一致可积(一)

我们主要参考了Royden实分析第五版和Rudin实分析与复分析第6章练习。

命题 1.1 (积分的绝对连续性) 设 $(X,\mathcal{M},\mu )$ 是测度空间, $f\in L^1(\mu )$, 则对每个 $\epsilon >0$, 存在 $\delta >0$, 使得对每个可测集 $A\subseteq X$, 只要 $\mu (A)<\delta$, 就有

$${\int }_A|f|\mathrm{d}\mu <\epsilon .\text{\hspace{1em}(1.1)}$$

证明. 只需考虑 $0\le f<\infty$ 的情形. 对于广义实值函数的情形, $\{x\in X:f(x)=\infty \}$ 是 $\mu$-零测集, 不影响积分, 然后分别考虑正部与负部即可; 对于复值函数, 再考虑实部与虚部即可. 取定 $\epsilon >0$. 取一列简单函数 $\{f_n{\}}_{n=1}^{\infty }$, 满足 $0\le f_n\nearrow f$. 由单调收敛定理, 有

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\int f_n\mathrm{d}\mu =\int f\mathrm{d}\mu ,$$

从而当 $n$ 充分大时, 有

$$\left|\int (f-f_n)\mathrm{d}\mu \right|=\int (f-f_n)\mathrm{d}\mu <\frac{\epsilon }{2}.$$

记 $M:={\sup }_{x\in X}{f}_n(x)<\infty$, 则对任意可测集 $A\subseteq X$, 只要 $\mu (A)<\frac{\epsilon }{2M}$, 就有

$$\begin{array}{rl}{\int }_A|f|\mathrm{d}\mu & ={\int }_{A}f\mathrm{d}\mu \\ & ={\int }_A{f}_n\mathrm{d}\mu +{\int }_A(f-f_n)\mathrm{d}\mu \\ & <M\cdot \frac{\epsilon }{2M}+\frac{\epsilon }{2}=\epsilon .\square \end{array}$$

这里吐槽一下Royden的这个证明, 真是错的离谱了

读者应该不难看出来错在哪了.

定义 1.1 (一致可积) 设 $(X,\mathcal{M},\mu )$ 是测度空间, $E\in \mathcal{M}$. 称集合 $\mathcal{F}\subseteq L^1(\mu )$ 为一致可积(uniformly integrable)的, 如果满足

(1) $L^1$ 一致有界: 存在 $M>0$, 使得对每个 $f\in \mathcal{F}$, 有 ${\sup }_{f\in \mathcal{F}}{\int }_X|f|\mathrm{d}\mu <M$;

(2) 一致绝对连续: 对每个 $\epsilon >0$, 存在 $\delta >0$, 使得只要 $\mu (A)<\delta$, 就有 ${\sup }_{f\in \mathcal{F}}{\int }_E|f|\mathrm{d}\mu <\epsilon .$

注. 有些教材在定义一致可积时, 仅要求满足一致绝对连续的条件, 而不要求满足 $L^1$ 一致有界的条件. 事实上, 在有限(无原子)测度空间中, 一致绝对连续性能导出 $L^1$ 一致有界. 测度的原子性可以参考这个回答: 概率测度的问题（全集测度=1，任意子集测度非负）？ - dhchen的回答 - 知乎

命题 1.2 (有限测度空间一致绝对连续 $⟹L^1$ 一致有界) 设 $(X,\mathcal{M},\mu )$ 是有限(无原子)测度空间, $\mathcal{F}$ 是一族 $L^1(\mu )$ 可积函数. 若 $\mathcal{F}$ 满足一致绝对连续的条件, 则 $\mathcal{F}$ 满足 $L^1$ 一致有界的条件.

证明. 由定理(见Bogachev. Measure Theory的定理1.12.9: 设 $(X,\mathcal{A},\mu )$ 为测度空间, 且 $\mu$ 是有限非负测度. 则对任意 $\epsilon >0$, 存在 $X$ 的有限划分 $\{X_1,\cdots ,X_n\}$(划分中集合两两不交且属于 $\mathcal{A}$), 满足: 要么 $\mu (X_i)\le \epsilon$, 要么 $X_i$ 是测度大于 $\epsilon$ 的原子.), 对 $\epsilon =1$, 取 $X$ 的可测分划 $\{E_j{\}}_{j=1}^k,{⨆}_{j=1}^k{E}_j=X$, 使得对每个 $j$ 有 $\mu (E_j)<1$. 则对任意 $f\in \mathcal{F}$, 由一致绝对连续性有

$$\Vert f{\Vert }_{L^1}=\sum _{j=1}^k{\int }_{E_j}|f|\mathrm{d}\mu <\sum _{j=1}^{k}1=k,$$

从而可取 ${\sup }_{f\in \mathcal{F}}\Vert f{\Vert }_{L^1}=k$. $\square$

注. 对于有原子的测度空间, 一致绝对连续的条件无法导出 $L^1$ 一致有界的条件. 例如, 设 $X=\{x\}$ 是单点集, $\mathcal{M}=\{\varnothing ,X\}$, $\mu (X)=1$, 则 $\mathcal{F}=\{f_n{\}}_{n\ge 1}$, 其中 $f_n(x)=n$, 满足一致绝对连续的条件, 但不满足 $L^1$ 一致有界的条件.

定义-命题 1.1 (有限测度空间一致可积的另一等价定义) 设 $(X,\mathcal{M},\mu )$ 是有限测度空间, $\mathcal{F}$ 是一族 $L^1(\mu )$ 可积函数. 称 $\mathcal{F}$一致可积(uniformly integrable), 若对任意 $\epsilon >0$, 存在 $M>0$, 使得 ${\sup }_{f\in \mathcal{F}}{\int }_{\{|f|>M\}}|f|\mathrm{d}\mu <\epsilon .$

证明. 定义-命题 1.1 $⟹$ 定义 1.1.

• $L^1$ 一致有界: 取 $\epsilon =1$, 由定义-命题1.1, 存在 $M>0$, 对所有 $f\in \mathcal{F}$ 有 ${\int }_{\{|f|>M\}}|f|\mathrm{d}\mu <1.$ 故

$$\begin{array}{rl}{\int }_X|f|\mathrm{d}\mu & ={\int }_{\{|f|\le M\}}|f|\mathrm{d}\mu +{\int }_{\{|f|>M\}}|f|\mathrm{d}\mu \\ & \le M\mu (X)+1<\infty .\end{array}$$

故 $L^1$ 一致有界性得证.

• 对任意 $\epsilon >0$, 由定义-命题1.1, 存在 $M>0$, 对所有 $f\in \mathcal{F}$ 有

$${\int }_{\{|f|>M\}}|f|\mathrm{d}\mu <\frac{\epsilon }{2}.$$

取 $\delta =\frac{\epsilon }{2M}$, 对任意可测集 $E\subset X$, 若 $\mu (E)<\delta$, 拆分积分:

$$\begin{array}{rl}{\int }_E|f|\mathrm{d}\mu & ={\int }_{E\cap \{|f|\le M\}}|f|\mathrm{d}\mu +{\int }_{E\cap \{|f|>M\}}|f|\mathrm{d}\mu \\ & \le M\mu (E)+{\int }_{\{|f|>M\}}|f|\mathrm{d}\mu \\ & <M\cdot \frac{\epsilon }{2M}+\frac{\epsilon }{2}=\epsilon .\end{array}$$

从而一致绝对连续性得证.

定义 1.1 $⟹$ 定义-命题 1.1. 对任意 $\epsilon >0$, 由一致绝对连续性, 存在 $\delta >0$, 对任意可测集 $E\subseteq X$, 只要 $\mu (E)<\delta$, 就有

$$\underset{f\in \mathcal{F}}{\sup }{\int }_E|f|\mathrm{d}\mu <\epsilon .$$

由 $L^1$ 一致有界性, 记 $C:={\sup }_{f\in \mathcal{F}}{\int }_X|f|\mathrm{d}\mu <\infty ,$ 由Chebyshev不等式, 对任意 $M>0$, 有

$$\mu (\{|f|>M\})\le \frac{1}{M}{\int }_X|f|\mathrm{d}\mu \le \frac{C}{M},\forall f\in \mathcal{F}.$$

取 $M>\frac{C}{\delta }$, 则对所有 $f\in \mathcal{F}$, 有

$$\mu (\{|f|>M\})\le \frac{C}{M}<\delta .$$

由一致绝对连续性, 对集合 $E=\{|f|>M\}$, 有

$${\int }_{\{|f|>M\}}|f|\mathrm{d}\mu <\epsilon ,\forall f\in \mathcal{F},$$

即

$$\underset{f\in \mathcal{F}}{\sup }{\int }_{\{|f|>M\}}|f|\mathrm{d}\mu <\epsilon ,$$

满足定义-命题1.1的要求. $\square$

注. 两个定义的等价性仅在有限测度空间成立. 在无限测度空间中, 定义-命题1.1仅能推出一致绝对连续, 无法推出 $L^1$ 一致有界, 因此不等价. 考虑 $\mathbb{R}$ 上的Lebesgue测度(无限测度), 取 $f_n={\chi }_{[0,n]}$(区间 $[0,n]$ 的特征函数).

• 验证定义-命题1.1: 对任意 $\epsilon >0$, 取 $M>1$, 则 $\{|f_n|>M\}=\varnothing$, 故 ${\int }_{\{|f_n|>M\}}|f_n|\mathrm{d}\mu =0<\epsilon$, 满足定义-命题1.1;
• 不满足定义1.1: ${\int }_{\mathbb{R}}|f_n|\mathrm{d}\mu =n$, 故 ${\sup }_{f\in \mathcal{F}}{\int }_{\mathbb{R}}|f_n|\mathrm{d}\mu =\infty$, 不满足 $L^1$ 一致有界.

例 1. 设 $g:E\to [0,\infty ]$ 为可积函数. 定义 $\mathcal{F}=\{f\mid f:E\to \mathbb{R}\text{ 可测且 }|f|\le g\text{ 在 }E\text{ 上成立}\}.$ 则 $\mathcal{F}$ 是一致可积的.

证明. 由 ${\int }_A|f|\mathrm{d}\mu \le {\int }_{A}g\mathrm{d}\mu .$ 和 $g$ 的积分的绝对连续性(命题1.1)可得结论. $\square$

命题 1.3 设 $(X,\mathcal{M},\mu )$ 是测度空间, $E\in \mathcal{M}$. 则有限集 $\mathcal{F}\subseteq L^1(\mu )$ 是一致可积的.

证明. 设 $\mathcal{F}:=\{f_1,f_2,\cdots ,f_n\}$ 是一个有限集, 则由积分的绝对连续性, 对每个 $f_j$, 存在 ${\delta }_j>0$, 使得对每个可测集 $A\subseteq E$, 只要 $\mu (A)<{\delta }_j$, 就有 ${\int }_A|f_j|\mathrm{d}\mu <\epsilon$. 取 $\delta :=\min \{{\delta }_1,\cdots ,{\delta }_n\}$, 则对每个 $f_j$ 和每个可测集 $A\subseteq E$, 只要 $\mu (A)<\delta$, 就有 ${\int }_A|f_j|\mathrm{d}\mu <\epsilon$. 因此, $\mathcal{F}$ 是一致可积的. $\square$

命题 1.4 设 $(X,\mathcal{M},\mu )$ 是有限测度空间. 可积函数列 $\{f_n\}$ 一致可积, 且 $f_n\to f$ $\mu$-a.e., 则 $f$ 是可积的.

证明. 对于有限测度空间, 我们使用一致可积的等价定义-命题1.1, 取 $\epsilon =1$, 则存在 $0<M<\infty$ 使得

$$\underset{f\in \mathcal{F}}{\sup }{\int }_{\{|f|>M\}}|f|\mathrm{d}\mu <1.$$

由题意知 $|f_n|\to |f|$ $\mu$-a.e., 从而由Fatou 引理:

$$\begin{array}{rl}{\int }_X|f|\mathrm{d}\mu & ={\int }_X\underset{n\to \infty }{\mathrm{liminf}}|f_n|\mathrm{d}\mu \\ & \le \underset{n\to \infty }{\mathrm{liminf}}{\int }_X|f_n|\mathrm{d}\mu \\ & \le \underset{n\to \infty }{\mathrm{limsup}}{\int }_{\{|f_n|>M\}}|f_n|\mathrm{d}\mu +\underset{n\to \infty }{\mathrm{limsup}}{\int }_{\{|f_n|\le M\}}|f_n|\mathrm{d}\mu \\ & \le \underset{f\in \mathcal{F}}{\sup }{\int }_{\{|f|>M\}}|f|\mathrm{d}\mu +M\mu (X)\\ & <1+M\mu (X)<\infty .\end{array}$$

故 $f\in L^1(\mu )$. $\square$

定理 1.1 (Vitali 收敛定理) 设 $\mu (X)<\infty$, 函数列 $f_n\to f$ a.e.且 $\{f_n\}$ 一致可积, 则 $f_n\stackrel{L_1}{\to }f$.

证明. 由命题1.4, $f$ 是可积的. 不妨设 $f$ 是有限实值函数. 设 $\epsilon >0$. 由于 $f$ 是实值函数且 $m(X)<\infty$, 根据Egoroff定理, 存在 $X$ 的可测子集 $A,$ 使得 $m(A)<\delta$ 且 $\{f_n\}$ 在 $X\setminus A$ 上一致收敛于 $f$. 由一致收敛性, 选取指标 $N$, 使得对所有 $n\ge N$, 在 $X\setminus X_0$ 上有

$$|f_n-f|<\frac{\epsilon }{3\cdot \mu (X)}.$$

由 $\{f_n\}$ 的一致可积性, 存在 $\delta >0$, 使得对任意 $n$, 有

$${\int }_A|f_n|\mathrm{d}\mu <\epsilon /3.$$

因此, 由Fatou引理得

$${\int }_A|f|\mathrm{d}\mu ={\int }_A\underset{n\to \infty }{\mathrm{liminf}}|f_n|\mathrm{d}\mu \le \underset{n\to \infty }{\mathrm{liminf}}\int |f_n|\mathrm{d}\mu \le \epsilon /3.$$

因此当 $n\ge N$ 时, 有

$$\begin{array}{rl}{\int }_X|f_n-f|\mathrm{d}\mu & ={\int }_{X\setminus A}|f_n-f|\mathrm{d}\mu +{\int }_A|f_n-f|\mathrm{d}\mu \\ & \le {\int }_{X\setminus A}|f_n-f|\mathrm{d}\mu +{\int }_A|f_n|\mathrm{d}\mu +{\int }_A|f|\mathrm{d}\mu \\ & <\frac{\epsilon }{3\mu (X)}\cdot \mu (X\setminus A)+\frac{\epsilon }{3}+\frac{\epsilon }{3}<\epsilon .\square \end{array}$$

注记. 上述 Vitali 收敛定理不能推广到测度无限的区域. 事实上, 对每个 $n$, 定义 $f_n:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ 为 $f_n={\chi }_{[n,n+1]}$, 且在 $\mathbb{R}$ 上 $f\equiv 0$. 则 $\{f_n\}$ 在 $\mathbb{R}$ 上一致可积, 且在 $\mathbb{R}$ 上逐点收敛于 $f$. 然而,

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{\int }_{\mathbb{R}}{f}_n\mathrm{d}\mu =1\ne 0={\int }_{\mathbb{R}}\underset{n\to \infty }{\lim }{f}_n\mathrm{d}\mu ={\int }_{\mathbb{R}}f\mathrm{d}\mu .$$

例 2. Vitali收敛定理可以导出Lebesgue控制收敛定理. 但存在一些序列, 满足Vitali收敛定理的条件, 但不满足DCT的条件. 在 $[0,1]$ 上取Lebesgue测度, 定义函数序列： $f_n(x):=\frac{1}{x}{\chi }_{(\frac{1}{n+1},\frac{1}{n})}(x)$ 对于任何 $x\in (0,1]$, 当 $n$ 足够大时 $1/n<x$, 即 $f_n\to f=0$ 处处成立. 任取 $E\subseteq [0,1]$, 则

$${\int }_E|f_n|\mathrm{d}m\le {\int }_0^1|f_n|\mathrm{d}x={\int }_{1/(n+1)}^{1/n}\frac{1}{x}\mathrm{d}x=\ln (1+\frac{1}{n}).$$

从而 $\{f_n\}$ 一致可积, Vitali 定理适用. 若存在控制函数 $g$, 则必须满足 $g(x)\ge {\sup }_n{f}_n(x)$. 观察可知, 在每个小区间 $(\frac{1}{n+1},\frac{1}{n})$ 上, $f_n(x)=1/x$. 因此 ${\sup }_n{f}_n(x)=1/x$. 但 ${\int }_0^1\frac{1}{x}\mathrm{d}x=\infty$, 即不存在可积的控制函数 $g$.

例 3 (收敛但非一致可积的序列). 一致可积性要求在小测度集上的积分一致地趋于 0. 我们要制造一个“虽然总积分抵消了, 但局部能量极大”的序列.定义 $f_n(x)$ 如下：

$$f_n(x):=\{\begin{array}{ll}n& x\in (0,\frac{1}{n})\\ -n& x\in (\frac{1}{n},\frac{2}{n})\\ 0& \text{其他}\end{array}$$

显然 $f_n\to 0$ 处处成立, 且

$${\int }_0^1{f}_n(x)\mathrm{d}x={\int }_0^{1/n}n\mathrm{d}x+{\int }_{1/n}^{2/n}(-n)\mathrm{d}x=1-1=0,$$

所以 $\int f_n\to 0$ 成立.下面说明其非一致可积性. 取 $\epsilon =1/2$. 对于任意给定的 $\delta >0$, 取充分大的 $n$ 使得 $1/n<\delta$. 令集合 $E=(0,1/n)$, 则 $\mu (E)=1/n<\delta$, 但

$$\left|{\int }_E{f}_n\right|=\left|{\int }_0^{1/n}n\mathrm{d}x\right|=1>\epsilon ,$$

故 $\{f_n\}$ 不满足一致可积性.

如果想要将Vitali收敛定理推广到测度无限的区域, 则需要在一致可积的定义中附加一个额外的性质, 即胎紧性.

定义 1.2 (胎紧性) 设 $(X,\mathcal{M},\mu )$ 是测度空间, 称集合 $\mathcal{F}\subseteq L^1(\mu )$ 是胎紧(tight)的, 如果对每个 $\epsilon >0$, 存在 $X$ 的可测子集 $A$, 使得 $\mu (A)<\infty$, 且 ${\sup }_{f\in \mathcal{F}}{\int }_{X\setminus A}|f|\mathrm{d}\mu <\epsilon .$

命题 1.5 (可积函数的胎紧性) 设 $(X,\mathcal{M},\mu )$ 是测度空间, $f\in L^1(\mu )$. 则对每个 $\epsilon >0$, 存在 $X$ 的可测子集 $A$, 使得 $\mu (A)<\infty$ 且 ${\int }_{X\setminus A}|f|\mathrm{d}\mu <\epsilon$.

证明. 由可积简单函数在 $L^1(\mu )$ 度量中稠密, 对任意 $\epsilon >0$, 存在可积简单函数 $\phi$, 使得 ${\int }_X|f-\phi |\mathrm{d}\mu <\epsilon .$ 设 $\phi ={\sum }_{j=1}^n{a}_j{\chi }_{A_j}$ 为 $\phi$ 的标准表示, 其中 $a_j>0$ 且 $A_j$ 是可测集且两两不交. 置

$$A:=\underset{j=1}{\overset{n}{⨆}}{A}_n=\{x\in X:\phi (x)\ne 0\},$$

则

$$\begin{array}{rl}{\int }_{X\setminus A}|f|\mathrm{d}\mu & \le {\int }_{X\setminus A}|f-\phi |\mathrm{d}\mu +{\int }_{X\setminus A}|\phi |\mathrm{d}\mu \\ & \le {\int }_X|f-\phi |\mathrm{d}\mu +{\int }_{X\setminus A}|\phi |\mathrm{d}\mu \\ & <\epsilon .\square \end{array}$$

定理 1.2 (一般Vitali收敛定理) 设 $(X,\mathcal{M},\mu )$ 是测度空间, 函数列 $f_n\to f$ a.e.且 $\{f_n\}$ 一致可积且胎紧, 则 $f$ 可积, 且 $f_n\stackrel{L_1}{\to }f$.

证明. 任取 $\epsilon >0$. 由函数列 $\{f_n\}$ 的胎紧性, 存在 $X$ 的子集 $A$ 满足 $\mu (A)<\infty$, 且对所有 $n$ 有 ${\int }_{X\setminus A}|f_n|\mathrm{d}\mu <\frac{\epsilon }{3}.$ 从而由Fatou引理可得

$${\int }_{X\setminus A}|f|\mathrm{d}\mu \le \frac{\epsilon }{3}.$$

特别地, $f$ 在 $X\setminus A$ 上可积. 对所有 $n$ 有

$$\begin{array}{rl}{\int }_{X\setminus A}[f_n-f]\mathrm{d}\mu & \le {\int }_{X\setminus A}|f_n|\mathrm{d}\mu +{\int }_{X\setminus A}|f|\mathrm{d}\mu \\ & <\frac{2\epsilon }{3}.\end{array}$$

而 $\mu (A)<\infty$, 且 $\{f_n\}$ 在 $A$ 上一致可积. 因此, 根据有限测度上的Vitali收敛定理(定理1.1), $f$ 在 $A$ 上可积, 且可选取指标 $N$, 使得当 $n\ge N$ 时,

$${\int }_A|f_n-f|\mathrm{d}\mu <\epsilon /3.$$

故当 $n\ge N$ 时,

$$\begin{array}{rl}{\int }_X|f_n-f|\mathrm{d}\mu & ={\int }_A|f_n-f|\mathrm{d}\mu +{\int }_{X\setminus A}|f_n-f|\mathrm{d}\mu \\ & <\frac{\epsilon }{3}+\frac{2\epsilon }{3}=\epsilon .\end{array}$$

证明完毕. $\square$

命题 1.6 设 $(X,\mathcal{M},\mu )$ 是测度空间, $\{f_n\}$ 在 $L^1$ 度量下收敛到 $f\in L^1(\mu )$, 则 $\{f_n\}$ 一致可积.

证明. 对任意 $\epsilon >0$, 由于 $\Vert f_n-f{\Vert }_1\to 0$, 存在 $N$, 使得当 $n>N$ 时,

$${\int }_X|f_n-f|\mathrm{d}\mu <\epsilon /2.$$

因为 $f\in L^1(\mu )$, 存在 ${\delta }_0>0$, 使得当 $\mu (E)<{\delta }_0$ 时,

$${\int }_E|f|\mathrm{d}\mu <\epsilon /2.$$

对于 $n>N$ 的项, 由三角不等式 $|f_n|\le |f_n-f|+|f|$, 当 $\mu (E)<{\delta }_0$ 时,

$${\int }_E|f_n|\mathrm{d}\mu <\epsilon .$$

对于 $1\le n\le N$ 的项, 因为每个 $f_k\in L^1(\mu )$, 存在 ${\delta }_k>0$, 使得当 $\mu (E)<{\delta }_k$ 时,

$${\int }_E|f_k|\mathrm{d}\mu <\epsilon .$$

取 ${\delta }^{\prime }=\min \{{\delta }_1,\cdots ,{\delta }_N\}$, 则当 $\mu (E)<{\delta }^{\prime }$ 时, 对所有 $1\le n\le N$, 都有 ${\int }_E|f_n|\mathrm{d}\mu <\epsilon .$ 最后取 $\delta =\min \{{\delta }_0,{\delta }^{\prime }\}$ 即可. $\square$