{\lim }{I}_m=\underset{m\to \infty }{\lim }{\int }_E|f(x){|}_{m}dx.$$

由于显然有

$$f(x)=\underset{m\to \infty }{\lim }|f(x){|}_m,$$

我们立即可知上述积分 ${\int }_{E}f(x)dx$ 存在必需且只需 $f(x)$ 是 $E$ 上的非负可测函数。又如果 $f(x)$ 在 $E$ 上实际上还是有界的，则当 $m$ 充分大时，$|f(x){|}_m=f(x)(x\in E)$，因此便等于原先定义的 $f(x)$ 在 $E$ 上的积分，可见用上述办法把积分定义推广到一般的非负函数上去的办法，和原有的定义是相容的。 如果 $f(x),g(x)$ 都是 $E$ 上的非负可测函数，$E_1,E_2$ 是 $E$ 的可测子集，$E=E_1\cup E_2$，$E_1\cap E_2=\varnothing$，则 （i）当 $f(x)\le g(x)(x\in E)$ 时，

$${\int }_{E}f(x)dx\le {\int }_{E}g(x)dx;$$

（ii）

$${\int }_{E}f(x)dx={\int }_{E_1}f(x)dx+{\int }_{E_2}f(x)dx;$$

（iii）

$${\int }_E[f(x)+g(x)]dx={\int }_{E}f(x)dx+{\int }_{E}g(x)dx.$$

事实上，（i），（ii）从定理 1 的（i）（ii）直接推出。至于（iii），因为对于任意 $m$，都有

$$|f(x)+g(x){|}_m\le |f(x){|}_m+|g(x){|}_m\le |f(x)+g(x){|}_{2m},$$

所以

$${\int }_E|f(x)+g(x){|}_{m}dx\le {\int }_E|f(x){|}_{m}dx+{\int }_E|g(x){|}_{m}dx$$ $$\le {\int }_E|f(x)+g(x){|}_{2m}dx.$$

令 $m\to +\infty$ 便得

$${\int }_E[f(x)+g(x)]dx\le {\int }_{E}f(x)dx+{\int }_{E}g(x)dx$$ $$\le {\int }_E[f(x)+g(x)]dx.$$

这说明（iii）是成立的。

$3^{\circ }$ 测度无限情形

最后我们来考虑 $mE=+\infty$ 的情形，对任何正整数 $m$，令

$$E_m=E[x;\Vert x\Vert \le m]=\{x;x\in E,\Vert x\Vert \le m\},$$

则 $m{E}_m<+\infty$。如果 $f(x)$ 是 $E$ 上的非负可测函数，它在每一 $E_m$ 上都有积分（这相当于说 $f(x)$ 在每一 $E_m$ 上都是非负可测），则它在 $E_m$ 上的积分

$$J_m={\int }_{E_m}f(x)dx$$

构成一递增的广义数列。现在定义 $f(x)$ 在 $E$ 上的积分为

$${\int }_{E}f(x)dx=\underset{m\to \infty }{\lim }{J}_m=\underset{m\to \infty }{\lim }{\int }_{E_m}f(x)dx.$$

显然，上述积分存在的充要条件仍为 $f(x)$ 在 $E$ 上非负可测，因此以下直到本节末我们总假定 $E$ 是一般可测集（不必具有有限测度），而 $f(x)$ 在 $E$ 上非负可测。

定理 3

${\mathbb{R}}^n$ 中的可测集 $E$ 上的非负可测函数 $f(x)$ 的积分

$${\int }_{E}f(x)dx=mG(E;f).$$

证明 如果 $mE<+\infty$，$f(x)$ 有界，$\{{\psi }_n(x)\}$ 是定理 2 中证明必要性时所构造的非负简单函数列，则 （1）

$$f(x)=\underset{n\to \infty }{\lim }{\psi }_n(x)\text{a.e. 于 }E;$$

（2）

$${\psi }_n(x)\le {\psi }_{n+1}(x),n=1,2,3,\cdots ;$$

（3）

$$mG(E;{\psi }_n)=s_{D_n}⟶{\int }_{E}f(x)dx=\overline{{\int }_E}f(x)dx.$$

设 $E$ 中使（1）不成立的点构成的零测度子集为 $E_0$，则

$$G(E-E_0;f)=\bigcup _{n=1}^{\infty }G(E-E_0;{\psi }_n),n\ge 1.$$

于是只要注意到

$$mG(E_0;f)=mG(E_0;{\psi }_n)=0,$$

即

$$mG(E;f)=mG(E-E_0;f)$$ $$=\underset{n\to \infty }{\lim }mG(E-E_0;{\psi }_n)$$ $$=\underset{n\to \infty }{\lim }mG(E;{\psi }_n)=\underset{n\to \infty }{\lim }{s}_{D_n}={\int }_{E}f(x)dx.$$

当 $mE<+\infty$，$f(x)$ 在 $E$ 上为一般的非负可测函数时，因为

$$G(E;|f{|}_m)\subset G(E;|f{|}_{m+1}),m=1,2,\cdots ,$$

且

$$G(E;f)=\underset{m\to \infty }{\lim }G(E;|f{|}_m),$$

所以

$$mG(E;f)=\underset{m\to \infty }{\lim }mG(E;|f{|}_m)$$ $$=\underset{m\to \infty }{\lim }{\int }_E|f(x){|}_{m}dx={\int }_{E}f(x)dx.$$

最后，如果 $mE=+\infty$，则从已证明的结果和

$$G(E;f)=\underset{m\to \infty }{\lim }G(E_m;f)$$

定理 4

如果 $f(x),g(x)$ 都是可测集合 $E$ 上的非负可测函数，则

（1）当 $f(x)\le g(x)(x\in E)$ 时，

$${\int }_{E}f(x)dx\le {\int }_{E}g(x)dx.$$

（2）当 $E_1,E_2$ 是 $E$ 的互不相交的可测子集，$E=E_1\cup E_2$ 时，

$${\int }_{E}f(x)dx={\int }_{E_1}f(x)dx+{\int }_{E_2}f(x)dx.$$

特别是

$${\int }_{E}f(x)dx\ge {\int }_{E_i}f(x)dx,i=1,2.$$

（3）

$${\int }_E[f(x)+g(x)]dx={\int }_{E}f(x)dx+{\int }_{E}g(x)dx.$$

（4）如果 $f(x)=g(x)$ a.e. 于 $E$，则

$${\int }_{E}f(x)dx={\int }_{E}g(x)dx.$$

证明 当 $mE<+\infty$ 时，（1）、（2）和（3）都是已知的，至于（4），只要注意到当 $m{E}_i=0$ 时，

$${\int }_{E_i}f(x)dx={\int }_{E_i}g(x)dx=0,$$

即可从（2）推出。通过一次简单的取极限的手续，即知上述各结论在 $mE=+\infty$ 时仍成立。

定理 5（Levi 定理）

设

（1）$f_m(x),m=1,2,3,\cdots$，都是 $E$ 上的非负可测函数；

（2）$f_m(x)\le f_{m+1}(x)(x\in E),m=1,2,3,\cdots$；

（3）

$$f(x)=\underset{m\to \infty }{\lim }{f}_m(x)\text{a.e. 于 }E,$$

则

$${\int }_{E}f(x)dx=\underset{m\to \infty }{\lim }{\int }_E{f}_m(x)dx.$$

证明 由定理 4 的（4），可设在 $E$ 上处处有

$$f(x)=\underset{m\to \infty }{\lim }{f}_m(x),$$

于是

$$G(E;f)=\underset{m\to \infty }{\lim }G(E;f_m).$$

由定理 3 即知本定理成立。

上面的证明很自然、直观，但要用到下方图形的可测性定理（第四章 §1 定理 8），而这定理的证明与 ${\mathbb{R}}^n$ 中乘积测度理论有关，这种空间的限制将影响理论的推广与应用。为此我们现在再给出一个更为原始的证明。 先看

$${\int }_{E}f(x)dx<+\infty$$

的情形。对 $\epsilon >0$，选正整数 $m$ 和 $k$，使

$${\int }_E|f(x){|}_{k}dx{\int }_{E}f(x)dx-\frac{\epsilon }{2}.\text{\hspace{1em}(1)}$$

此处

$$E_m=E[x;\Vert x\Vert \le m].$$

注意 $m{E}_m<+\infty$ 且在 $E_m$ 上

$$|f(x){|}_k=\underset{n\to \infty }{\lim }|f_n(x){|}_k,$$

由 Egorov 定理，有 $e\subset E_m$，使

$$me<\frac{\epsilon }{4k}$$

且在

$$E_m-e$$

上 $|f_n(x){|}_k$ 一致收敛于 $|f(x){|}_k$。设正整数 $n_0$ 使 $n\ge n_0$ 时，对一切 $x\in E_m-e$，都有

$$0\le |f(x){|}_k-|f_n(x){|}_k<\frac{1}{4(1+m{E}_m)}.\text{\hspace{1em}(2)}$$

则当 $n\ge n_0$ 时，

$${\int }_E{f}_n(x)dx\ge {\int }_{E_m-e}|f_n(x){|}_{k}dx\ge {\int }_{E_m-e}|f(x){|}_{k}dx-\frac{\epsilon }{4}.\text{\hspace{1em}(3)}$$

另一方面，

$${\int }_{E_m}|f(x){|}_{k}dx={\int }_{E_m-e}|f(x){|}_{k}dx+{\int }_e|f(x){|}_{k}dx$$ $$<{\int }_{E_m-e}|f(x){|}_{k}dx+\frac{\epsilon }{4}.\text{\hspace{1em}(4)}$$

因此当 $n\ge n_0$ 时，依次由（3）、（4）、（1）式得

$${\int }_E{f}_n(x)dx{\int }_{E_m-e}|f(x){|}_{k}dx-\frac{\epsilon }{4}$$ $${\int }_{E_m}|f(x){|}_{k}dx-\frac{\epsilon }{4}-\frac{\epsilon }{4}$$ $${\int }_{E}f(x)dx-\epsilon .$$

这说明

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{\int }_E{f}_n(x)dx\ge {\int }_{E}f(x)dx-\epsilon .$$

注意 $\epsilon >0$ 任意便知

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{\int }_E{f}_n(x)dx\ge {\int }_{E}f(x)dx.\text{\hspace{1em}(5)}$$

另一方面，对任意 $n$ 都有 $f_n(x)\le f(x)(x\in E)$，所以

$${\int }_E{f}_n(x)dx\le {\int }_{E}f(x)dx.$$

于是

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{\int }_E{f}_n(x)dx\le {\int }_{E}f(x)dx.$$

结合（5）便得

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{\int }_E{f}_n(x)dx={\int }_{E}f(x)dx.$$

至于

$${\int }_{E}f(x)dx=+\infty$$

的情形，证明是类似的。

定理 6（Lebesgue 基本定理）

如果 $f_n(x),n=1,2,3,\cdots$，都是 $E$ 上的非负可测函数，

$$f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{f}_n(x),$$

则

$${\int }_{E}f(x)dx=\sum _{n=1}^{\infty }{\int }_E{f}_n(x)dx.$$

证明 令

$$S_n(x)=\sum _{i=1}^n{f}_i(x),$$

则 $S_n(x)$ 是 $E$ 上的非负可测函数，且

$$S_n(x)\le S_{n+1}(x),x\in E,n=1,2,3,\cdots ,$$

并且

$$f(x)=\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n(x).$$

所以由 Levi 定理知

$${\int }_{E}f(x)dx=\underset{n\to \infty }{\lim }{\int }_E{S}_n(x)dx=\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{i=1}^n{\int }_E{f}_i(x)dx=\sum _{i=1}^{\infty }{\int }_E{f}_i(x)dx.$$

定理 7（Fatou 引理）

若 $f_1(x),f_2(x),f_3(x),\cdots ,f_n(x),\cdots$ 是 $E$ 上的一串非负可测函数，则

$${\int }_E\underset{n\to \infty }{\underline{\lim }}{f}_n(x)dx\le \underset{n\to \infty }{\underline{\lim }}{\int }_E{f}_n(x)dx.$$

证明 令

$$g_n(x)=\underset{i\ge n}{\inf }\{f_i(x)\}(x\in E),$$

则 $g_n(x)$ 是 $E$ 上的非负可测函数，且

$$g_1(x)\le g_2(x)\le \cdots \le g_n(x)\le \cdots ,$$ $$\underset{n\to \infty }{\underline{\lim }}{f}_n(x)=\underset{n\to \infty }{\lim }{g}_n(x),$$

并且

$$g_n(x)\le f_n(x),n=1,2,3,\cdots .$$

于是由 Levi 定理得

$${\int }_E\underset{n\to \infty }{\underline{\lim }}{f}_n(x)dx={\int }_E\underset{n\to \infty }{\lim }{g}_n(x)dx$$ $$=\underset{n\to \infty }{\lim }{\int }_E{g}_n(x)dx\le \underset{n\to \infty }{\underline{\lim }}{\int }_E{f}_n(x)dx.$$

对定理 7 中的函数列 $\{f_n(x)\}$ 没有假定有递增性，定理结论中的不等号确实是可以成立的，在下节中我们将给出具体的例子。

可积函数

上一节我们考虑的是非负函数的积分，现在我们来讨论一般的函数的积分。$E$ 仍为 ${\mathbb{R}}^n$ 中的可测集合，$f^{+}(x),f^{-}(x)$ 分别代表函数 $f(x)$ 的正部和负部，即

$$f^{+}(x)=\max \{f(x),0\},$$ $$f^{-}(x)=\max \{-f(x),0\}.$$

这都是非负的函数，并且

$$f(x)=f^{+}(x)-f^{-}(x),$$ $$|f(x)|=f^{+}(x)+f^{-}(x).$$

由于已知要非负函数在一可测集合 $E$ 上有积分必须且只需它在 $E$ 上可测，以下我们总假定所考虑的函数 $f(x)$ 在 $E$ 上是可测的，于是 $f^{+}(x),f^{-}(x),|f(x)|$ 全都是 $E$ 上的非负可测函数。

$${\int }_E{f}^{+}(x)dx,{\int }_E{f}^{-}(x)dx,{\int }_E|f(x)|dx$$

都是有意义的，并且

$${\int }_E|f(x)|dx={\int }_E{f}^{+}(x)dx+{\int }_E{f}^{-}(x)dx.\text{\hspace{1em}(1)}$$ $${\int }_E|f(x)|dx={\int }_E{f}^{+}(x)dx+{\int }_E{f}^{-}(x)dx.\text{\hspace{1em}(1)}$$

定义 1 如果 $E$ 上的可测函数 $f(x)$ 的正部和负部的积分

$${\int }_E{f}^{+}(x)dx\text{和}{\int }_E{f}^{-}(x)dx$$

中至少有一个是有限的，则我们就说 $f(x)$ 在 $E$ 上是有积分的，其积分定义为

$${\int }_{E}f(x)dx={\int }_E{f}^{+}(x)dx-{\int }_E{f}^{-}(x)dx.$$

而如果

$${\int }_E{f}^{+}(x)dx\text{和}{\int }_E{f}^{-}(x)dx$$

都有限，则 $f(x)$ 既有有限积分，$|f(x)|$ 也就是有限的，这时我们便说 $f(x)$ 是在 $E$ 上（Lebesgue）可积的。 从定义立即可知，只要 $f(x)$ 在 $E$ 上有积分便有

$${\int }_E-f(x)dx=-{\int }_{E}f(x)dx.$$

并且

$$\left|{\int }_{E}f(x)dx\right|\le {\int }_E|f(x)|dx.\text{\hspace{1em}(2)}$$

从而可得下述定理 1。

定理 1

如果 $f(x)$ 在 $E$ 上可测，则 （1）$f(x)$ 在 $E$ 上可积的充要条件是 $|f(x)|$ 在 $E$ 上可积； （2）如果 $mE<+\infty$，$f(x)$ 在 $E$ 上有界，则 $f(x)$ 在 $E$ 上可积。

定理 2

如果有界函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上是 Riemann 可积的，则 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上也是（Lebesgue）可积的，并且

$${\int }_{[a,b]}f(x)dx=(R){\int }_a^{b}f(x)dx.$$

此处 $(R){\int }_a^{b}f(x)dx$ 表示 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的 Riemann 积分。 证明 当 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上 Riemann 可积时，$f^{+}(x),f^{-}(x)$ 也在 $[a,b]$ 上 Riemann 可积，且

$$(R){\int }_a^{b}f(x)dx=(R){\int }_a^b{f}^{+}(x)dx-(R){\int }_a^b{f}^{-}(x)dx.$$

所以不妨假设 $f(x)$ 是非负的。由于 $f(x)$ 还是有界的，所以我们要证明的就是

$${\int }_{[a,b]}f(x)dx={\int }_{(a,b)}f(x)dx=(R){\int }_a^{b}f(x)dx.\text{\hspace{1em}(3)}$$

由有界函数 Riemann 可积的条件，对于任意 $\epsilon >0$，都有 $[a,b]$ 的一个分划 $\Delta :a=x_0<x_1<\cdots <x_n=b$，使 $f(x)$ 的关于 $\Delta$ 的 Riemann 大小和 ${\bar{S}}_{\Delta },{\underline{S}}_{\Delta }$ 满足条件

$$0\le {\bar{S}}_{\Delta }-{\underline{S}}_{\Delta }<\epsilon .\text{\hspace{1em}(4)}$$ $${\bar{S}}_{\Delta }=\sum _{i=1}^n{B}_i\Delta x_i,{\underline{S}}_{\Delta }=\sum _{i=1}^n{b}_i\Delta x_i,$$

其中

$$B_i=\underset{x_{i-1}\le x\le x_i}{\sup }f(x),b_i=\underset{x_{i-1}\le x\le x_i}{\inf }f(x),\Delta x_i=x_i-x_{i-1}.$$

由于

$${\underline{S}}_{\Delta }\le (R){\int }_a^{b}f(x)dx\le {\bar{S}}_{\Delta },$$

所以

$$(R){\int }_a^{b}f(x)dx-\epsilon <{\underline{S}}_{\Delta }\le {\bar{S}}_{\Delta }<(R){\int }_a^{b}f(x)dx+\epsilon .\text{\hspace{1em}(5)}$$

令

$$E_1=(x_0,x_1],E_i=(x_{i-1},x_i],i=2,\cdots ,n,$$

则

$$(a,b]=\bigcup _{i=1}^n{E}_i$$

便是 $(a,b]$ 的一个可测分划。因为

$$m{E}_i=\Delta x_i,$$ $$B_i=\underset{x\in E_i}{\sup }f(x)\le {\bar{B}}_i,b_i=\underset{x\in E_i}{\inf }f(x)\ge {\bar{b}}_i,$$

$f(x)$ 关于 $E_i$ 的大、小和 $S_D,s_D$ 满足

$${\underline{S}}_{\Delta }\le s_D\le S_D\le {\bar{S}}_{\Delta }.$$

从而由 (5) 式得

$$(R){\int }_a^{b}f(x)dx-\epsilon <s_D\le S_D<(R){\int }_a^{b}f(x)dx+\epsilon .$$

进而

$$(R){\int }_a^{b}f(x)dx-\epsilon <{\int }_{(a,b)}f(x)dx\le {\int }_{[a,b]}f(x)dx<(R){\int }_a^{b}f(x)dx+\epsilon .$$

由于 $\epsilon >0$ 是任意的，所以 (3) 式成立。证完。 以后为书写简便，$f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的积分将记为 ${\int }_a^{b}f(x)dx$。

上面的定理谈的是一维空间的情形。对于高维空间，类似的定理也是成立的，不过在定义 Riemann 积分的重要分时，要把区域分成“有面积”的小块；而“有面积”一词的精确定义，在数学分析中一般都不进行认真的讨论，所以我们现在也不去讨论这种一般的情况。

例 1 设 $E=[0,1]$，$f_n(x)=n{x}^{n-1}$ 自然是 $E$ 上的非负可测函数，由于

$$(R){\int }_0^1{f}_n(x)dx=(R){\int }_0^{1}n{x}^{n-1}dx=x^n{|}_0^1=1.$$

所以

$${\int }_E{f}_n(x)dx={\int }_E{f}_n(x)dx=1,n\ge 1.$$

从而

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{\int }_E{f}_n(x)dx=1.$$

但是显然有

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{f}_n(x)=0,x\in E.$$

所以

$${\int }_E\underset{n\to \infty }{\lim }{f}_n(x)dx=0.$$

可见 Fatou 引理（§1 定理 7）中的不等号确实可以成立。

例 2 Dirichlet 函数

$$D(x)=\{\begin{array}{ll}1,& x\text{ 为有理数},\\ 0,& x\text{ 为无理数},\end{array}$$

在 $[0,1]$ 上是可积的，但不是 Riemann 可积的。

定理 3

若 $f(x)$ 在 $E$ 上可积，则

$$mE[x;f(x)=+\infty ]=mE[x;f(x)=-\infty ]=0.$$

证明 设不然，比如说

$$mE[x;f(x)=+\infty ]=\delta >0,$$

则必有 $mE[x;f(x)=-\infty ]=0$。则必有 $mE[x;|x|\le m,f(x)=+\infty ]$ 的测度有 $>\frac{\delta }{2}>0$。 令

$$E_m^{\ast }=E[x;|x|\le m,f(x)=+\infty ],$$

则对任意正整数 $k$，都有

$${\int }_E{f}^{+}(x)dx\ge {\int }_{E_m^{\ast }}{f}^{+}(x)dx\ge {\int }_{E_m^{\ast }}|f^{+}(x)|dx\ge km{E}_m^{\ast }\frac{k\delta }{2},$$

这说明

$${\int }_E{f}^{+}(x)dx=+\infty 。$$

与 $f(x)$ 在 $E$ 上可积矛盾。同法可证

$$mE[x;f(x)=-\infty ]=0.$$

定理 4

如果 $E$ 是可测集，则：

（1）当 $f(x)$ 在 $E$ 上可测，$g(x)$ 在 $E$ 上可积，且

$$|f(x)|\le g(x)(x\in E)$$

时，$f(x)$ 在 $E$ 上可积。

（2）当 $f(x)$ 在 $E$ 上有积分时，对于任意常数 $c$，$cf(x)$ 在 $E$ 上有积分，并且

$${\int }_{E}cf(x)dx=c{\int }_{E}f(x)dx.$$

（3）当 $f(x),g(x)$ 都在 $E$ 上有积分时，$f(x)+g(x)$ 也在 $E$ 上有积分，且

$${\int }_E[f(x)+g(x)]dx={\int }_{E}f(x)dx+{\int }_{E}g(x)dx.$$

（4）当 $E_n,n=1,2,3,\cdots$ 都是 $E$ 的可测子集，互不相交，且

$$E=\bigcup _{n=1}^{\infty }{E}_n$$

时，若 $f(x)$ 在 $E$ 上有积分，则 $f(x)$ 在每个 $E_n$ 上都有积分，并且

$${\int }_{E}f(x)dx=\sum _{n=1}^{\infty }{\int }_{E_n}f(x)dx.$$

特别地，当 $f(x)$ 在 $E$ 上可积时，$f(x)$ 在 $E$ 的任意可测子集上仍可积。

（5）当 $f(x),g(x)$ 都在 $E$ 上有积分且

$$f(x)\le g(x)(x\in E)$$

时，

$${\int }_{E}f(x)dx\le {\int }_{E}g(x)dx.$$

（6）当 $f(x)$ 在 $E$ 上有积分且

$$f(x)=g(x)\text{a.e. 于 }E$$

时，$g(x)$ 在 $E$ 上也有积分，并且

$${\int }_{E}g(x)dx={\int }_{E}f(x)dx.$$

证明 先证明非负可测函数积分的一些基本性质。 设 $u(x),v(x)$ 是 $E$ 上的非负可测函数。由非负函数 Lebesgue 积分的定义可知： （i）若 $0\le u(x)\le v(x)$，则

$${\int }_{E}u(x)dx\le {\int }_{E}v(x)dx.$$

（ii）若 $c\ge 0$，则

$${\int }_{E}cu(x)dx=c{\int }_{E}u(x)dx.$$

（iii）若 $u(x),v(x)\ge 0$，则

$${\int }_E[u(x)+v(x)]dx={\int }_{E}u(x)dx+{\int }_{E}v(x)dx.$$

（iv）若

$$E=\bigcup _{n=1}^{\infty }{E}_n,$$

且 $E_n$ 两两不交，则

$${\int }_{E}u(x)dx=\sum _{n=1}^{\infty }{\int }_{E_n}u(x)dx.$$

下面利用这些性质证明各结论。 （1）因为

$$|f(x)|\le g(x),$$

所以 $g(x)\ge 0$。 又因为 $g(x)$ 在 $E$ 上可积，所以

$${\int }_{E}g(x)dx<+\infty .$$

而

$$0\le f^{+}(x)\le |f(x)|\le g(x),$$ $$0\le f^{-}(x)\le |f(x)|\le g(x).$$

于是由非负函数积分的单调性，

$${\int }_E{f}^{+}(x)dx\le {\int }_{E}g(x)dx<+\infty ,$$ $${\int }_E{f}^{-}(x)dx\le {\int }_{E}g(x)dx<+\infty .$$

因此

$${\int }_E{f}^{+}(x)dx<+\infty ,{\int }_E{f}^{-}(x)dx<+\infty .$$

所以 $f(x)$ 在 $E$ 上可积。

（2）设 $f(x)$ 在 $E$ 上有积分。 若 $c=0$，则

$$cf(x)=0,$$

显然有积分，并且

$${\int }_{E}cf(x)dx=0=c{\int }_{E}f(x)dx.$$

若 $c>0$，则

$$(cf{)}^{+}(x)=c{f}^{+}(x),(cf{)}^{-}(x)=c{f}^{-}(x).$$

于是

$$\begin{array}{rl}{\int }_{E}cf(x)dx& ={\int }_E(cf{)}^{+}(x)dx-{\int }_E(cf{)}^{-}(x)dx\\ & ={\int }_{E}c{f}^{+}(x)dx-{\int }_{E}c{f}^{-}(x)dx\\ & =c{\int }_E{f}^{+}(x)dx-c{\int }_E{f}^{-}(x)dx\\ & =c\left({\int }_E{f}^{+}(x)dx-{\int }_E{f}^{-}(x)dx\right)\\ & =c{\int }_{E}f(x)dx.\end{array}$$

若 $c<0$，则

$$(cf{)}^{+}(x)=(-c)f^{-}(x),(cf{)}^{-}(x)=(-c)f^{+}(x).$$

因此

$$\begin{array}{rl}{\int }_{E}cf(x)dx& ={\int }_E(cf{)}^{+}(x)dx-{\int }_E(cf{)}^{-}(x)dx\\ & ={\int }_E(-c)f^{-}(x)dx-{\int }_E(-c)f^{+}(x)dx\\ & =(-c){\int }_E{f}^{-}(x)dx-(-c){\int }_E{f}^{+}(x)dx\\ & =c\left({\int }_E{f}^{+}(x)dx-{\int }_E{f}^{-}(x)dx\right)\\ & =c{\int }_{E}f(x)dx.\end{array}$$

所以对于任意常数 $c$，都有

$${\int }_{E}cf(x)dx=c{\int }_{E}f(x)dx.$$

（3）因为 $f(x),g(x)$ 在 $E$ 上有积分，所以 $f^{+},f^{-},g^{+},g^{-}$ 的积分都存在，并且

$$f=f^{+}-f^{-},$$ $$g=g^{+}-g^{-}.$$

于是

$$f+g=(f^{+}+g^{+})-(f^{-}+g^{-}).$$

又因为 $f^{+}+g^{+}$ 与 $f^{-}+g^{-}$ 都是非负可测函数，所以

$${\int }_E(f^{+}+g^{+})dx={\int }_E{f}^{+}(x)dx+{\int }_E{g}^{+}(x)dx,$$ $${\int }_E(f^{-}+g^{-})dx={\int }_E{f}^{-}(x)dx+{\int }_E{g}^{-}(x)dx.$$

因此

$$\begin{array}{rl}{\int }_E[f(x)+g(x)]dx& ={\int }_E(f^{+}+g^{+})dx-{\int }_E(f^{-}+g^{-})dx\\ & ={\int }_E{f}^{+}dx+{\int }_E{g}^{+}dx-{\int }_E{f}^{-}dx-{\int }_E{g}^{-}dx\\ & =\left({\int }_E{f}^{+}dx-{\int }_E{f}^{-}dx\right)+\left({\int }_E{g}^{+}dx-{\int }_E{g}^{-}dx\right)\\ & ={\int }_{E}f(x)dx+{\int }_{E}g(x)dx.\end{array}$$

所以

$${\int }_E[f(x)+g(x)]dx={\int }_{E}f(x)dx+{\int }_{E}g(x)dx.$$

（4）设

$$E=\bigcup _{n=1}^{\infty }{E}_n,$$

其中 $E_n$ 两两不交且可测。 因为 $f(x)$ 在 $E$ 上有积分，所以 $f^{+}(x)$ 与 $f^{-}(x)$ 在 $E$ 上都有积分。 对非负可测函数 $f^{+}$，由可数可加性，

$${\int }_E{f}^{+}(x)dx=\sum _{n=1}^{\infty }{\int }_{E_n}{f}^{+}(x)dx.$$

同理，

$${\int }_E{f}^{-}(x)dx=\sum _{n=1}^{\infty }{\int }_{E_n}{f}^{-}(x)dx.$$

于是对每个 $n$，都有

$${\int }_{E_n}{f}^{+}(x)dx\le {\int }_E{f}^{+}(x)dx,$$ $${\int }_{E_n}{f}^{-}(x)dx\le {\int }_E{f}^{-}(x)dx.$$

因此 $f(x)$ 在每个 $E_n$ 上都有积分。 并且

$$\begin{array}{rl}{\int }_{E}f(x)dx& ={\int }_E{f}^{+}(x)dx-{\int }_E{f}^{-}(x)dx\\ & =\sum _{n=1}^{\infty }{\int }_{E_n}{f}^{+}(x)dx-\sum _{n=1}^{\infty }{\int }_{E_n}{f}^{-}(x)dx\\ & =\sum _{n=1}^{\infty }\left({\int }_{E_n}{f}^{+}(x)dx-{\int }_{E_n}{f}^{-}(x)dx\right)\\ & =\sum _{n=1}^{\infty }{\int }_{E_n}f(x)dx.\end{array}$$

所以

$${\int }_{E}f(x)dx=\sum _{n=1}^{\infty }{\int }_{E_n}f(x)dx.$$

特别地，若 $A$ 是 $E$ 的任意可测子集，则

$$E=A\cup (E\setminus A),$$

且 $A$ 与 $E\setminus A$ 不交。由上面的结论可知，$f(x)$ 在 $A$ 上有积分。 如果 $f(x)$ 在 $E$ 上可积，则

$${\int }_E|f(x)|dx<+\infty .$$

于是

$${\int }_A|f(x)|dx\le {\int }_E|f(x)|dx<+\infty ,$$

所以 $f(x)$ 在 $A$ 上可积。 （5）因为

$$f(x)\le g(x),$$

所以

$$g(x)-f(x)\ge 0.$$

由（2）（3）可知，$g(x)-f(x)$ 在 $E$ 上有积分，并且

$${\int }_E[g(x)-f(x)]dx={\int }_{E}g(x)dx-{\int }_{E}f(x)dx.$$

又因为 $g(x)-f(x)\ge 0$，所以

$${\int }_E[g(x)-f(x)]dx\ge 0.$$

因此

$${\int }_{E}g(x)dx-{\int }_{E}f(x)dx\ge 0,$$

即

$${\int }_{E}f(x)dx\le {\int }_{E}g(x)dx.$$

（6）设

$$f(x)=g(x)\text{a.e. 于 }E.$$

令

$$N=\{x\in E:f(x)\ne g(x)\}.$$

则

$$mN=0.$$

于是

$$E=(E\setminus N)\cup N,$$

且 $E\setminus N$ 与 $N$ 不交。 因为在 $E\setminus N$ 上有

$$f(x)=g(x),$$

所以

$${\int }_{E\setminus N}g(x)dx={\int }_{E\setminus N}f(x)dx.$$

又因为 $mN=0$，所以任意可测函数在零测集上的积分为 $0$，即

$${\int }_{N}g(x)dx=0,$$ $${\int }_{N}f(x)dx=0.$$

于是由（4）得

$$\begin{array}{rl}{\int }_{E}g(x)dx& ={\int }_{E\setminus N}g(x)dx+{\int }_{N}g(x)dx\\ & ={\int }_{E\setminus N}f(x)dx+{\int }_{N}f(x)dx\\ & ={\int }_{E}f(x)dx.\end{array}$$

因此 $g(x)$ 在 $E$ 上也有积分，并且

$${\int }_{E}g(x)dx={\int }_{E}f(x)dx.$$

定理 5（积分的绝对连续性）

若 $f(x)$ 在 $E$ 上可积，则对于任意 $\epsilon >0$，恒有 $\delta >0$，使得当 $A\subset E$，$mA<\delta$ 时，有

$$\left|{\int }_{A}f(x)dx\right|<\epsilon .$$

证明 因为 $f(x)$ 在 $E$ 上可积，所以

$${\int }_E|f(x)|dx<+\infty .$$

于是对任意 $\epsilon >0$，存在正数 $M>0$，使得

$${\int }_{E[|f(x)|>M]}|f(x)|dx<\frac{\epsilon }{2}.$$

令

$$\delta =\frac{\epsilon }{2M}.$$

若 $A\subset E$，且

$$mA<\delta ,$$

则

$$\begin{array}{rl}\left|{\int }_{A}f(x)dx\right|& \le {\int }_A|f(x)|dx\\ & ={\int }_{A[|f(x)|\le M]}|f(x)|dx+{\int }_{A[|f(x)|>M]}|f(x)|dx.\end{array}$$

对于第一项，因为在集合 $A[|f(x)|\le M]$ 上有

$$|f(x)|\le M,$$

所以

$${\int }_{A[|f(x)|\le M]}|f(x)|dx\le MmA<M\delta =\frac{\epsilon }{2}.$$

对于第二项，因为

$$A[|f(x)|>M]\subset E[|f(x)|>M],$$

所以

$${\int }_{A[|f(x)|>M]}|f(x)|dx\le {\int }_{E[|f(x)|>M]}|f(x)|dx<\frac{\epsilon }{2}.$$

因此

$$\begin{array}{rl}\left|{\int }_{A}f(x)dx\right|& \le {\int }_{A[|f(x)|\le M]}|f(x)|dx+{\int }_{A[|f(x)|>M]}|f(x)|dx\\ & <\frac{\epsilon }{2}+\frac{\epsilon }{2}\\ & =\epsilon .\end{array}$$

所以对于任意 $\epsilon >0$，存在 $\delta >0$，使得当 $A\subset E$，$mA<\delta$ 时，有

$$\left|{\int }_{A}f(x)dx\right|<\epsilon .$$

定义 2

设 $E$ 是一可测集，$\mathcal{F}$ 是一族在 $E$ 上可积的函数。 如果对于任意 $\epsilon >0$，都有仅与 $\epsilon$ 有关的 $\delta >0$，使当

$$A\subset E,mA<\delta$$

时，对于任意 $f\in \mathcal{F}$，都有

$$\left|{\int }_{A}f(x)dx\right|<\epsilon ,\text{\hspace{1em}(6)}$$

则我们就说 $\mathcal{F}$ 是在 $E$ 上积分等度绝对连续的函数族。

注意 如果 $\mathcal{F}$ 是在 $E$ 上积分等度绝对连续的函数族，$\delta >0$ 是使 $(6)$ 对 $\frac{\epsilon }{2}$ 成立的常数，则对任意

$$A\subset E,mA<\delta ,f\in \mathcal{F},$$

令

$$A^{+}=A\cap E\{x:f(x)>0\},$$ $$A^{-}=A\cap E\{x:f(x)<0\}.$$

则

$$m{A}^{+}<\delta ,m{A}^{-}<\delta .$$

于是

$$\left|{\int }_{A^{+}}f(x)dx\right|<\frac{\epsilon }{2},\left|{\int }_{A^{-}}f(x)dx\right|<\frac{\epsilon }{2}.$$

又因为在 $A^{+}$ 上，$f(x)>0$；在 $A^{-}$ 上，$f(x)<0$，所以

$$\begin{array}{rl}{\int }_A|f(x)|dx& ={\int }_{A^{+}}|f(x)|dx+{\int }_{A^{-}}|f(x)|dx\\ & =\left|{\int }_{A^{+}}f(x)dx\right|+\left|{\int }_{A^{-}}f(x)dx\right|\\ & <\frac{\epsilon }{2}+\frac{\epsilon }{2}\\ & =\epsilon .\end{array}$$

可见定义 2 中的 $(6)$ 还可以加强成

$${\int }_A|f(x)|dx<\epsilon (f\in \mathcal{F},mA<\delta ).\text{\hspace{1em}(6’)}$$

定理 6（Vitali 定理）

设

$$\{\begin{array}{l}(1)mE<+\infty ,\\ (2)\{|f_n(x)|{\}}_{n=1}^{\infty }\text{ 是在 }E\text{ 上积分等度绝对连续的函数序列},\\ (3)\text{在 }E\text{ 上 }{f}_n(x)\to f(x),\end{array}$$

则 $f(x)$ 在 $E$ 上可积且

$${\int }_{E}f(x)dx=\underset{n\to \infty }{\lim }{\int }_E{f}_n(x)dx.$$

证明 由条件 $(2)$，对任意 $\epsilon >0$，存在 $\delta >0$，使得当

$$A\subset E,mA<\delta$$

时，对任意 $n$，都有

$${\int }_A|f_n(x)|dx<\epsilon .$$

因为 $f_n(x)\to f(x)$ 于 $E$ 上，故由 Fatou 引理可得

$${\int }_A|f(x)|dx\le \underset{n\to \infty }{\mathrm{liminf}}{\int }_A|f_n(x)|dx\le \epsilon .$$

所以 $f$ 在 $E$ 上积分绝对连续。 下面证明积分收敛。由 $mE<+\infty$ 以及 $f_n\to f$ 于 $E$ 上，根据 Egoroff 定理，对上述 $\delta >0$，存在可测集 $E_{\delta }\subset E$，使得

$$m(E\setminus E_{\delta })<\delta ,$$

且 $f_n\to f$ 在 $E_{\delta }$ 上一致收敛。 于是存在 $N$，当 $n\ge N$ 时，

$$|f_n(x)-f(x)|<\frac{\epsilon }{mE+1},x\in E_{\delta }.$$

因此

$$\begin{array}{rl}{\int }_E|f_n(x)-f(x)|dx& ={\int }_{E_{\delta }}|f_n(x)-f(x)|dx+{\int }_{E\setminus E_{\delta }}|f_n(x)-f(x)|dx\\ & \le {\int }_{E_{\delta }}|f_n(x)-f(x)|dx+{\int }_{E\setminus E_{\delta }}|f_n(x)|dx+{\int }_{E\setminus E_{\delta }}|f(x)|dx\\ & <\frac{\epsilon }{mE+1}mE+\epsilon +\epsilon \\ & <3\epsilon .\end{array}$$

所以

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{\int }_E|f_n(x)-f(x)|dx=0.$$

从而

$$\left|{\int }_E{f}_n(x)dx-{\int }_{E}f(x)dx\right|\le {\int }_E|f_n(x)-f(x)|dx\to 0.$$

即

$${\int }_{E}f(x)dx=\underset{n\to \infty }{\lim }{\int }_E{f}_n(x)dx.$$

定理 7（Lebesgue 控制收敛定理）

设

$$\{\begin{array}{l}(1)F(x)\text{ 是在 }E\text{ 上可积的};\\ (2)f_n(x),n=1,2,3,\cdots \text{ 都在 }E\text{ 上可测，且}\\ |f_n(x)|\le F(x)(x\in E);\\ (3)\text{在 }E\text{ 上 }{f}_n(x)\to f(x)\text{，或 }{f}_n(x)\to f(x)a.e.,\end{array}$$

则 $f(x)$ 在 $E$ 上可积且

$${\int }_{E}f(x)dx=\underset{n\to \infty }{\lim }{\int }_E{f}_n(x)dx.$$

证明 由于 $F(x)$ 在 $E$ 上可积，故由积分的绝对连续性知：对任意 $\epsilon >0$，存在 $\delta >0$，使得当

$$A\subset E,mA<\delta$$

时，有

$${\int }_{A}F(x)dx<\epsilon .$$

又因为

$$|f_n(x)|\le F(x),$$

所以对任意 $n$，都有

$${\int }_A|f_n(x)|dx\le {\int }_{A}F(x)dx<\epsilon .$$

因此 $\{|f_n(x)|{\}}_{n=1}^{\infty }$ 是在 $E$ 上积分等度绝对连续的函数序列。 由 $|f_n(x)|\le F(x)$ 且 $f_n(x)\to f(x)$ a.e.，令 $n\to \infty$，得

$$|f(x)|\le F(x)a.e.$$

因为 $F$ 在 $E$ 上可积，所以 $f$ 在 $E$ 上可积。 于是由 Vitali 定理可得

$${\int }_{E}f(x)dx=\underset{n\to \infty }{\lim }{\int }_E{f}_n(x)dx.$$

定理 8

如果 $f(x)$ 是区间 $[a,b]$ 上的有界函数，则 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上 Riemann 可积的充要条件是：在 $[a,b]$ 中的不连续点所构成的集合 $D$ 的测度为零。

证明

记 $D$ 为 $f$ 在 $[a,b]$ 上的不连续点集。 对任意 $x\in [a,b]$，定义 $f$ 在点 $x$ 处的振幅为

$$\omega (x)=\underset{\delta \to 0+}{\lim }\left[\underset{\begin{array}{c}y\in [a,b]\\ |y-x|<\delta \end{array}}{\sup }f(y)-\underset{\begin{array}{c}y\in [a,b]\\ |y-x|<\delta \end{array}}{\inf }f(y)\right].$$

则

$$x\in D⟺\omega (x)>0.$$

于是

$$D=\bigcup _{k=1}^{\infty }{D}_k,D_k=\left\{x\in [a,b]:\omega (x)\ge \frac{1}{k}\right\}.$$

下面证明充要性。

---

必要性 设 $f$ 在 $[a,b]$ 上 Riemann 可积。
对任意分割

$$P:a=x_0<x_1<\cdots <x_n=b,$$

记

$$M_i=\underset{x\in [x_{i-1},x_i]}{\sup }f(x),m_i=\underset{x\in [x_{i-1},x_i]}{\inf }f(x).$$

由于 $f$ Riemann 可积，所以对任意 $\epsilon >0$，存在分割 $P$，使得

$$\sum _{i=1}^n(M_i-m_i)\Delta x_i<\epsilon .$$

固定 $k\in \mathbb{N}$。若 $x\in D_k$，则无论取多小的邻域，$f$ 在该邻域内的振幅都至少为 $1/k$。因此 $x$ 所在的小区间必满足

$$M_i-m_i\ge \frac{1}{k}.$$

于是 $D_k$ 被这些满足 $M_i-m_i\ge 1/k$ 的小区间覆盖。 因此

$$m^{\ast }(D_k)\le \sum _{M_i-m_i\ge 1/k}\Delta x_i\le k\sum _{i=1}^n(M_i-m_i)\Delta x_i<k\epsilon .$$

由于 $\epsilon >0$ 任意，得

$$m(D_k)=0.$$

`

从而

$$m(D)\le \sum _{k=1}^{\infty }m(D_k)=0.$$

故 $m(D)=0$。

---

充分性 设 $m(D)=0$。因为 $f$ 有界，存在 $M>0$，使得

$$|f(x)|\le M,x\in [a,b].$$

由于 $m(D)=0$，对任意 $\epsilon >0$，存在有限个开区间覆盖 $D$，记其并为 $G$，使得

$$m(G)<\frac{\epsilon }{4M}.$$

对每个 $x\in [a,b]\setminus G$，$f$ 在 $x$ 处连续，故存在邻域 $U_x$，使得当 $y,z\in U_x\cap [a,b]$ 时，

$$|f(y)-f(z)|<\frac{\epsilon }{2(b-a)}.$$

由于 $[a,b]\setminus G$ 是紧集，可取有限子覆盖。于是存在分割 $P$，使得凡是不与 $G$ 相交的小区间，其振幅满足

$$M_i-m_i<\frac{\epsilon }{2(b-a)}.$$

因此

$$\begin{array}{rl}U(P,f)-L(P,f)& =\sum _{i=1}^n(M_i-m_i)\Delta x_i\\ & =\sum _{[x_{i-1},x_i]\cap G=\varnothing }(M_i-m_i)\Delta x_i+\sum _{[x_{i-1},x_i]\cap G\ne \varnothing }(M_i-m_i)\Delta x_i\\ & \le \frac{\epsilon }{2(b-a)}(b-a)+2M\cdot m(G)\\ & <\frac{\epsilon }{2}+\frac{\epsilon }{2}=\epsilon .\end{array}$$

所以 $f$ 在 $[a,b]$ 上 Riemann 可积。 综上，$f$ 在 $[a,b]$ 上 Riemann 可积的充要条件是 $m(D)=0$。